谷偉偉

“函數(shù)的零點與方程的解”一課涉及數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想及從特殊到一般的思想方法等，深入挖掘這些思想方法有助于培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，讓學(xué)生體會從函數(shù)觀點認識方程的思想，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，教學(xué)重點是通過探究得到方程的解與函數(shù)零點的關(guān)系及零點存在性定理，經(jīng)歷探究一應(yīng)用一歸納的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般的思維方法，在利用函數(shù)圖象解決問題的過程中，進一步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想方法，難點是對零點存在性定理的深入理解與應(yīng)用.高效課堂的構(gòu)建需要教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，合理引導(dǎo)把握課堂節(jié)奏，進而讓學(xué)生收獲的更多，提高課堂效率.

1 復(fù)習引入，鋪墊新課

問題的提出：方程Inx+2x -6=0有實根嗎？若有，它有幾個實根？

學(xué)習了今天的內(nèi)容，你就能夠解決這個問題，

請大家完成下列三個活動，

活動1解方程：x2 -2x-3=0.

活動2己知函數(shù)y= x2 -2x-3，若y=0，求實數(shù)x的值？

活動3畫出函數(shù)圖象：y=x2-2x-3.

思考3個活動之間有關(guān)系嗎？

方程的根<=>函數(shù)的零點，

從圖象上看，二次方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，

從圖象上看，二次函數(shù)的零點就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，

方程的根和函數(shù)的零點都是“數(shù)”，圖象是“形”，實現(xiàn)了從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2 函數(shù)零點的定義

什么是函數(shù)的零點？

定義一般地，我們把使函數(shù)y=f（x）的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f（x）的零點，

思考任何函數(shù)都有零點嗎？請舉例，

二次函數(shù)是否存在零點應(yīng)如何判斷？（向形轉(zhuǎn)化，看圖象與x軸交點個數(shù)）

練習求下列函數(shù)的零點.

（1） y=2x-1;

（2） y = log2 x+1;

（3） y=|x-1|-2.

例1判斷函數(shù)f（x）= X2 -2x-1在區(qū)間（2，3）上是否存在零點？

分析直接利用求根公式求出根，能否向“形”轉(zhuǎn)化？請大家畫出這個二次函數(shù)，仔細觀察f（x）在區(qū)間（2，3）上的圖象.在不算出根的情況下，你怎么知道這個根在區(qū)間（2，3）上呢？我們把區(qū)間（2，3）放大，在（2，3）上，記零點為x0，下面從形和數(shù)兩個角度進行分析，因為零點x0在x軸上，所以它的函數(shù)值為0.因為函數(shù)f（x）在（2，x0）上的圖象在x軸的下方，所以f（x）在（2，x0）上的函數(shù)值為負數(shù)，因為函數(shù)廠（x）在（x0，3）上的圖象在x軸的上方，所以f（x）在（x0，3）上的函數(shù)值為正數(shù)，那么函數(shù)廠（x）在（2，3）上的函數(shù)值從下往上看應(yīng)該是由負值逐漸變到0再逐漸變到正值，又因為二次函數(shù)在（2，3）上不間斷，所以二次函數(shù)f（x）在（2，3）上的圖象必然穿過x軸，即它必然存在零點，此時f（2）<0，f（3）>0.同理，函數(shù)f （x）在（-1，0）上的函數(shù)值從上往下看應(yīng)該是由正值逐漸變到0再逐漸變到負值，所以函數(shù)f（x）在（-1，0）上的圖象必然穿過x軸，即它必然存在零點，此時廠（-1）>;0，f（0）<0.而函數(shù)f （x）在（-2，-l）上由于沒有這種變化，所以f（x）在（-2，-1）上的圖形不能穿過x軸，因此它沒有零點，

探究1如圖1，單調(diào)函數(shù)在（a，b）上一定有零點嗎？

由圖知：函數(shù)要存在零點，必須是連續(xù)函數(shù)，而且兩個端點值的乘積要小于0.

設(shè)計意圖從特殊的函數(shù)——單調(diào)函數(shù)入手，分析函數(shù)零點存在的條件，

探究2若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖2是連續(xù)不斷的一條曲線，而且不單調(diào)，若滿足f（a）.f（b）<0，則y=f（x）在（a，b）上只有一個零點？

設(shè)計意圖學(xué)生可能受探究1的單調(diào)函數(shù)的影響，認為函數(shù)存在零點的話，可能就只有1個，通過探究2，學(xué)生可以“生惑”，加深對“存在”的理解.

3 零點存在定理

定理若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不問斷的曲線，且f（a）.f（b）<0，則函數(shù)y=f （x）在區(qū)間（a，b）上有零點，

注單調(diào)函數(shù)不一定有零點，如果有，一定只有一個零點;定理中的有零點可能不止一個，“存在”即至少一個的意思，

例2證明函數(shù)f（x）= Inx+2x-6在區(qū)間（1，3）上有零點，

證明∵f（x）的圖象在[1，3]上不間斷，

f（1）=一4<0，f（3）=ln3>0，

∴f（1）.f（3）<0.

∴f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，

變式函數(shù)f （x）=Inx+2x-6在（1，3）上有____個零點，

法1由例2知f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，且f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=Inx+2x-6在（1，3）上只有一個零點，

法2函數(shù)零點的個數(shù)就是方程Inx+2x -6=0根的個數(shù)，能否直接求出方程Inx+2x-6=0的根？Inx=-2x+6的根（數(shù)）轉(zhuǎn)化為

交點的個數(shù)（由“數(shù)”向“形”）從圖上能夠直觀發(fā)現(xiàn)：它們只有一個交點，且在（1，3）上，即方程在（1，3）上只有一個根，所以函數(shù)f（x）= Inx+2x -6在（1，3）上只有一個零點，

探究3若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不問斷的曲線，且函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有零點，則f（a）.f（b）

生：f（x）=x2—1在（-2，2）上有零點，但f（-2）.f（2）>0;

師：說明該定理的逆定理不成立，

變式求定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin 2x的圖象與y= cosx的圖象的交點個數(shù)？

本例說明：兩個函數(shù)的交點問題可以轉(zhuǎn)化成方程的根的問題，

總結(jié)：函數(shù)的零點（數(shù)）問題處理方法，

①方程的根;（數(shù)）

②零點存在定理;（數(shù)）

③函數(shù)的零點或方程的根的問題可以轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題;（形）

④方程的根<=>函數(shù)的零點→零點存在定理<=>兩個函數(shù)的交點問題。（形）

思想方法函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想，

參考文獻

[1]焦志誠.核心素養(yǎng)下的高效課堂構(gòu)建：“函數(shù)的零點和方程的解”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育（高中版），2019 （6）：51-54

[2]章建躍.高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計案例集（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2017（本文系教育部研究課題“基于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的教材資源的整合和利用的行動研究”（課題編號：JC20190206）的研究成果之一）