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        一類向量題的探究與思考

        2022-04-27 18:02:53王立
        民族文匯 2022年6期
        關(guān)鍵詞:邊界點(diǎn)換元扇形

        王立

        原題呈現(xiàn):已知向量滿足,向量,向量,其中,若,求:最小值.

        方法一:知代入轉(zhuǎn)移至可得,所以,

        所以最小值為2.

        方法二:建系,通過建系找到的坐標(biāo),代入已知可得,所以最小值為2.

        方法三:如圖1可知,所以只需在上投影是即可,如圖可知,所以最小值為2.

        用三種方法分析該題,并強(qiáng)調(diào)其幾何意義,這里出現(xiàn)了“等和線”的性質(zhì)特征,爭取利用一節(jié)課讓學(xué)生能夠把這種題型弄明白,掌握“等和線”的優(yōu)點(diǎn),于是將其進(jìn)行變形:

        變式1:已知在平行四邊形OACB中,,,若P在△ABC內(nèi)(含邊界點(diǎn)),求范圍.

        該題用三種方法來解決該題,發(fā)現(xiàn)利用坐標(biāo)法時(shí)會用到線性規(guī)劃的思想,這也可以考查學(xué)生的知識遷移能力。利用基底法時(shí),發(fā)現(xiàn)構(gòu)造數(shù)量積的方法也可行,而且利用這種方法學(xué)生可以秒殺這道題,在以往做題時(shí)只發(fā)現(xiàn)垂直或外心利用數(shù)量積的比較多。但是可惜這種方法有一定的局限性!利用幾何意義,即“等和線”性質(zhì)時(shí),這題也可以秒殺的(如圖2)。

        以上都是與“線”相關(guān)的,那如果是“弧”會怎么樣呢?所以又想到了以下變式:

        變式2:已知在扇形OAB中,,,若P在弧AB上(含邊界點(diǎn)),求范圍.

        同樣也試用三種方法來解決這道題,利用坐標(biāo)法時(shí)可以巧妙地利用三角換元(因?yàn)镻在圓弧上),但是在換元時(shí),很多學(xué)生不清楚這個(gè)角度有什么幾何意義,不清楚為什么橫坐標(biāo)換為,縱坐標(biāo)換為,這里也正好可以通過該為學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)補(bǔ)漏。利用基底法時(shí)仍然可以構(gòu)造數(shù)量積。利用幾何意義“等和線”性質(zhì)時(shí)要注意這里的比值不是整數(shù)了,但仍然可行,而且速度比較快!

        但是如果改變前面的系數(shù)會是怎么樣呢?所以就有了下面的變式

        變式3:已知在扇形OAB中,,,若P在弧AB上(含邊界點(diǎn)),求范圍.

        這道題重點(diǎn)就是對這個(gè)負(fù)號的突破,不難發(fā)現(xiàn)是相反向量,這樣就可以迎刃而解,這里準(zhǔn)備介紹兩種方法,即坐標(biāo)法(三角換元)和幾何法(等和線).

        進(jìn)一步變形:

        變式4:已知在扇形OAB中,,,若P在弧AB上(含邊界點(diǎn)),求范圍.

        本題難點(diǎn)就是這個(gè)“3”表示什么幾何意義,找到了就突破了,并不是很難.但在用三角換元解本題時(shí)發(fā)現(xiàn)無法利用輔助角將其完全的化簡,所以要利用的范圍,及的確定方法,這樣更好地溫習(xí)了輔助角的用法.

        在這里突然想到某一年杭州聯(lián)考時(shí)有一道大家都認(rèn)為比較難的題,即:

        變式5:已知在扇形OAB中,,,若P在弧AB上(不含邊界點(diǎn)),若存在最大值,求范圍.

        本題難度比較大,但是利用三角換元,和的范圍,或者等和線又可以很快的解決該題.

        “等和線”是向量中的一種特殊題型,利用等和線的性質(zhì)可能更快的解決此類向量問題。

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