張解放 俞定國 金美貞

1) (浙江傳媒學(xué)院智能媒體技術(shù)研究院,杭州 310018)

2) (浙江省影視媒體技術(shù)研究重點實驗室,杭州 310018)

3) (浙江傳媒學(xué)院媒體工程學(xué)院,杭州 310018)

4) (浙江傳媒學(xué)院網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中心,杭州 310018)

首先建立(2+1)維(二維空間和一維時間)Zakharov 方程的自相似變換,并將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為(1+1)維非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程;然后基于該相似變換和已知的(1+1)維NLS 方程有理形式解,通過選擇合適參數(shù)得到了(2+1)維Zakharov 方程在x-y 平面上豐富的線怪波簇激發(fā),發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生線怪波簇最大輻值時的傳播距離 z 值完全不同,而且形狀和幅度可以得到有效調(diào)控;最后借助圖示展現(xiàn)了二維怪波的傳播特征.此外,發(fā)現(xiàn)在x-y 平面上,當參數(shù) γ=1 時,呈現(xiàn)線怪波;而當參數(shù) γ1 時,線怪波轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的局域怪波.隨參數(shù) γ 的增大,可以在x-y 平面限定區(qū)域獲得時空局域的怪波,這與Peregrine 在(1+1)維NLS 方程中發(fā)現(xiàn)的“Kuznetsov-Ma 孤子”(Kuznetsov-Ma soliton,KMS)或“Akhmediev 呼吸子”(Akhmediev breather,AB)極限情形的“Peregrine 孤子”(Peregrine soliton,PS)類似.本文提出的(2+1)維Zakharov 方程怪波方法可以作為獲得高維怪波激發(fā)的有效途徑,并推廣應(yīng)用于其他(2+1)維非線性系統(tǒng).

1 引言

怪波概念起源于海洋,用來描述海洋上出現(xiàn)的一種奇怪的海浪,是一種波幅很大、持續(xù)時間極短的突然性海浪,對海面上的船只和構(gòu)建物具有極大的破壞力[1,2].近20 年來,人們普遍認為怪波是一種典型的自然現(xiàn)象[3],由于其奇異的特征、獨特的物理機制和有價值的應(yīng)用背景,引起學(xué)術(shù)界的強烈興趣,研究領(lǐng)域從海洋延伸到非線性光學(xué)系統(tǒng)[4,5]、等離子體[6]、流體動力學(xué)[7,8]、大氣[9]、玻色-愛因斯坦凝聚[5]、微波[10]、超流體[11]和金融系統(tǒng)[12],既有豐富的理論成果[13?16],又有重要的實驗驗證[17?18].

Peregrine[19]在(1+1)維(一維空間和一維時間)非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程中首先發(fā)現(xiàn)一種時空雙重局域的新型“Peregrine 孤子”(Peregrine soliton,PS),具有“來無影去無蹤”特征.Akhmediev 等[20]對NLS 方程的怪波做了比較全面的分析,指出怪波是一種非奇異的有理形式結(jié)構(gòu),是“Kuznetsov-Ma 孤子”(Kuznetsov-Ma soliton,KMS)或“Akhmediev 呼吸子”(Akhmediev breather,AB)的極限情形,Kedziora等[21]還相繼發(fā)現(xiàn)了NLS 方程的高階怪波和多怪波.

實際的物理問題一般由高維非線性波動模型描述,因此有必要對(2+1)維(二維空間和一維時間)或(n+1)維NLS 方程開展研究.近年我們建立了一種自相似變換方法,得到了非自治Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程有理函數(shù)表示的二維單、雙、三怪波解[22]和Fokas 系統(tǒng)的二維怪波激發(fā)[23].本文進一步探索自相似變換理論,研究(1)式模型的二維怪波激發(fā)及其傳播特性,

(1)式是由Zakharov 提出的(2+1)維NLS 方程,為區(qū)別不同NLS 方程的(2+1)維推廣,本文稱(1)式為(2+1)維Zakharov 方程[24]其可以改寫為以下形式:

當y=x時,(2)式退化為眾所周知的(1+1)維NLS方程;當z=0,(1)式則退化為復(fù)式Sine-Gordon方程.Radha 等[25]指出(2+1)維Zakharov方程具有Painlevé性質(zhì),并進行了奇異結(jié)構(gòu)分析,給出了雙線性形式;Strachan[26]利用雙線性方法并通過自由選取的任意函數(shù)構(gòu)造了一類新的誘導(dǎo)局域相干結(jié)構(gòu)的方法;Radha 等[27]利用任意函數(shù)得到了單孤子解和雙孤子解;Shen 等[28]利用雙線性算子方法,給出了同宿軌道解及其所表示的同宿軌道;Wang 等[29]利用動力系統(tǒng)方法和分岔理論,研究了NLS 方程的行波解,得到了有界行波解的可能顯式參數(shù)表示,并給出了參數(shù)空間內(nèi)的各種相圖;Chen 等[30]應(yīng)用雙線性方法求得了呼吸子解和一階怪波解,還利用Sato 算子理論給出了一階和高階怪波解;Wang 等[31]利用雙線性方法和長波極限方法得到n孤子的有理解和混合解;Chen等[32]利用朗斯基行列式,給出了一種簡便構(gòu)造呼吸子解和怪波解的有效方法.

本文首先建立(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換,然后基于(1+1)維NLS 方程已有的結(jié)果,在x-y平面上得到怪波激發(fā);最后給出討論,列舉三個文獻[30?32]給出的線怪波作為本文的特例.值得提及的是,本文還發(fā)現(xiàn)了x-y平面有限區(qū)域內(nèi)的短壽命怪波,與(1+1)維NLS 方程發(fā)現(xiàn)的一維怪波原型相同.

2 (2+1)維Zakharov 方程的自相似變換

為了研究(2+1)維Zakharov 方程引入下列相似變換,

其中ρ1(z),ρ2(z),?(ξ,ζ),ψ(ξ,ζ),φ(x,y,z) 和ξ=ξ(x,y,z),ζ=ζ(z)分別是指定變量的待定函數(shù).從(3)式可以得到

將(4)式—(6)式代入(1)式導(dǎo)出

對于(7)式,若ξ(x,t),τ(t),?(x,y,t) 滿足下列關(guān)系：

那么(8)式可轉(zhuǎn)化為(1+1)維NLS 方程:

不失一般性,(8)式取積分后的積分常數(shù)為0.

鑒于(2+1)維Zakharov 方程對空間變量x,y具有一定的對稱性,(9)式可定義相似變量ξ為

其中κ(z),ω(z) 是關(guān)于傳播距離z的待定實函數(shù),γ是一個任意常數(shù).結(jié)合(16)式,由(10)式可以推定φ(x,y,z) 具有如下形式:

由(10)式—(14)式可求得

其中w0,?0,α0,?0,β0為實常數(shù),w(z)=w0(1?2α0z) .整理后得到

其中

因為ρ0是常數(shù),因此只能選取α0=0,表明在這種情形下該系統(tǒng)不存在啁啾,于是得到

其中?c(z)=?(?0+2γβ0z) 為脈沖的中心位置.綜上可知該系統(tǒng)的脈沖寬度為w0,相位φ(x,y,z)=?β0(x+γy)??φ0,振幅擴大系數(shù)為/w0.

通過自相似變換(3)式,把(2+1)維Zakharov方程映射為(1+1)維NLS 方程.(15)式是一個可積系統(tǒng),已有各類解析和數(shù)值方法研究,并得到了行波解、亮孤子解、暗孤子解、呼吸子解和有理數(shù)解等豐富結(jié)果.下面借助(15)式的相關(guān)結(jié)果,深入研究(1)式的二維怪波激發(fā).

3 線怪波簇激發(fā)及其傳播特性

下面考慮(2+1)維NLS 方程(1)式或(2)式的線怪波激發(fā)和動力學(xué)傳播特征.眾所周知,(1+1)維NLS 方程具有如下形式的怪波解,

其 中n(=1,2,3,···) 是正整數(shù),Gn(ξ,ζ),Hn(ξ,ζ),Fn(ξ,ζ)是有理多項式函數(shù),并要求多項式Fn(ξ,ζ)在積分區(qū)域不為0,且可以用不同的方法求得.

值得指出的是,(2+1)維Zakharov 方程的一階線怪波激發(fā),即(28)式是關(guān)于坐標x,y的線性組合坐標ξ,ζ和傳播距離z表示的有理形式解.考慮到實際物理背景,譬如光學(xué)上研究的波導(dǎo)介質(zhì)截面,水動力學(xué)研究的水表面等,需要在平面上討論(2+1)維Zakharov 方程的怪波解才有實際意義.類比于KP 方程的線孤子解,在x-y平面上分析討論(1)式的線怪波動力學(xué)傳播特性.

對n=1,有

則(28)式成為

通過選擇適當?shù)淖杂蓞?shù)值,由(30)式可得到(1)式的一階線怪波演化圖.圖1(a),(b),(c)分別是當傳播距離z=?3,0,1 時一階線怪波在x-y平面上的三維圖,A表示該位置時一階線怪波的最大幅值;(d),(e),(f)分別是對應(yīng)的投影圖,參數(shù)值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0 .

圖1 傳播距離 z=?3,0,1 時一階線怪波 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對 應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.45;(b),(e) A=4.24;(c),(f) A=1.71Fig.1.One-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.45;(b),(e) A=4.24;(c),(f) A=1.71.

對n=2,G2(ξ,ζ),H2(ξ,ζ),F2(ξ,ζ) 可以有多種不同的形式.若選取

則(28)式成為

其中ρ1,ξ,ζ,φ由相似變換(25)式—(27)式表示,?(x,y),?c(z)由(23)式給出.由于(34)式中μ,δ是任意常參數(shù),因此具有多種不同的結(jié)構(gòu).最簡單的情況是μ=δ=0,通過選擇適當?shù)淖杂蓞?shù)值,由(34)式可得到(1)式的二階線怪波演化圖.圖2(a),(b),(c)分別是當傳播距離z=?3,0,1 時在x-y平面上的二階怪波的三維圖,(d),(e),(f)分別是對應(yīng)的投影圖,參數(shù)取值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=μ=δ=0.

圖2 傳播距離 z=?3,0,1 時二階線怪波 |u| (a),(b),(c)三維圖;(d),(e),(f) 對 應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.58;(b),(e) A=7.32;(c),(f) A=1.93Fig.2.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.58;(b),(e) A=7.32;(c),(f) A=1.93.

當μ,δ都不為0 時,(34)式描述的是(2+1)維Zakharov 方程的線怪波簇(rogue wave cluster,RWC).具有以下5 種情況:1)μ=100,δ=0;2)μ=0,δ=100;3)μ=40,δ=20;4)μ=20,δ=?20 ;5)μ=?20,δ=20.這5 種情況分別對應(yīng)圖3—圖7,其中各圖的(a),(b),(c)圖分別是不同傳播距離z時在x-y平面上線怪波簇的三維圖,(d),(e),(f)圖對應(yīng)投影圖,其他參數(shù)取值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0.這5 種情況雖描述的都是線怪波簇,但產(chǎn)生線怪波簇最大輻值A(chǔ)的傳播距離z值(位置)和形狀完全不同,參數(shù)選取具體見圖3—圖7中說明.

圖3 傳播距離 z=?3,0, 2 時二階線怪波 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.52;(b),(e) A=3.99;(c),(f) A=1.69;參數(shù)w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=δ=0,μ=100Fig.3.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0, 2 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.52;(b),(e) A=3.99;(c),(f) A=1.69;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=δ=0, μ=100 .

圖4 傳播距離 z=?1.5, ?0.635, 0.5 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.80;(b),(e) A=5.81;(c),(f) A=2.23;參數(shù)w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=μ=0,δ=100Fig.4.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1.5, ?0.635, 0.5 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.80;(b),(e) A=5.81;(c),(f) A=2.23;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=μ=0,δ=100 .

圖5 傳播距離 z=0,0.5,1.0 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c)三維圖;(d),(e),(f) 對應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.36;(c),(f) A=2.78;參數(shù)w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=40,δ=20Fig.5.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=0,0.5,1.0 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.36;(c),(f) A=2.78;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=40,δ=20 .

圖6 (a),(b),(c)傳播距離 z=?1,0.29,1.5 時二線怪波簇 |u| 在x-y 平面上的三維圖;(d),(e),(f)對應(yīng)的投影圖;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.53;(c),(f) A=1.72;參數(shù)w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=20,δ=?20Fig.6.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1,0.29,1.5 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.53;(c),(f) A=1.72;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=0,μ=20,δ=?20 .

圖7 傳播距離 z=?1.5, ?0.295,1 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f)對應(yīng)x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.72;(b),(e) A=4.39;(c),(f) A=2.39;參數(shù)w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0, μ=?20,δ=20Fig.7.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1.5, ?0.295,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.72;(b),(e) A=4.39;(c),(f) A=2.39;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=0, μ=?20,δ=20 .

對于高階線怪波和其他形式結(jié)構(gòu)的怪波都可以做類似研究,限于篇幅這里不深入討論.由圖1—圖7 可以看出,在真實的x-y平面上線怪波簇呈現(xiàn)出類似線孤子的形態(tài),產(chǎn)生線怪波的背景值都是1.42.但與線孤子不同的是,其峰值不僅很大,而且衰減極快,具有怪波的大振幅、短壽命特征.

當寬度w0確定后,只有參數(shù)γ對一階線怪波的形態(tài)產(chǎn)生影響.圖8 展現(xiàn)了一階怪波(30)式在x-y平面上隨參數(shù)γ在z=0 時的不同形態(tài),和圖1—圖7 一樣,隨z快速衰減,具有怪波的大振幅、短壽命特征.可以看出,在x-y平面上,隨γ的取值變化,一階線怪波轉(zhuǎn)變?yōu)榉至⒌墓植?當γ=15 時,在區(qū)間 [?10,10] 的x-y平面上呈現(xiàn)局域的單個短壽命怪波.當γ=20 時,在區(qū)間 [?20,20] 的x-y平面上呈現(xiàn)局域的單個短壽命怪波.值得注意的是,脈沖寬度w0影響怪波的幅值和形狀,β0對怪波產(chǎn)生的位置和形狀基本沒有影響,?0,ζ0影響怪波的產(chǎn)生位置但不影響怪波的形狀.圖8 給出了當z=0時,一階線怪波在x-y平面上不同參數(shù)γ下的形態(tài),各分圖一階線怪波的最大幅值A(chǔ)=6.36,其中參數(shù)值為w0=2/3,β0=1,?0=ζ0=?0=0 .

圖8 在 z=0 時,一階線怪波 |u| 在x-y 平面上不同參數(shù) γ 下的形態(tài) (a) γ=1 ;(b) γ=3 ;(c) γ=6 ;(d) γ=10 ;(e) γ=15 ;(f) γ=20Fig.8.One-order rogue wave |u| in the x-y plane under the different γ at the propagation distance z=0 :(a) γ=1 ;(b) γ=3 ;(c) γ=6 ;(d) γ=10 ;(e) γ=15 ;(f) γ=20 .

4 結(jié)論

本文構(gòu)造的(2+1)維Zakharov 方程線怪波激發(fā)不僅豐富,而且具有一般性.Chen 等[30]應(yīng)用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的周期解和極限情形的一階怪波解,同時在NLS方程的Grammian 行列式解的基礎(chǔ)上,利用Sato算子理論得到方程的一階和高階怪波解.如一階線怪波為

Wang 等[31]應(yīng)用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的怪波解

Chen 等[32]應(yīng)用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的線怪波為

總之,本文研究建立了(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換理論,得到了它的類似KP 方程線孤子特征的線怪波激發(fā),并通過選用合適的參數(shù)用圖像分別刻畫了一階線怪波和二階線怪波的傳播特性.特別指出,在x-y平面上,當參數(shù)γ=1 時,呈現(xiàn)線怪波;而當參數(shù)γ1 時,線怪波變?yōu)樗剖嶙庸植?并隨參數(shù)γ的增大,怪波間距不斷變大,可以在要求的平面區(qū)域內(nèi)獲得二維空間全局域的短壽命的怪波.這與Peregrine[20]在(1+1)維NLS方程中發(fā)現(xiàn)的PS 類似,是KMS 或AB 的極限情形.

本文提出的(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換方法,不僅減少了研究高維問題的復(fù)雜運算,而且給出了構(gòu)造高維怪波激發(fā)的有效機制,提供了比文獻[33?40]更豐富的包括怪波在內(nèi)的局域相干結(jié)構(gòu).本文思路可應(yīng)用于Fokas 系統(tǒng)和Davey-Stewartson 模型,相關(guān)研究進行中.