閆月靜

【摘要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)的核心要素，培養(yǎng)初中生數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。本文對(duì)初二年級(jí)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力進(jìn)行調(diào)查，找到存在的問題，有針對(duì)性地調(diào)整教學(xué)。調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)停留在較淺的層面上，這與教師的教學(xué)存在較大的相關(guān)性。筆者從教師角度提出注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)、集體備課、使用信息技術(shù)手段、分層次教學(xué)的改進(jìn)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;調(diào)查研究;初中生

一、引言

2011年，教育部頒布實(shí)施的《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“四基”目標(biāo)：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其中，“基本思想”是指數(shù)學(xué)思想，而數(shù)形結(jié)合思想是初中階段一種較為重要的數(shù)學(xué)思想。初中數(shù)學(xué)教材很多內(nèi)容都涉及數(shù)形結(jié)合思想，比如，無理數(shù)在數(shù)軸上的表示、函數(shù)圖象的研究、函數(shù)與方程的聯(lián)系、通過數(shù)的運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì)、勾股定理等。新課標(biāo)頒布以來，深圳市中考每年都對(duì)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力進(jìn)行了考查，如表1所示。

二、調(diào)查研究

（一）調(diào)查對(duì)象和方法

本研究對(duì)深圳市某S學(xué)校初二年級(jí)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力進(jìn)行調(diào)查，該校初二年級(jí)共8個(gè)班級(jí)337名學(xué)生，由4名不同的數(shù)學(xué)教師任課。隨機(jī)抽取了6個(gè)班級(jí)251名學(xué)生參與調(diào)查，其中男生121人，女生130人。主要采取紙質(zhì)問卷調(diào)查的方式，問卷的發(fā)放和回收從2021年5月25日開始，到2021年5月28日結(jié)束。共獲得251份問卷，其中無效問卷4份，有效問卷247份，有效率為98.4%。

（二）調(diào)查問卷的編制

根據(jù)深圳市初中數(shù)學(xué)教學(xué)的開展情況，總結(jié)文獻(xiàn)關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的調(diào)查經(jīng)驗(yàn)。對(duì)調(diào)查問卷從被調(diào)查者基本信息、對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力四個(gè)維度進(jìn)行編制。其中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力是調(diào)查的重點(diǎn)，從以形助數(shù)、以數(shù)解形兩個(gè)方面共選取10道數(shù)學(xué)題進(jìn)行測試。其中，以形助數(shù)方面以函數(shù)問題為主，以數(shù)解形方面以平面幾何問題為主，題目難度系數(shù)在0.4左右，區(qū)分度在0.35以上。

（三）調(diào)查結(jié)果與分析

1.對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)

調(diào)查結(jié)果顯示，67.6%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門有趣或者實(shí)用的學(xué)科，具有想學(xué)好數(shù)學(xué)的主觀意識(shí)和內(nèi)部動(dòng)力。41.7%的學(xué)生認(rèn)為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度較大，學(xué)習(xí)上存在一些障礙和困難。知道數(shù)形結(jié)合的學(xué)生有64.8%，但知道數(shù)學(xué)思想的學(xué)生只有35.2%，選取數(shù)學(xué)教材中的四個(gè)章節(jié)讓學(xué)生判斷是否蘊(yùn)含“數(shù)形結(jié)合思想”，能夠全部判斷正確的學(xué)生只有24.3%。可見，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想沒有系統(tǒng)深入的了解，即使知道數(shù)形結(jié)合，也只是對(duì)其概念淺層次的認(rèn)知，只有少數(shù)學(xué)生知道數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想。

2.對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)

關(guān)于學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，調(diào)查結(jié)果顯示，只有49.0%的學(xué)生在思考相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合思想，其中，學(xué)會(huì)以形助數(shù)思考問題的學(xué)生達(dá)到44.9%，學(xué)會(huì)以數(shù)解形分析問題的學(xué)生達(dá)到51.4%。說明學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)整體上還不夠深入，這與教師的教學(xué)有一定的關(guān)系。只有72.1%的學(xué)生認(rèn)為教師在課堂上注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，66.8%的學(xué)生認(rèn)為教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)他們理解知識(shí)起到了作用。在進(jìn)行有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)時(shí)，教師較少運(yùn)用信息技術(shù)手段，沒有讓數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過程中完全滲透。

在調(diào)查“理解應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，主要的困難有哪些”的問題時(shí)，四個(gè)選項(xiàng)“不能有效結(jié)合”“基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠”“不能及時(shí)聯(lián)想”“數(shù)形轉(zhuǎn)化不夠準(zhǔn)確”選擇的比例分別為41.7%、36.8%、71.7%、34.4%。由此可見，“不能及時(shí)聯(lián)想”是學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的最大障礙。而背后深層次的原因是，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中沒有讓學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題中隱含的數(shù)學(xué)思想。教師雖然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的講解很細(xì)致透徹，學(xué)生相關(guān)題目訓(xùn)練的數(shù)量也很多，但在遇到條件稍作變化的數(shù)學(xué)問題時(shí)仍然不知所措，不能及時(shí)聯(lián)想，也不會(huì)融會(huì)貫通地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法。

3.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力

關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力測試，整體正確率為62.6%，其中以數(shù)解形的問題平均正確率為67.4%，以形助數(shù)的問題平均正確率為60.1%。結(jié)合“對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)”調(diào)查結(jié)果，可見學(xué)生在處理幾何問題時(shí)，通常會(huì)借助“數(shù)”的手段，處理函數(shù)問題時(shí)，用“形”的方法相對(duì)較少。

以第23題為例，關(guān)于x的不等式組整數(shù)解有2個(gè)，則a的取值范圍是（ ?）。該題的正確率為44.1%，回答正確的學(xué)生中有69.7%在思考相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合思想，而回答錯(cuò)誤的學(xué)生中這一比例只有32.6%。交叉分析結(jié)果如表2。

（一）教師教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力的影響

選取三個(gè)班級(jí)分別標(biāo)注為a班、b班、c班，其中a班和b班由同一名數(shù)學(xué)教師任課，c班由另一名數(shù)學(xué)教師任課。以班級(jí)為變量，對(duì)“數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力”的測試結(jié)果進(jìn)行相關(guān)性分析。計(jì)算a班和b班測試結(jié)果的相關(guān)系數(shù)的過程如表3所示。其中xi表示a班10道測試題正確率的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，yi表示b班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

（二）學(xué)生數(shù)學(xué)成績與數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力的關(guān)系

將學(xué)生按照數(shù)學(xué)成績的年級(jí)排名分成前50%、后50%兩個(gè)組別，分別統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算數(shù)學(xué)成績與“對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)”“對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)”“數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力”的相關(guān)系數(shù)分別為0.5003、0.5145、0.4454。不同數(shù)學(xué)成績的學(xué)生在以上三個(gè)方面有較大的差異，說明數(shù)學(xué)成績與數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力有較大的關(guān)系，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力在一定程度上能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。

四、初二數(shù)學(xué)教學(xué)改進(jìn)對(duì)策

根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果及數(shù)據(jù)分析，為了在后續(xù)數(shù)學(xué)教學(xué)中提高效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，提出以下教學(xué)改進(jìn)對(duì)策。

（一）提升學(xué)習(xí)興趣，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，空間形式和數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)所研究的兩個(gè)基本對(duì)象，其中“數(shù)”與“形”是構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心要素。教師在教學(xué)過程中要回歸數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)，注重學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，盡量避免“滿堂灌”的教學(xué)方式，通過設(shè)計(jì)教學(xué)交互活動(dòng)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生思考、探究，逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想。對(duì)數(shù)軸問題、函數(shù)問題、幾何問題等多訓(xùn)練作圖方法，加強(qiáng)學(xué)生的作圖能力，讓學(xué)生有意識(shí)地學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想。

（二）集體備課，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)力量

由于教師的教學(xué)年限、業(yè)務(wù)水平、學(xué)科專長和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)各有不同，有些教師自身對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法內(nèi)涵的理解不夠透徹，或者教學(xué)中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想不夠重視，采取的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)結(jié)合思想的助力不夠。而集體備課能夠充分利用學(xué)校教研組的力量和智慧，在教材研究、教學(xué)計(jì)劃制訂等一些共性問題上進(jìn)行研討商定，取長補(bǔ)短，發(fā)揮集體智慧，有利于教師對(duì)個(gè)人備課進(jìn)行補(bǔ)充和拓展，提升教學(xué)水平，提升教學(xué)質(zhì)量。

（三）使用信息技術(shù)促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想的滲透

隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的信息技術(shù)工具，能夠有效幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想，比如，幾何畫板、Excel的圖表功能、Matlab軟件、圖形編輯器等。信息技術(shù)工具的使用能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)換為直觀可視的圖形圖像，減少學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。而工具本身就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)用性。

（四）分層次教學(xué)

每個(gè)班級(jí)都有不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了一定的困擾。如何兼顧各個(gè)層次的學(xué)生，最大程度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想需要有區(qū)別度的教學(xué)。比如，采取異質(zhì)分組的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)習(xí)好的學(xué)生擔(dān)任組長，幫助教師輔導(dǎo)其他學(xué)生;也可以在數(shù)學(xué)課后作業(yè)的布置上，為他們提供部分難度較大的選做任務(wù);對(duì)于中等或偏下的學(xué)生則適當(dāng)降低學(xué)習(xí)深度，簡化學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展知識(shí)面，夯實(shí)基礎(chǔ)。

五、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想是初中生要掌握的一種重要數(shù)學(xué)思想。上文對(duì)深圳市初二學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力進(jìn)行調(diào)查，找到問題，提出四點(diǎn)教學(xué)改進(jìn)策略，后續(xù)將在教學(xué)中付諸實(shí)踐，檢驗(yàn)教學(xué)策略的有效性，爭取更多的研究成果，為研究初中生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)提供借鑒。

[本文系深圳市教育科學(xué)規(guī)劃2020年度課題“初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：ybfz20064 ）研究成果]

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責(zé)任編輯 ?陳 ?洋