河北正定師范高等?？茖W(xué)校 楊曉然 賈小玲

在數(shù)學(xué) 的發(fā)展 過程 中，極限 的概 念有著舉足輕重的地位。這決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中，極限的教 學(xué)必須 要深 入淺出 。極 限是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接部分。透徹理解極限，對于 大學(xué)微 積分的學(xué)習(xí) 也起到 了至關(guān)重要的作 用。 因此，極 限的 學(xué)習(xí)與 教學(xué)顯得尤為重要。

一、極限思想發(fā)展與演變

極限的思想早在古代就已萌生。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米 德“窮 解法”求拋 物 弓 形的面 積，構(gòu)造 了一系列 三角形 ，使 它 們 的面積和不斷接近拋物弓形的面積。中國古代數(shù)學(xué)家劉徽 （公元 3 世紀）“割圓術(shù)”利用圓內(nèi)接正n邊形邊數(shù)n無限增大，則正多邊形面積無限接近于圓的面積。這些都是極限最初的形式。

十 九 世紀法 國 數(shù) 學(xué)家柯 西 從 定 性 的角度比較完 整地說 明 了 極限概 念 及 其理論。之后，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯給出了極限的定量定義。

了解極限思想的發(fā)展史，可以使學(xué)生在理解極限 時更有 興 趣 ，也更 有 數(shù) 學(xué)根據(jù)。只有這樣才能使極限更好地融入學(xué)生的心理。

二、極限 概念和 高等 數(shù)學(xué)中 微積 分學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)是 一門基 礎(chǔ)學(xué) 科 ，它的 基礎(chǔ)性 與應(yīng)用廣泛性是任何學(xué)科所無法比擬的。一切的自然科學(xué) ，各個 經(jīng)濟生 活領(lǐng) 域都有 數(shù)學(xué)留下的足跡 ，因此 可以說 數(shù)學(xué) 是學(xué)科 界的“學(xué)科先 驅(qū)”。運用 數(shù)學(xué) 思想，數(shù) 學(xué)方 法思考和解決問 題，不僅 可以 培養(yǎng)人 們科 學(xué)的世界觀，而且 可以使 人們 在解決 任何 實際問題時具備嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度。如果把整個高等數(shù)學(xué) 看作 一個人 體，那 么極限 是高等數(shù)學(xué)中微積分的主動脈。導(dǎo)數(shù)與微分可以看到定義 的新 運算，這 種運算 類似 小學(xué)所 學(xué) 的 加 減 法 和 乘 除 法 中 互 為 逆 運 算 一樣。導(dǎo)數(shù)和 微分 也應(yīng)該 有逆 運算，可 以說“ 不 定 積 分 ”與“ 定 積 分 ”是 導(dǎo) 數(shù) 的 兩 種 不同的逆運算。導(dǎo) 數(shù)、微 分、不定 積分 、定積分這四個概 念雖然 各不 相同，但 它們 存在著極其密切 的 關(guān)系 ，即它們 的概 念中都 貫穿了極限概念。

三、極限思想的教學(xué)演變

在新課程改革 （人教 A 版 2007 與人教 A 版 2017 數(shù)學(xué)課本） 中都將微積分放在了高中數(shù)學(xué)課程的重要位置上，并且在內(nèi)容上都體現(xiàn)出了極限思想這一數(shù)學(xué)思想，說明了極限思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。本文從極限的概念出發(fā)，闡述極限教學(xué)中學(xué)生的學(xué)與教師的教的難點與重點并結(jié)合高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的理解差異，比較兩者教學(xué)差異，讓學(xué)生能更好地理解極限的思想。

四、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

在 2007 年 新課 程改革 中， 之 前 很 多傳 統(tǒng) 上 在 高 校 數(shù) 學(xué) 課 堂 中 講 解 的 內(nèi) 容 也成為了高中 數(shù)學(xué)的 重點 。比如 ：極限 ，導(dǎo)數(shù) ，定 積 分 等 。 實 際 上 ，由 于 高 考 指 揮 棒中，要求學(xué)生必須會應(yīng)用這些知識。但是，是否能夠真正 理解 ，這有待 考究 ？由于 高中應(yīng)試教育背 景下 ，學(xué)生對 于應(yīng) 用導(dǎo)數(shù) 來解 決 單 調(diào) 性 ，極 值 ，最 值 ，零 點 ，不 等 式 等問題比較熟練 。但是 學(xué)生 對于極 限，導(dǎo) 數(shù)等的概念的理解卻深淺不一。

實際上，這 樣的教 學(xué)會 使學(xué)生 產(chǎn)生 很多誤區(qū)。學(xué)生對于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思維方法，研究 內(nèi)容的 側(cè)重點 的差 異認識不夠。盡管學(xué)生們對于極限部分有一定的基 礎(chǔ) ， 但 是 這 種 基 礎(chǔ) 能 起 到 什 么 樣 的 作用？這些都是 有待對 學(xué)生 的了解 和分 析 。倘若學(xué)生思維認 識不 到位 ，問 題可 能就會想不明白。如果 沒有 清晰和 明確 的認知 ，就不會去直觀地 理解 ，更別說 用數(shù)學(xué) 精確語言去描述極限概念了。

種種問 題與 困惑交 織在 一起，使 得學(xué)生對極限的學(xué)習(xí)比較迷茫。感覺自己好像學(xué)過，但是 好像 又 沒有 學(xué)過 。 學(xué)習(xí) 中表現(xiàn)出來的是：一方 面，感 覺已經(jīng) 懂了 ，不屑于聽 ；另 一 方 面 ，接 觸 高 等 數(shù) 學(xué) 中 極 限 定 義之后發(fā)現(xiàn) 自己又 一無 所知，顛 覆了 之 前對于極限的所 有認 識，感覺 像天 書一樣 難以理解。在高 等數(shù) 學(xué)的教 學(xué)實 踐中，往 往會發(fā)現(xiàn)學(xué)生有 上述 兩種表 現(xiàn)。 因此，需 要引導(dǎo)學(xué)生端正 學(xué)習(xí)態(tài)度，走 出認識 和學(xué) 習(xí)誤區(qū)就顯得尤其重要了。

五、揭示本質(zhì)屬性，加深理解

對高等數(shù)學(xué)中微積分的極限概念的理解，從數(shù)列極限，函數(shù)極限（x→+ ∞,x→x0）的順序進行教學(xué)，并要 對三種 極限 在概念方面進行差異的比較。

1 .數(shù)列極限。

（1）直觀描述——定性定義。

如果數(shù)列{an}的項數(shù)n無限增大 時，其一般項{an}無限接近于某個確定的常數(shù)a，則稱a為數(shù)列{an}的極限，或稱數(shù)列{an}收斂于a，記作

數(shù)列{an}的極限為a的幾何解釋：

數(shù)列 {an} 中的項對應(yīng)數(shù)軸上無數(shù)個點，點an與a接近的程度可以用它們之間的距離 |an-a|來衡量an無限接近于a，就意味著距離 |an-a|可以任意小.

（2）精確定義——定量定義。

若對任給的正數(shù) ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當n＞N時有 |an-a|＜ε，

則稱數(shù)列{an}收斂于a，記作

ε-N定義：N+，當n＞N時，有 |an-a|＜ε.

關(guān)于 ε-N定義，從以下理解：

①ε 的任意性。盡管 ε 有其任意性，但一經(jīng)給出，就被暫時確定下來了，以便依靠它來求出N。又 ε 是任意小的正數(shù)，因此定義中 ε 的可以用等來代替。

②N的相應(yīng)性。一般說，定義中的正整數(shù)N是一個與 ε 密切相關(guān)的項數(shù)，與N相對應(yīng)的項是an。因此，常把N寫作N（ε），來強調(diào)N是依賴于 ε 的。但是，這種依賴關(guān)系，也不意味著N是由 ε 所唯一決定的。這里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。

從 幾 何 意 義 上 看 ，“ 當n＞N時 ，有|an-a|＜ε.”表示點an與a之間的距離可以為任意小的正數(shù) ε，它可以是 0.1 、0.01 、0.001 或更小。但不管多么小，數(shù)列{an}與a的距離 |an-a|，當n→∞ 時，總比 ε 還小，因而an與a可以任意接近。也就是說，在U（a；ε）之外，數(shù)列{an}中的項至多只有N個（有限個）。

通過直觀定義 與精 確定義 ，可以 使得學(xué) 生 們 對 于 數(shù) 列 極 限 概 念 的 理 解 更 加 深刻。初等數(shù)學(xué)研究 的是 固定的 ，靜態(tài) 下量與量之間的數(shù)量關(guān) 系。 然而，高 等數(shù)學(xué) 研究 的 是 量 與 量 在 運 動 變 化 過 程 中 的 數(shù) 量關(guān)系，這是初等 數(shù)學(xué) 與高等 數(shù)學(xué) 的根本 差異。因此，學(xué)生們由高中到大學(xué)的過渡，需要一個過程與時間。如果學(xué)生們有清楚與明確地認識到量與量之間的“運動”。在以后的高等數(shù)學(xué) 的學(xué) 習(xí)中，可 能相 對會容 易些。這就要求學(xué)生們應(yīng)該從思維認識上要突破從有限過 渡到 無限，學(xué) 會并 習(xí)慣使 用數(shù)學(xué)語言描述 問題，使 得學(xué) 生的 思 維變 得更加嚴密。

基 于 以 上 學(xué) 生 們 可 能 在 初 入 大 學(xué) 時存在的問題，在教學(xué)中有哪些應(yīng)對措施呢？一方面通過有 趣的 例子提 高學(xué) 生 認識 ，另一方面還是要幫助學(xué)生理清極限概念出現(xiàn)的內(nèi)在邏輯過程，把握極限概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生能用以上的精確定義來描述極限。

找N可能出現(xiàn)兩種情況：

①如果n＞N（ε），則即為所求。

②如果 |xn-a|＜ε 較繁瑣時，可適當放大。如 何放大 ？可 以 放 大 為 如 下 形 式 ：|xn-a|＜g（n）。只要有，放大就是適當?shù)模?/p>

由此可見，極限 的證 明步驟 幾乎是 模板化的格式。以下就是證明的格式模板：

證：對?ε＞0，要使 |xn-a|＜ε.

……這里是解 |xn-a|＜ε 的過程，得結(jié)果n＞ 某個數(shù) （關(guān)于 ε 的表達式）；或當|xn-a|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將|xn-a|作適當?shù)姆糯?，?|xn-a|＜g（n），然后從g（n）＜ε 中解得n＞ 某個數(shù)。

取N= 某個數(shù) （關(guān)于 ε 的表達式）或N= max{[某個數(shù)（關(guān)于 ε 的表達式）]，N0}，

則當n＞N時，有 |xn-a|＜ε 成立，

歸納出數(shù)列極 限的 一般證 明方 法，這樣學(xué)生可能未必能夠理解。但是，學(xué)生可以先模仿，在做題過程中可以邊做邊理解。最起碼學(xué)生能夠去做，可以有法可循。這樣可以慢慢培養(yǎng)學(xué)生的興趣。先做，再慢慢理解。數(shù)學(xué)也是一個理解和消化的過程。這樣從定性理解，到定量計算。全方位的去理解，可以使得學(xué)生能夠更好地接受。

“ 好 的 開 始 ，是 成 功 的 一 半 ”，數(shù) 列 極限 的 充 分 理 解 可 以 幫 助 學(xué) 生 更 好 地 理 解函數(shù)極限。

2.函數(shù)的極限。

（1）當x→+ ∞ 時，函數(shù)f（x）的極限。

①直觀描述—定性定義。

當x→+ ∞ 時，函數(shù)f（x）的極限：

此種情況與數(shù)列類似，不同之處在于n→+ ∞ 是整序變量（n只取 1、2、3、……）等離散的正整數(shù)點變到 + ∞。而x→+ ∞時，函數(shù)f（x）的極限，自變量x可以沿x軸的正方向，負方向連續(xù)地?zé)o限增大，正因為如此，此處的N不一定要求必是正整數(shù)，僅要求N是正數(shù)即可。如（圖1）當無限增大時的變化趨勢。自然引出：當x→+ ∞ 時，y→0；

圖1

當x→-∞ 時，y→0.

定性定義：設(shè)函數(shù)f（x）在x＞M（M＞0）處有定義，當x無限增大（x→+ ∞）時，對于f（x）的函數(shù)值無限接近于確定數(shù)值A(chǔ)，則稱A為函數(shù)f（x）在x→+ ∞ 時的極限，

②精確定義—定量定義。

定量定義 ε—M：

設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[a，+ ∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的 ε＞0，存在正數(shù)M（≥a），使 得 當x＞M時 有 |f（x）-A|＜ε，則稱函數(shù)f（x）當x→+ ∞ 時以A為極限，

當x→+∞ 時函數(shù)f（x）以A為極限意味著：A的任意小鄰域內(nèi)必含有f（x）在+ ∞ 的某個鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。

定義的幾何意義如圖 2：對任給的ε＞0，在坐標平面上平行于x軸的兩條直線y=A+ε 與y=A- ε，圍成以直線y=A為中心線、寬為 2ε 的帶狀區(qū)域。

圖2

例1證明

證：任給 ε＞0，取

則當x＞M時有

以下就是證明的格式模板：

證：對?ε＞0，要使 |f（x）-A|＜ε.

……這里是解 |f（x）-A|＜ε 的過程，得結(jié)果M＞ 某個數(shù)（關(guān)于 ε 的表達式）；或當|f（x）-A|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將 |f（x）-A|作適當?shù)姆糯?，使|f（x）-A|＜g（x），然后從g（x）＜ε 中解得x＞ 某個數(shù)。

取x= 某個數(shù) （關(guān)于 ε 的表達式），則當x＞M時，有 |f（x）-A|＜ε 成立，

高 中 數(shù)學(xué)中 給 出 的是函 數(shù) 定 性 的 定義，只是有助于理解極限定義就可以。而在大學(xué)數(shù)學(xué)中尤其是微積分中，不僅要求理解定性定義，定量定義也可以說是微積分的“頂梁柱”。只有更加深入地理解極限ε—M，才 能 更 好 地 理 解 導(dǎo) 數(shù) ，微 分 ，級 數(shù)等更深入的微積分數(shù)學(xué)。

（2）當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限。

對函數(shù)極限而言，自變量的變化過程有很多方式。在這里僅以x→x0為例。

①直觀描述—定性定義。

設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù)。如果當自變量x→x0時對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限接近于A，則稱A為函數(shù)f（x）當x→x0時 的 極 限 ，記作：

②精確定義一定量定義。

定量定義 ε- δ：

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個空心鄰域U°（x0；δ′）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。

若對任給的 ε＞0，存在正數(shù) δ（＜δ′），使得當 0＜|x-x0|＜δ 時有 |f（x）-A|＜ε，

則稱函數(shù)f（x）當x趨于x0時以A為極限，記作或（fx）→A。

在理解定義中，學(xué)生們的疑問有兩個方面：

第一方面：定義中“函數(shù)f（x）在點x0的某個空心鄰域有定義”強調(diào)的是函數(shù)f（x）在點x0的附近有定義即可，而在點x0是否有定義并不影響考察函數(shù)在該點的極限。

例2分別求f（x）=x+2 與f（x）=時的極限。

通過此例，使得學(xué)生們能夠更加深入地理解“空心鄰域”的意義。

第二方面：x→x0函數(shù)值f（x）無限接近于A，表示無論x是從x0左側(cè)趨向于x0，還是從x0右側(cè)趨向于x0，f（x），都無限接近于同一個數(shù)值A(chǔ)。

3.綜合分析函數(shù)極限的兩種。

函數(shù)極限中的 ε—M（圖 3）定義中，是尋找M，使得當 |x|＞M時，使得f（x）的值都落在區(qū)域D1與D2內(nèi)。與函數(shù)極限的ε- δ（圖 4）定義中，是尋找 δ，當 0＜|x-x0|＜δ時，使得f（x）的值都落在某個區(qū)域內(nèi)。

圖3

圖4

極限的 ε-N與 ε- δ 定義，雖然精確但是并未給出求極限的方法，只能用以證明某數(shù)是否為極限。證明極限問題，還是需要逐步引導(dǎo)。即使學(xué)生覺得理解起來困難 ，還是要 鼓勵學(xué)生 ，先 在例題 的 基 礎(chǔ)上給出類似的變式，證明過程也是類比的過程。這里也是運用了數(shù)學(xué)思想方法中的類比思想。給予學(xué)生鼓勵，隨著高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 的進一步深入，連續(xù)函數(shù) 、導(dǎo) 數(shù)、積分、無窮級數(shù)等等概念的引入，在逐步完整的實數(shù)理 論體 系 中，引 導(dǎo) 學(xué) 生更加 深 入 理解、體會極限思想。