王樂樂

摘要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于課本知識和題海練習(xí)，在學(xué)生掌握基本的知識技能后，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、舉一反三的能力對于后續(xù)的學(xué)習(xí)發(fā)展有著重要意義.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，變式教學(xué)是一種重要的教學(xué)方法.通過對問題的變式，揭示知識的發(fā)生過程與知識彼此之間的聯(lián)系，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，引發(fā)學(xué)生自主思考，反思.本文中以三角尺的旋轉(zhuǎn)變式為例，對變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進行實例分析.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；變式教學(xué)；案例分析；教學(xué)效果

1 背景分析

初中數(shù)學(xué)題型眾多，許多學(xué)生雖然做了很多題，但缺乏反思總結(jié)、拓展延伸的過程，題目稍微改變一下就不會.這樣的學(xué)習(xí)不僅費時費力，長此以往還會打擊學(xué)生的自信心和積極性.而在長期教學(xué)實踐中，變式教學(xué)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之中.在教學(xué)時有設(shè)計地運用變式，能讓學(xué)生從復(fù)雜的條件中找到問題的本質(zhì)，融會貫通、化繁為簡，有效提高學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的積極性.變式教學(xué)可以是教師變式，也可以是學(xué)生變式.教學(xué)時應(yīng)以實際學(xué)情為基礎(chǔ)，結(jié)合學(xué)生知識水平，引發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題［1］.變式教學(xué)還應(yīng)延伸到題目之外，即關(guān)注學(xué)生在思考總結(jié)、反思整理環(huán)節(jié)中能否運用變式思想進行拓展提升，才能更有效地提高教學(xué)效果.

筆者以三角尺的旋轉(zhuǎn)變式為例，探討變式教學(xué)模式在課堂教學(xué)中的有效運用，從一個基本圖形出發(fā)，不斷演變、延伸、探索新的問題，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新精神，學(xué)會舉一反三，建立更完善的知識體系.

2 變式教學(xué)的實踐

變式教學(xué)形式多樣，筆者選取以三角尺為載體的一類經(jīng)典而多變的旋轉(zhuǎn)變換題型進行教學(xué)設(shè)計.這類問題涉及三角形全等、相似等知識點，設(shè)計精巧，學(xué)生初見時常有畏懼情緒，因此筆者以學(xué)生熟悉的典型題為例，提煉基礎(chǔ)題型中的關(guān)鍵思想，并逐步變式，層層遞進，消除學(xué)生的畏難情緒.

原問題如圖1所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，將一塊直角三角尺的直角頂點放在AB的中點O處.三角尺繞點O旋轉(zhuǎn)時，其兩直角邊分別交邊AC，CB于點D，E.證明：OD=OE.

分析：O為等腰直角三角形斜邊上的中點，連結(jié)OC.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得OC=OB，∠DCO=∠EBO=45°；又因為同角的余角相等，可得∠DOC=∠EOB，從而三角形△ODC和△OEB全等，則可以得到OD=OE.

變式1將題目條件“其兩直角邊分別交邊AC，CB于點D，E”，改為“其兩直角邊分別交射線AC，CB于點D，E”.如果也要求證OD=OE，則需要進行分類討論.學(xué)生畫出點D，E分別落在AC，CB延長線上的情況（如圖3）后發(fā)現(xiàn)，解題的思想和方法是相同的.

改變題中等腰直角三角形ABC的形狀，變式為一副三角尺旋轉(zhuǎn)的問題.

變式2將一副三角尺按圖4進行擺放.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°；D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C.將△DEF繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<60°），此時的等腰直角三角尺記為 △DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷PMCN的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出PMCN的值；反之，請說明理由.

分析：與原問題中等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)相同，由同角的余角相等，可得∠PDM=∠CDN.因為△BCD為等邊三角形，所以∠BCD=∠BDC=60°，∠ADE=30°.由三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和，可得∠MPD=∠A+∠ADE=60°.因為∠PDM=∠CDN=α且∠MPD=∠NCD=60°，所以△MPD∽△NCD，故PMCN=PDCD=33.

在原題的基礎(chǔ)上改變了三角尺的形狀，但旋轉(zhuǎn)變換中所用的三角形知識和解決問題的思想方法是一致的，通過變式讓知識間產(chǎn)生聯(lián)系，形成知識體系［2］.

變式3△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E為△ABC斜邊BC的中點.

（1）如圖5-1，DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖5-2，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE交BA的延長線于點M，EF與AC交于點N，除（1）中的相似三角形外，再找出一對相似三角形，并證明你的結(jié)論.

分析：（1）因為∠DEC=∠B+∠BME，所以∠MEN+∠NEC=∠B+∠BME.又因為△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，所以∠B=∠MEN=45°.則∠NEC=∠BME，故△BEM∽△CNE.

（2）由（1）知△BEM∽△CNE，所以BMCE=MEEN.又因為CE=EB，所以BMEB=MEEN.而∠MBE=∠MEN=45°，故△BEM∽△ENM.

然而在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對于（2）的解答，學(xué)生并不善于由中點條件將相等的邊代換， 把對應(yīng)邊的比構(gòu)造成另外兩個三角形對應(yīng)邊的比.他們?yōu)樽C△BEM∽△ENM，更自然地想到已知∠MBE=∠MEN=45°，然后想辦法證明∠BME=∠NME.

這種思路更貼近于學(xué)生實際的知識水平和思維方式，此時老師不妨從學(xué)生的實際想法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考此變式與原問題間的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生順著思路繼續(xù)探究.可構(gòu)造一個45°的角與其對應(yīng)，過E點作一直角， 如圖6，構(gòu)造出形如原問題的基本圖形， 由原問題的結(jié)論可得△CNE≌△AM′E，NE=M′E.

因此不妨將△DEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得△D′EF′，D′E交AB于點M′，如圖7所示.因為NE=M′E，∠NEM=∠M′EM，MN=MM′，所以△NEM≌△M′EM.由此得∠NME=∠BME，可證△ENM∽△BEM.

這種證法從較為復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)中提煉出問題的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生思考，進行恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換，符合學(xué)生的認知水平，同時讓學(xué)生感受探索新的解題方法、拓展解題思路的成就感.通過變式體現(xiàn)了不同知識點的和諧統(tǒng)一，展示了數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.

在這類特殊角的旋轉(zhuǎn)問題解決后，仍可對學(xué)生提出變式思考，當(dāng)變式3中∠DEF的度數(shù)改變時，相似的結(jié)論還成立嗎？怎樣改變條件，可使相似的結(jié)論依然成立？這樣學(xué)生樂于思考，從教師進行變式教學(xué)到學(xué)生主動變式探索，經(jīng)歷思維提升的過程.

變式4△ABC中， ∠B=∠C=α（0°<α<90°），E為BC的中點，∠DEF=α，繞點E旋轉(zhuǎn).

（1）如圖8，當(dāng)∠DEF的兩邊分別交AB，AC于點M，N時，求證： △BEM∽△CNE；

（2）將∠DEF繞點E旋轉(zhuǎn)到圖9情形時，∠DEF的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點M，N，△BEM與△CNE還相似嗎？

（3）在（2）的基礎(chǔ)上連接MN，△BEM與△ENM是否相似？請說明理由.

由于構(gòu)造了與變式3相近的圖形， 因此本題也可用變式3的證法解決.以此設(shè)計變式，層層遞進，從特殊到一般，讓學(xué)生經(jīng)歷變式思考的過程，自主完成從舊知識到新問題的構(gòu)建，達到學(xué)習(xí)的目的.

3 總結(jié)與思考

變式教學(xué)設(shè)計要遵循目的性原則，常見的變式目的是讓學(xué)生掌握核心概念，深入理解性質(zhì)定理，學(xué)會應(yīng)用拓展.教師要根據(jù)實際情況有針對性地組織變式教學(xué)［3］.變式教學(xué)不僅僅是體現(xiàn)教師教學(xué)的設(shè)計和理念，還要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，將教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相結(jié)合.不同的學(xué)生對題目有不一樣的理解和求解方式，在變式時鼓勵學(xué)生積極探索，互相補充，這種思維的碰撞能夠給變式教學(xué)帶來意外的收獲.變式教學(xué)是為更好地提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率而服務(wù)的，不能給學(xué)生造成為變而變、無效刷題的負擔(dān).因此變式的設(shè)計不能僅是題目形式上的變化，更應(yīng)從深層次挖掘它的教學(xué)意義，真正幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在實際開展變式教學(xué)的過程中，不僅是教師設(shè)計創(chuàng)新變式，還應(yīng)給學(xué)生留有主動思考、自主探索變式的空間和時間，讓學(xué)生提出符合實際學(xué)情的問題.教師在引導(dǎo)學(xué)生的過程中，應(yīng)有意識地回歸基本圖形或核心知識點，解釋問題內(nèi)在的聯(lián)系，運用學(xué)生已經(jīng)掌握的問題表征策略解決問題.同時注重導(dǎo)入情境的變式，設(shè)置一定梯度，使學(xué)生的思維可以逐步前進，讓學(xué)生體驗變式學(xué)習(xí)的樂趣.

在變式教學(xué)的實踐中，也難免會存在一些困難和矛盾.如果平衡不好學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師必要指導(dǎo)間的關(guān)系，那么變式教學(xué)就會變成教師的“展示秀”，反而增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).課堂應(yīng)以學(xué)生為本，變式教學(xué)設(shè)計的本身目的是為了使教學(xué)效果更加理想.變式教學(xué)的過程中，教師要尊重學(xué)生的認知水平和心理特點，注重培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，引導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會自主變式拓展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻：

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[3]孫壽春.變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（5）：70-72.Z