張 堯，宋志剛

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650000；2.曲靖師范學院 應用技術學院，云南 曲靖 655000)

樓梯是建筑中重要的垂直交通系統(tǒng)，其設計和建造在滿足承載能力的要求下，逐漸向著輕質(zhì)、高強和美觀方向發(fā)展，這使得一些大跨度樓梯容易在人致荷載作用下產(chǎn)生過大振動，面臨振動舒適度問題[1-9]，而樓梯上人致荷載的觀測則是進行相關分析和驗算的基礎。

Kerr等[10]和Bishop等[11]利用測力板觀測了平地和樓梯上的步行荷載的豎向分量，發(fā)現(xiàn)上下樓梯各階動載因子均比水平面上的觀測結果大；杜永峰等[12]和Gaile等[13]，結合無線加速度傳感技術觀測了樓梯上人致荷載的豎向、橫向和縱向分量，給出了各階動載因子的均值和分布特征。我國GB 50352—2019《民用建筑設計統(tǒng)一標準》[14]規(guī)定了各類住宅和公共建筑樓梯的最大高寬比限值，其范圍在1∶1.5～1∶2.5(34°～22°)，而在上述研究中，Kerr等的研究雖使用了不同踏步高寬比的樓梯，但未對不同高寬比下獲得的動載因子(dynamic load factors，DLF)加以區(qū)分對比，杜永峰等和Gaile等的觀測僅使用了一種樓梯踏步高寬比，樓梯踏步高寬比對樓梯上步行荷載的影響有待進一步分析。

本文選取踏步高寬比為1∶1.6，1∶2.0和1∶2.3的3種樓梯，利用無線加速度傳感器對上下樓梯荷載進行觀測，在此基礎上，獲得上下樓梯時不同方向荷載分量的各階動載因子隨步頻變化的統(tǒng)計規(guī)律，通過計算三類樓梯動載因子的相對偏差，研究踏步高寬比對荷載的影響。

1 試驗設計

1.1 試驗原理

圖1 上下樓梯人致荷載分量的坐標系

(1)

(2)

(3)

式中：m為人體質(zhì)量；g為重力加速度。結合上式和測定的質(zhì)心加速度確定荷載分量。

1.2 試驗條件

選取了位于某高校校園內(nèi)的3種室內(nèi)外樓梯作為測試場所，踏步高寬比如表1所示。

表1 樓梯踏步參數(shù)

1.3 被測對象與測試裝置

試驗邀請27位健康成年人作為被測對象，其中男性15名，女性12名，年齡分布在19～22周歲，身高和體重信息如表2所示。

表2 被測者基本信息

用于觀測上下樓梯身體質(zhì)心的無線慣性測量裝置(inertial measurement unit, IMU)如圖2所示。其集成了三軸加速度傳感器、藍牙串口和電源等多個模塊，采樣頻率為100 Hz，加速度測量精度為0.001g，采集的加速度信號可通過藍牙信號傳輸至手機終端。利用腰帶將傳感器布置于腰椎位置(見圖2)。

圖2 質(zhì)心慣性測量裝置及其布置位置

1.4 測試過程與數(shù)據(jù)處理

被測者穿戴測試裝置，在節(jié)拍器提示的頻率下以一次一個踏步的方式行進，節(jié)拍器提示的頻率由1.2 Hz開始，按0.4 Hz的間隔增加，以被測者能夠適應的極限為上限。在每一提示頻率下，被測者在連續(xù)的兩個梯段上往返一次為一組，為保證每一步頻下均可獲得有效荷載樣本，規(guī)定被測者在每個頻率下完成兩組行走。

試驗結束后，從整個測試過程采集的加速度信號中截取穩(wěn)態(tài)行走對應的部分作為有效樣本，即每個梯段中剔除最先和最后3個踏步后中間段的加速度信號。

以上加速度時程代入式(1)～式(3)可獲得3個方向的荷載時程，通過快速傅里葉變換得到下式所表示的荷載頻譜，以及各階動載因子[15-16]。

(4)

(5)

(6)

式中:W=mg為體重;αzi、αyi和αxi分別為豎向、橫向和縱向第i階動載因子;φzi、φyi和φxi為各階諧波相位;fp為步頻。由于橫向荷載周期是豎向和縱向荷載周期的兩倍，假設橫向各階諧波頻率均為其他方向的1/2。

2 試驗結果

2.1 荷載時程

限于篇幅，這里僅給出某身高166 cm，體重54 kg的女性被測者在不同踏步高寬比的樓梯上以1.6 Hz步頻上下樓梯時采集到的身體質(zhì)心加速度信號，如圖3和圖4所示。圖3、圖4僅展示了穩(wěn)定步態(tài)下2 s持時內(nèi)的荷載時程。由圖可知，上樓梯三方向的荷載時程峰值明顯小于下樓梯時的荷載時程峰值。3種踏步高寬比對應的荷載時程變化趨勢基本一致。

(a)豎向

(a)豎向

2.2 荷載頻譜

采集到的加速度時程經(jīng)過卡爾曼濾波處理，除以重力加速度后的時程經(jīng)過快速傅里葉變換，得到圖5和圖6所示頻譜。由圖5和圖6可知，豎向和縱向各階峰值出現(xiàn)在步頻及其倍頻處，橫向各階峰值大概位于步頻及其倍頻的1/2處，豎向和縱向的前三階峰值較明顯。3種樓梯的頻譜峰值接近。

(a)豎向

(a)豎向

2.3 三向動載因子相關性

取圖5和圖6的頻譜幅值作為動載因子觀測值。為驗證樓梯三向荷載模型的表達形式，參考水平面三向動載因子的相關性驗算方法[17]，選取了以1.6 Hz步頻上、下樓梯的65組和70組動載因子，計算各方向間的相關系數(shù)。一階動載因子相關系數(shù),如表3和表4所示。上樓梯情況下豎向和縱向相關性最高，為42.47%，下樓梯時橫向與縱向的相關性最高，為32.98%。由此可判斷，上、下樓梯各向荷載均不存在高度相關性，需要對3個方向的荷載進行獨立建模。

表3 上樓梯豎向、橫向和縱向一階動載因子相關系數(shù)

表4 下樓梯豎向、橫向和縱向一階動載因子相關系數(shù)

2.4 動載因子統(tǒng)計特性

3種樓梯的3個方向各階動載因子實測值與擬合值,如圖7、圖8所示。

實測值分布具有以下規(guī)律：① 動載因子隨步頻提高而提高;② 部分動載因子呈現(xiàn)分段的分布規(guī)律，例如上樓梯豎向一階動載因子,如圖7(a)所示。按步頻分為行走(fp≤2.2 Hz)、跑步(fp>3.0 Hz)和中間過渡區(qū)域(2.2 Hz

擬合值在上述規(guī)律基礎上運用最小二乘法獲得，表達式見式(7)、式(8)、式(9)，其中上樓梯豎向第一階動載因子和縱向各階動載因子采用式(7)、式(8)所示分段線性擬合，其他各階動載因子采用式(9)表示的二次多項式。

(7)

(8)

(9)

分別對3種樓梯動載因子以及所有動載因子進行擬合。3種樓梯的擬合均值(見圖7、圖8)，對所有動載因子的擬合均值，如表5、表6所示。為反映實測值關于擬合均值的離散程度，將實測值表示為式(10)的形式，式中βji系數(shù)表示實測值相對于擬合值的偏差，該系數(shù)近似服從正態(tài)分布，期望和標準差見表5和表6。

(10)

由圖7、圖8的擬合結果可知，3種不同踏步高寬比條件下觀測的動載因子呈現(xiàn)出相近的隨步頻的變化趨勢，即從行走步頻到跑步步頻，整體呈現(xiàn)上升趨勢，僅在縱向的過渡步頻出現(xiàn)平緩或略微下降的趨勢，說明隨著步頻的增加和步態(tài)由行走變?yōu)榕懿?，樓梯上的人致荷載幅值會明顯增加。

(a)上樓梯豎向第一階動載因子

(a)下樓梯豎向第一階動載因子

比較3種樓梯的擬合結果可知，在行走階段，3種樓梯擬合曲線的重合度較高，而在過渡和跑步階段，3種擬合曲線存在分岔，說明動載因子分布具有差異。該差異的原因可能包括動載因子離散度較大，以及樓梯高寬比不同。但曲線的排列順序并沒有隨踏步高寬比呈現(xiàn)明顯的單調(diào)變化趨勢，有必要進一步研究不同踏步高寬比下動載因子的差異。

3 不同踏步高寬比條件下的動載因子差異

所有動載因子擬合結果作為參考值(見表5、表6)。分別計算三種樓梯動載因子的擬合值相對于參考值的偏差，計算公式如下

表6 下樓梯各階動載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

(11)

式中，m為第m種樓梯。

上樓梯情況下的相對偏差，如圖9所示。從圖9可知，在同一步頻區(qū)間內(nèi)，各階動載因子的相對偏差并沒有隨踏步高寬比顯示出單調(diào)變化趨勢。另外，隨著步頻變化，各樓梯的偏差也未呈現(xiàn)出具有規(guī)律的變化趨勢。從偏差的范圍來看，除個別高階動載因子外，其余各階動載因子偏差基本在±30%內(nèi)，與表5的分布標準差相比，屬于較小的偏差范圍。下樓梯情況與之類似。上述結果說明由樓梯踏步高寬比引起的動載因子偏差小于由行人個體間差異和單人步態(tài)不穩(wěn)定性導致的偏差。實際應用中，設計荷載的取值考慮一定的保證率，相對于均值的偏差足以超過30%。因而認為在文本涉及的踏步高寬比范圍內(nèi)，可不考慮踏步高寬比對動載因子的影響。

(a)

表5 上樓梯各階動載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

4 模擬荷載時程與實測值對比

荷載時程可根據(jù)式(4)、式(5)和式(6)重構，式中前三階動載因子根據(jù)行人步頻，按式(7)、式(8)、式(9)和表5、表6取值，荷載時程重構的核心是確定各階分量間的相位差。二階、三階分量與一階分量的相位差可通過基于響應面的最優(yōu)化方法識別，其基本步驟如下：

步驟1確立優(yōu)化的目標函數(shù)，優(yōu)化目標是使重構時程與實測時程的相對誤差最小[18]，如式(12)所示。

步驟2利用均勻試驗設計方法[19]，在[-π, π]內(nèi)以0.01π的水平間距對相位取值進行組配，構造200組取值，生成相應數(shù)量的模擬時程樣本，并計算對應的目標函數(shù)值。

步驟3運用變換條件期望(conditional expectation,ACE)回歸算法[20-22]依據(jù)上述樣本建立相位和目標函數(shù)的響應面關系。

步驟4利用Monte Carlo模擬生成1×105組相位取值，根據(jù)上述響應面關系計算相對誤差，搜索最小誤差對應的相位取值。

(12)

以圖3和圖4中的實測時程為例，按上述方法構造的模擬時程,如圖10和圖11所示。圖中不同曲線為各階動載因子分別取均值、75%分位值與95%分位值對應的模擬結果，相位取值如表7所示。荷載時程的相對誤差在15%以內(nèi)。

(a)豎向

(a)豎向

表7 諧波相位差取值

5 結 論

本文采用無線慣性測量裝置測定了行人在不同高寬比的樓梯上上行和下行所產(chǎn)生的人致荷載，結合傅里葉變換和統(tǒng)計分析給出了人行荷載各階動載因子隨步頻變化的統(tǒng)計規(guī)律，使用擬合值的相對偏差分析了不同踏步高寬比對樓梯上人致荷載的影響，使用基于響應面的最優(yōu)化方法確定重構荷載時程所需的最優(yōu)相位差，結果表明：

(1)上、下行樓梯時各階動載因子隨步頻的提高而提高，變化規(guī)律視情況可分別使用分段線性函數(shù)和二次函數(shù)表示，同一步頻下的動載因子的概率分布服從正態(tài)分布；

(2)在常見民用建筑樓梯踏步高寬比范圍(1∶1.6～1∶2.3)內(nèi)，踏步尺寸引起的豎向、橫向和縱向前三階動載因子偏差在30%以內(nèi)，小于行人個體差異和步態(tài)隨機性的影響，設計荷載取值可不考慮踏步尺寸的影響；

(3)基于均勻試驗和ACE回歸相結合的響應面算法，可識別二階、三階荷載分量與一階荷載分量之間的相位差(見表7)，并較為準確地重構出不同概率分位值下，豎向、縱向和橫向的荷載時程。