王 凱

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中與“數(shù)形結(jié)合”聯(lián)系最緊密的內(nèi)容之一，“在建立幾何直觀的基礎(chǔ)上，利用代數(shù)方法予以表達”是其基本理念。在以往的解析幾何教學(xué)中，無論是新授課還是習(xí)題課，教師經(jīng)常會使用信息技術(shù)軟件演示動畫效果，借助直觀呈現(xiàn)來幫助學(xué)生更好地理解概念和思考問題，從這個層面上來說，技術(shù)的引入僅僅是為了驗證問題。在信息化的環(huán)境下，學(xué)習(xí)解析幾何，應(yīng)嘗試用技術(shù)去設(shè)計實驗、驗證猜想，用技術(shù)的力量促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解走向更高層面。

2019年人教版高中數(shù)學(xué)（A版）教材強調(diào)通過信息技術(shù)軟件探究圖形之間的關(guān)系［1］，把信息技術(shù)作為學(xué)生的一種認知工具，在教學(xué)過程中幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教。［2］“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的軟件，它能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關(guān)系、運行變化規(guī)律，是一款用于輔助教授代數(shù)、歐氏幾何、微積分等數(shù)學(xué)知識的動態(tài)幾何軟件。

本文以人教A版教材選擇性必修中的“解析幾何”內(nèi)容為素材，以“幾何畫板”為工具，談?wù)勅绾螛?gòu)建信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的課堂，讓信息技術(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的認知工具。

一、解題后顯形

筆者以2019年人教A版選擇性必修一第二章“直線和圓的方程”中“圓與圓的位置關(guān)系”的例6為例題，引入本節(jié)課。

（圖1）

以上解題方法需要學(xué)生具備較強的抽象思維能力，但由于缺少對幾何圖形的直觀觀察和理解，所以很多學(xué)生不確定通過計算得出的答案是否準確。此時教師可以借助幾何畫板，展示點M的軌跡方程。如圖2，筆者用繪圖軟件作點A（-2，0）、B（2，0），設(shè)置參數(shù)k，作線段BD并度量出其長度r2。以點B為圓心，BD長為半徑作圓B；以點A為圓心，k·BD長r1為半徑作圓A。圓B與圓A交于點M，改變BD的長度，就可以得到點M的軌跡。

此過程使點M的運動軌跡直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓不可見的“代數(shù)關(guān)系”變成了可見的“幾何圖形”。上述教學(xué)中，筆者先用解析的方法進行代數(shù)推理，再用信息技術(shù)工具進行數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生通過數(shù)和形的角度去理解這種比值構(gòu)圓的過程。高中數(shù)學(xué)中有很多概念具有較強的抽象性，所以在概念教學(xué)的過程中，教師可以借助信息技術(shù)讓學(xué)生直觀地感知概念，這對學(xué)生正確理解、掌握數(shù)學(xué)概念有很大的幫助。

二、用變形引導(dǎo)探究

通過以上過程，學(xué)生對信息技術(shù)在解決幾何問題中的應(yīng)用有了一定的認識。此時教師可以對上述問題進行拓展，增加變量，引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)再現(xiàn)幾何圖形的運動過程，強化學(xué)生對信息技術(shù)的理解和運用。

（圖3）

以上探究過程以課本的例題為源，改變情境，借助技術(shù)探究結(jié)果，看似和之前處理問題的方式一致，但在化簡的過程中分類較多，對學(xué)生解析和操作能力的要求也較高。在此過程中，學(xué)生能夠自主利用信息技術(shù)解決問題、思考數(shù)學(xué)現(xiàn)象、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，為接下來系統(tǒng)學(xué)習(xí)圓錐曲線提供了認知基礎(chǔ)和心理準備。我們的教學(xué)應(yīng)該追求這樣一種境界——讓數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認知的過程、思維的過程合理。［3］

三、理解代數(shù)關(guān)系

通過信息技術(shù)再現(xiàn)幾何圖形的運動軌跡，化抽象的代數(shù)關(guān)系為直觀的幾何圖形，提高了學(xué)生利用信息技術(shù)分析和解決問題的能力。但在考試過程中，學(xué)生往往只能利用抽象思維推理出題目中的代數(shù)關(guān)系，因此教學(xué)最后的落腳點還是要落在代數(shù)關(guān)系的計算上。而信息技術(shù)則作為一種認知工具，能夠加強學(xué)生對此代數(shù)關(guān)系的理解，提高其解決問題的能力。

按照之前的思路，解決這兩個問題時，教師可借助幾何畫板在繪制圖形的過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，通過演繹推理，最終完成任務(wù)。

從最初的問題出發(fā)，學(xué)生在構(gòu)圖軟件中再現(xiàn)了平面中一動點M到兩定點A和B距離之比、之積、之和、之差（的絕對值）為定常數(shù)的點軌跡，加深了對代數(shù)關(guān)系的理解。信息技術(shù)的介入能使學(xué)生的邏輯推理方向更加明確，找到解決問題的關(guān)鍵點。信息技術(shù)在這里不僅僅是學(xué)具，更是學(xué)生認知的孵化器，讓學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”［4］，培育學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實效性。［5］”以上教學(xué)設(shè)計更加側(cè)重利用信息技術(shù)工具培養(yǎng)學(xué)生獨立自主學(xué)習(xí)的意識，突出了數(shù)學(xué)知識的連貫性，旨在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。在這一教學(xué)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動轉(zhuǎn)為主動，經(jīng)歷了探索和求新的過程，培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維。

作為教師，要努力為學(xué)生搭建基于信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實驗平臺，比如幾何畫板、網(wǎng)絡(luò)畫板、GeoGebra和圖形計算器等，結(jié)合這些信息技術(shù)各自的特點，在教學(xué)的過程中組合使用，以活躍學(xué)生的思維、拓寬其視野、培育其創(chuàng)新精神。