路 暢，李春祥，曹黎媛

(上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444)

近年來，得益于高強輕質(zhì)材料的研發(fā)與應用，超高層建筑得到繁榮的發(fā)展。這些超高層建筑項目不僅給人們的生活帶來很大的便利，同時為人口稠密、土地資源有限的特大城市帶來發(fā)展的新機遇[1]。對于這類細長的超高層結(jié)構(gòu)，柔度大，其固有頻率更接近強風的卓越頻率，從而發(fā)生大幅度的風致振動[2]。特別是，建筑邊緣產(chǎn)生的渦旋脫落效應使得超高層結(jié)構(gòu)在橫風向產(chǎn)生過度的振動，因此引發(fā)的樓層加速度峰值遠高于順風向。為此，抑制超高層建筑在橫向風作用下的風致振動并確保橫風向水平樓層加速度保持在舒適使用范圍內(nèi)，成為了超高層結(jié)構(gòu)的關鍵適用性設計要求[3]。

在過去的30年，眾多學者們提出了不同的被動控制裝置以減小結(jié)構(gòu)的風振響應，其中調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)[4-7]由于構(gòu)造簡單且對整體結(jié)構(gòu)影響較小而被廣泛地應用于超高層建筑的風致振動控制中。然而，TMD的減振能力在很大程度上取決于慣性質(zhì)量大小，即慣性質(zhì)量越大，TMD的控制效果越好且魯棒性也越強[8]，但對于輕質(zhì)、細長的超高層建筑，有限的頂層空間限制了大質(zhì)量塊TMD控制裝置的應用。為此，Giaralis等[9-11]提出了將調(diào)諧質(zhì)量阻尼慣容器(tuned mass damper-inerter，TMDI)運用到超高層建筑的風致振動控制中。TMDI利用慣容器(Inerter)[12]的質(zhì)量放大特性，從而在不增加TMD物理質(zhì)量的情況下實現(xiàn)超高層建筑風致振動控制性能的增強。同時，Cao等[13]將串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned tandem mass dampers, TTMD)[14]與慣容器進行集成，提出了一種新型的高性能控制裝置：串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器(tuned tandem mass dampers-inerters, TTMDI)。通過頻域內(nèi)大量仿真認為：TTMDI系統(tǒng)抑制結(jié)構(gòu)在地面加速度作用下的振動具有較高的有效性和魯棒性。然而，TTMDI系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)風振反應的性能有待研究。為此，針對易受渦旋脫落影響的細長超高層建筑，本文基于TTMDI控制裝置，提出了一種新型的超高層建筑風振控制策略，分別從結(jié)構(gòu)橫風向響應分析，以及最優(yōu)參數(shù)設計等方面，對不同拓撲布置策略下的TTMDI超高層建筑風振控制性能逐一展開研究。

1 安裝TTMDI超高層建筑的風致動力響應

為了便于更好地說明所提出風振控制策略的基本原理，將超高層建筑簡化為一個具有n自由度的線性多自由度(Multiple degrees of freedom, MDOF)系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 TTMDI-p拓撲下風激超高層建筑集中質(zhì)量體系模型

TTMDI裝置安裝在結(jié)構(gòu)頂層，慣容器控制裝置的質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)的第n-p層連接，這樣的布置策略稱為TTMDI的-p型拓撲。則-p型拓撲下安裝TTMDI的MDOF結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣則表示為

(1)

本文僅考慮結(jié)構(gòu)在橫風向風荷載作用下的運動方程，則安裝TTMDI的MDOF系統(tǒng)運動方程的矩陣表達式為

(2)

式中:x=[x1…xnxt1xt2]T，xi(i=1,2,…,n)為MDOF結(jié)構(gòu)第i層相對地面位移，xt1和xt2分別為TMD1和TMD2質(zhì)量塊相對地面位移；上標“·”為對時間t的一階導，“¨”為對時間t的二階導；F=[F1…Fn0 0]T，F(xiàn)i(i=1,2,…,n)為作用在MDOF結(jié)構(gòu)第i層的橫風向風荷載。假設橫風向激勵是一個平穩(wěn)隨機過程，則根據(jù)隨機振動頻域輸入輸出關系，安裝TTMDI結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應功率譜密度可由式(3)計算。

(3)

B(ω)=(K-ω2M+iωC)-1

(4)

于是，安裝TTMDI的MDOF結(jié)構(gòu)第k層位移和加速度響應方差為

(5)

MDOF結(jié)構(gòu)第k層的峰值位移和峰值加速度可由式(6)求得。

(6)

式中,g為峰值系數(shù)，可由Davenport提出的經(jīng)驗公式式(7)計算而得。

(7)

式中：ν=2π/ω為有效結(jié)構(gòu)響應頻率，Hz，可取為無控結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；Twind為假設風作用于結(jié)構(gòu)的持續(xù)時間，可取為3 600 s。

2 案例分析

2.1 超高層建筑和風激勵模型

本文以某超高層鋼結(jié)構(gòu)建筑的風致振動控制作為工程算例，該超高層建筑共74層，層高4 m，總高度296 m，采用(50×50)m2的方形截面。在風荷載作用下，超高層建筑通常建模為多自由度豎直懸臂梁，這一假設在風振響應分析上被廣泛采用。工程算例模型如圖2所示。其中建筑案例的主要參數(shù)如表1所示。

(a)

表1 案例建筑主要參數(shù)

對于提出的矩形截面超高層建筑，高寬比比較大，橫風向響應遠大于順風向響應。本文采用Liang等[16]提出的零均值高斯遍歷空間相關隨機平穩(wěn)風譜模型來計算結(jié)構(gòu)的橫風向風振響應。脈動風荷載功率譜密度矩陣的對角線單元表示為

(8)

作用在案例結(jié)構(gòu)不同樓層的橫風力功率譜密度函數(shù)變化曲線，如圖3所示。除了第一層和頂層的Δzk為2 m，不同于中間層Δzk為4 m，中間樓層風荷載幅值隨著樓層高度的增加而增大，這和平均風速和漩渦脫落頻率隨樓層高度的變化相同。

圖3 作用于案例建筑不同樓層的橫風力功率譜密度函數(shù)

考慮第k和l層的空間相關性，脈動風荷載功率譜密度矩陣中的非對角線單元表示為

(9)

2.2 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

對于超高層建筑，衡量舒適度的風振加速度響應是重要的控制目標。因此，定義TTMDI的優(yōu)化目標為最小化受控結(jié)構(gòu)頂層橫風向峰值加速度(對f1、f2、ξt1、ξt2、ξT和ηI進行優(yōu)化)，表達如下

(10)

根據(jù)慣性力的表達式，慣容器兩端加速度差越大，其產(chǎn)生的慣性力就越大，所以考慮TTMDI在多自由結(jié)構(gòu)中的拓撲形式對于超高層建筑風致振動控制是非常重要的因素。為此考慮4種拓撲情況：p=4，p=6，p=8，p=10。為了避免由于兩質(zhì)量塊不等造成的非對稱性，設定η=1。根據(jù)TTMDI最優(yōu)評價準則，利用模式搜索算法對TTMDI在具有上述頻譜特性的風荷載下進行參數(shù)優(yōu)化和數(shù)值研究，優(yōu)化流程如圖4所示。并與TMD，TTMD和TMDI進行比較。研究參數(shù)和優(yōu)化參數(shù)取值范圍如表2所示。值得說明的是：TMD為TMDI在β=0時的特殊情況，TTMD為TTMDI在β=0時的特殊情況。TMD、TTMD和TMDI的目標函數(shù)也是最小化結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度。

圖4 模式搜索法優(yōu)化流程圖

表2 優(yōu)化參數(shù)的取值范圍和指定參數(shù)值

2.3 減振性能分析

加速度是衡量舒適度的有效指標，為了定量表示安裝TTMDI后對結(jié)構(gòu)頂層橫風向峰值加速度的控制效果，定義控制有效性Fpa如下

(11)

當質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時，結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度控制有效性Fpa隨β-p變化情況,如圖5所示。

(a)

由圖5可知：總體而言，質(zhì)量塊總質(zhì)量比μ越大，則TTMDI對結(jié)構(gòu)頂層加速度的控制效果越好；當μ值一定時，TTMDI的控制有效性隨著總慣容質(zhì)量比β的增加而增大，其主要原因在于慣容器增加了虛擬質(zhì)量于控制系統(tǒng)上，極大地提高了其有效慣性質(zhì)量，從而獲得高效的控制效果。從變化趨勢可以看出，當μ較小時，TTMDI控制系統(tǒng)可以通過提高β值達到質(zhì)量塊較大時TTMD或TMD的控制效果，所以附加慣容器有利于實現(xiàn)TTMD和TMD裝置的輕質(zhì)化。其次，慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI控制有效性越大，原因在于慣容器連接跨越樓層越多，其兩端相對加速度差值越大，慣容器對主結(jié)構(gòu)額外施加的慣性力Fb也就越大，從而提高了TTMDI系統(tǒng)的振動抑制能力。此外，在相同的μ和β時，TTMDI系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度控制效果要優(yōu)于TMDI系統(tǒng)，但隨著總慣容比β與慣容器連接跨越樓層數(shù)的增大，兩者的差距隨之縮小。

當μ=0.005，μ=0.01時，不同拓撲控制策略下，TTMDI最優(yōu)剛度隨總慣容比β變化趨勢,如圖6所示。

由圖6可知：隨著β的增加，TTMDI最優(yōu)剛度變化出現(xiàn)明顯的拐點。拐點之前，TMD1所需的kt1趨于0，而TMD2所需kt2與TMDI所需的kt相近。其主要原因是，此時慣容質(zhì)量比ηI為0，意味著，總的慣容質(zhì)量集中于與TMD2連接的慣容器上，則TMD2的有效慣性質(zhì)量要遠大于TMD1，TMD2在TTMDI系統(tǒng)中起主要調(diào)諧作用，所以TMD2所需剛度要遠大于TMD1。拐點之后，由于優(yōu)化后的ηI為約1.2的值，兩個TMD的有效慣性質(zhì)量沒有較大的懸殊，同時起到調(diào)諧的作用，所以此時TMD1所需的kt1不為零；而又因為最優(yōu)調(diào)諧頻率比f2>f1，所以TMD2所需的kt2仍就大于kt1。另外，從圖6可以發(fā)現(xiàn)，隨著質(zhì)量塊總質(zhì)量比μ的減小或慣容器連接跨越樓層的增加，拐點出現(xiàn)時所對應的β值越小，甚至消失。其主要原因是，隨著μ的減小或慣容器連接跨越樓層的增加，由慣容器所提供的有效慣性質(zhì)量發(fā)揮的作用越大，所以此時存在一個最優(yōu)的慣容質(zhì)量分配。整體而言，TTMDI所需總的剛度隨著總慣容質(zhì)量比β的增大而增大，且高于TMDI。

當質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時，TTMDI和TMDI處于最優(yōu)狀態(tài)下所需總阻尼隨β-p變化情況，如圖7所示。

(a)

TTMDI系統(tǒng)中各最優(yōu)阻尼系數(shù)隨β和p的變化趨勢,如表3和表4所示。由圖和表可知：在前述拐點出現(xiàn)前，最優(yōu)狀態(tài)下，TTMDI控制系統(tǒng)中ct2值最大且隨著β的增加而迅猛增大，此時相較于ct2，ct1和cT幾乎可忽略不計，這也意味著，此時TTMDI系統(tǒng)相當于一個TMDI與一個TMD串并聯(lián)，其中TMDI發(fā)揮著主要的調(diào)諧耗能的作用。為此，此時TTMDI系統(tǒng)的總阻尼需求同單個TMDI接近，并隨著β的增加而增大。當拐點出現(xiàn)后，最優(yōu)狀態(tài)TTMDI系統(tǒng)的耗能機理發(fā)生了變化，此時TTMDI的ct1和ct2全為零，cT值較大且隨著β的增加而增大，這意味著此時TTMDI系統(tǒng)不同于TMDI，主要通過兩質(zhì)量塊之間的連接阻尼耗能；而且相較于TMDI，TTMDI系統(tǒng)對總阻尼的需求不到TMDI系統(tǒng)的一半。這些特性不僅簡化了TTMDI系統(tǒng)，而且極大的提高了控制系統(tǒng)的經(jīng)濟性，便利性及可實現(xiàn)性。

表3 μ=0.005時TTMDI最優(yōu)阻尼系數(shù)

表4 μ=0.01時TTMDI最優(yōu)阻尼系數(shù)

建筑實際設計需要考慮頂部空間的限制，TTMDI質(zhì)量塊的沖程是必須要考慮的。當質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時，TTMDI處于最優(yōu)狀態(tài)下質(zhì)量塊沖程隨β-p變化情況，如圖8所示。

(a)

與圖4拐點位置對應，TMD1 沖程驟減處即是拐點位置。由圖8可知：在拐點出現(xiàn)前：TTMDI系統(tǒng)中，TMD2則因為連接的剛度和阻尼較大，所以沖程較??；而TMD1由于ct1較小，幾乎可視作無阻尼，所以沖程很大。在拐點出現(xiàn)之后，慣容器慣容質(zhì)量得到重新分配，TMD1和TMD2質(zhì)量塊沖程顯著減小，且分布比較均勻，對結(jié)構(gòu)所需空間需求小?？傮w而言，拐點出現(xiàn)之后，TTMDI的沖程與TMDI的較為接近，都遠小于TTMD和TMD的沖程，且隨著β和慣容器連接跨越樓層的增加而減小。

(a)

由圖9可知：如前所述，拐點之前由于慣容器的慣容質(zhì)量集中于與TMD2連接的慣容器上，所以Ft1=0；此時Ft2>Ft，并且隨著β增大，差距越發(fā)明顯。而當拐點之后，慣容器的慣容質(zhì)量得到重分配，此時與TMD1連接的慣容器開始起作用，所以Ft1突然增大，與此同時Ft2相應減小至低于TMDI的Ft的水平，此時，由圖可見TTMDI的各慣容器產(chǎn)生的力都要小于TMDI系統(tǒng)中單個慣容器產(chǎn)生的力。除此以外，μ越小或慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI慣容器總的作用在結(jié)構(gòu)上的力就越大，這與TMDI情況相似，不同的是，拐點以后，隨著慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI的Ft1隨之增大而Ft2隨之減小，這意味著兩慣容器產(chǎn)生的慣性力越發(fā)均勻。

μ=0.005,β=0.2,p=8時，在較寬的頻率范圍內(nèi)，即無控結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率范圍內(nèi)，受TMD、TTMD、TMDI、TTMDI控制下結(jié)構(gòu)頂層加速度響應的功率譜密度函數(shù)變化曲線,如圖10所示。曲線下的面積即為加速度響應方差。

圖10表明案例建筑在上述橫風向風荷載作用下，結(jié)構(gòu)響應以第一振型為主，高振型對結(jié)構(gòu)總響應的貢獻非常小，在風振計算中可以忽略不計；TTMDI控制下功率譜密度函數(shù)曲線最低，結(jié)構(gòu)頂層加速度響應最小。

圖10 μ=0.005,β=0.2,p=8時，TMD, TTMD, TMDI, 和TTMDI控制下結(jié)構(gòu)頂層加速度功率譜密度函數(shù)曲線

為此，圖11(a)分別給出了無控和受TMD、TTMD、TMDI、TTMDI控制下結(jié)構(gòu)在第一固有頻率附近H(ω)的變化曲線。除了顯示給定β=0.5,p=8時不同總質(zhì)量比μ情況下的結(jié)構(gòu)動力響應外，圖11(b)和圖11(c)還分別給出受TTMDI控制結(jié)構(gòu)H(ω)隨p和β的變化曲線。為了更好的量化頻響控制特性，圖11(a)局部放大窗口中注釋了抑制頻帶寬[17](suppression bandwidth, SB)：控制系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)優(yōu)于無控結(jié)構(gòu)的頻率范圍。根據(jù)這一定義，表5給出了β=0.5,p=8情況下，不同μ時TMD、TTMD、TMDI、TTMDI的抑制帶寬，并分別以TMD，TTMD，TMDI為基準，對TTMDI的SB的提高率進行了計算。由圖11和表5可以看出：

表5 β=0.5,p=8時不同μ值TMD、TTMD、TMDI和TTMDI抑制頻帶寬

(a)

(1)對于不同μ值，相較于TMD，TTMD的SB分別增加了34.8%和35.0%；TMDI則分別增加了68.7%和106%；TTMDI則分別增加了103.3%和168.7%。相較于TTMD，TMDI的SB分別增加了25.1%和52.6%；TTMDI則分別增加了50.7%和99.1%。相較于TMDI，TTMDI的SB則分別增加了20.5%和30.4%。顯然TTMDI和TMDI控制下結(jié)構(gòu)頻率響應曲線明顯比TTMD和TMD更低更平坦，其中TTMDI的優(yōu)勢更強一點。說明TTMDI可以在更大的共振頻率范圍內(nèi)有效降低結(jié)構(gòu)響應，這表明TTMDI對外部輸入激勵頻率變化具有更好的魯棒性。

(2)小質(zhì)量TTMDI(例如μ=0.005)擁有比大質(zhì)量TMDI(例如μ=0.01)更寬的抑制帶寬。

(3)隨著p或β的增大，TTMDI的SB增大，加速度傳遞函數(shù)曲線變低且更平緩。

綜上所述，考慮到TTMDI控制系統(tǒng)的有效性、沖程和慣性力的大小以及剛度和阻尼參數(shù)取值的合理性和經(jīng)濟型，設計參數(shù)μ，β及p的建議值,如表6所示。

表6 TTMDI設計參數(shù)建議值

3 結(jié) 論

根據(jù)慣容器連接布置的不同，設計了4種TTMDI拓撲形式，使用模式搜索法對TTMDI參數(shù)進行優(yōu)化。分別從控制有效性、剛度、阻尼、沖程、慣性力和魯棒性方面，對MDOF結(jié)構(gòu)-TTMDI系統(tǒng)橫風向風振控制性能進行了分析與評價。主要結(jié)論如下:

(1)TTMDI最優(yōu)參數(shù)變化存在拐點，總質(zhì)量比μ越小或慣容器連接跨越樓層越多，拐點出現(xiàn)時所對應的β值越小，拐點后TTMDI的優(yōu)勢才能得以充分發(fā)揮。

(2)當慣容器的慣容質(zhì)量顯著大于質(zhì)量塊質(zhì)量時，TTMDI 和 TMDI 對 MDOF結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度的控制有效性優(yōu)于 TTMD 和 TMD，其中同等質(zhì)量且同等慣容質(zhì)量時，TTMDI 控制有效性優(yōu)于 TMDI。

(3)在質(zhì)量相同情況下，TTMDI和TMDI耗能能力顯著高于TTMD和TMD；而總慣容質(zhì)量相同時，TTMDI只需要一個連接阻尼器，而且TTMDI系統(tǒng)對總阻尼的需求不到TMDI系統(tǒng)的一半，更易于實現(xiàn)。

(4)拐點出現(xiàn)之后，TTMDI沖程與TMDI沖程較為接近，都遠小于TTMD和TMD沖程，且分布更為均勻，易于實際工程應用。

(5)相對于TMD，TTMD 和TMDI，TTMDI在一階固有頻率附近具有更強的魯棒性和減振性能。

(6)給出了TTMDI系統(tǒng)中μ，β和p3個設計參數(shù)的建議值。

因此，TTMDI是一種優(yōu)越的超高層建筑風致振動控制裝置，本文的研究結(jié)論為超高層建筑的抗風設計提供參考。