李淑民，姜永春

摘? ?要：度量的本質(zhì)是要計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)度量單位，但度量單位的使用只有長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積教學(xué)有所涉及，在其他圖形面積教學(xué)中被淡化了。通過對(duì)長(zhǎng)方形的面積、平行四邊形的面積、圓形的面積、不規(guī)則圖形面積的估算的課例進(jìn)行剖析診斷，從度量本質(zhì)的角度，提出對(duì)二維圖形面積教學(xué)的建議。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);二維圖形;度量

中圖分類號(hào)：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2022）07-0022-04

關(guān)于度量，史寧中教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干問題》一書中指出：要度量就必須確定度量單位，而度量就是計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)度量單位。張奠宙先生在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書中也指出：數(shù)學(xué)意義上的面積測(cè)量，其實(shí)質(zhì)是要對(duì)某些平面圖形指定一個(gè)合適的數(shù)，并使之滿足“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”“正則性”的特性。

一、教學(xué)現(xiàn)狀分析

回顧小學(xué)階段對(duì)二維圖形大小的測(cè)量，在教學(xué)伊始，用不同數(shù)量的面積單位拼成不同圖形來數(shù)出面積，滲透了面積的大小與面積單位的個(gè)數(shù)有關(guān)。

在長(zhǎng)方形面積教學(xué)時(shí)，學(xué)生用1平方厘米的面積單位去密鋪，通過觀察與思考，學(xué)生已經(jīng)知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=長(zhǎng)邊擺面積單位的個(gè)數(shù)，長(zhǎng)方形的寬=寬邊擺面積單位的個(gè)數(shù)，長(zhǎng)方形的面積=一共擺面積單位的總個(gè)數(shù)，并推導(dǎo)出了長(zhǎng)方形的面積公式。但后來圖形的求面積，又變成了用一把尺子去量長(zhǎng)和寬，量面積又變成了量長(zhǎng)度，造成了學(xué)生在做題時(shí)，周長(zhǎng)和面積經(jīng)常搞混。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師如何讓學(xué)生深切體會(huì)度量的本質(zhì)，培養(yǎng)他們的度量意識(shí)呢？下面嘗試把二維圖形面積的種子課“長(zhǎng)方形的面積”“平行四邊形的面積”“圓形的面積”“不規(guī)則圖形的面積”教學(xué)進(jìn)行串聯(lián)，來闡述應(yīng)該如何讓學(xué)生體會(huì)二維圖形度量之本質(zhì)。

二、教學(xué)實(shí)踐探索

案例一：“長(zhǎng)方形的面積”教學(xué)片段

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）在第一學(xué)段要求結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度的過程，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。這種要求對(duì)面積單位和體積單位也同樣適用。數(shù)學(xué)意義上的測(cè)量是要計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)度量單位，是要對(duì)圖形指定一個(gè)合適的數(shù)。為了更好地讓學(xué)生體會(huì)度量的本質(zhì)，體會(huì)度量單位的重要性，我們不妨對(duì)長(zhǎng)方形各元素與面積單位的聯(lián)系進(jìn)行深一步的挖掘。

師：我們知道了長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積，回顧今天所學(xué)，誰(shuí)能再說說這里的長(zhǎng)、寬和面積分別表示什么呢？

生1：長(zhǎng)表示長(zhǎng)邊能擺多少個(gè)小方塊，寬表示寬邊能擺多少個(gè)小方塊，相乘就是總塊數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積。

生1：也可以說長(zhǎng)是一行擺多少個(gè)小方塊，寬表示一共多少行，然后用一行多少個(gè)方塊乘一共多少行，就等于一共多少個(gè)小方塊，就是長(zhǎng)方形的面積。

師：說的真清楚！大家看，這里有個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積怎么求呢？

生2：6×4=24平方厘米

師：看到6和4，你想到了什么？

生2：我想到了長(zhǎng)這里一行擺了6個(gè)小方塊，寬這里擺了4個(gè)，也就是一共擺了4行，相乘就求出了小方塊的總個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積。

師：說得真好，雖然長(zhǎng)方形的面積是用長(zhǎng)度相乘，但它們表示的是“一行多少個(gè)小正方形×一共多少行”，也就是想辦法求出長(zhǎng)方形一共有多少個(gè)小面積單位。

在以往課堂教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬與面積單位個(gè)數(shù)的關(guān)系推理得出長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行間接測(cè)量即為完結(jié)。本教學(xué)片段在此基礎(chǔ)上通過學(xué)生思考和討論，讓他們進(jìn)一步體會(huì)到雖然長(zhǎng)方形的面積計(jì)算用的是長(zhǎng)度相乘，但它們的本質(zhì)是“一行多少個(gè)面積單位×一共多少行”，也就是想辦法求出長(zhǎng)方形一共有多少個(gè)面積單位。這樣對(duì)二維圖形中最基礎(chǔ)圖形長(zhǎng)方形面積的“畫龍點(diǎn)睛”，讓學(xué)生從“根”部體會(huì)了度量單位的重要性，又加深了對(duì)“面積單位的累加”度量本質(zhì)的感知，同時(shí)為今后學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

案例二：“平行四邊形的面積”教學(xué)片段

關(guān)于對(duì)規(guī)則圖形的度量，《課標(biāo)》在第二學(xué)段指出：探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。如何探索呢？聯(lián)系在三年級(jí)教學(xué)長(zhǎng)方形的面積時(shí)，把重點(diǎn)放在對(duì)度量單位的擺放和尋找規(guī)律數(shù)出度量單位的個(gè)數(shù)上，而平行四邊形作為對(duì)二維圖形面積的第二次探索，筆者認(rèn)為，度量單位的使用是不可或缺的。

（教師發(fā)放給學(xué)生畫有平行四邊形的邊長(zhǎng)為1厘米的方格紙）

師：請(qǐng)同學(xué)們看平行四邊形的面積能否數(shù)方格得到呢？

生1：沒辦法數(shù)，因?yàn)閮蛇叢皇钦瘛?/p>

生2：可以把左右兩邊的小格拼成整格來數(shù)。

生3：也可以把平行四邊形左邊剪掉一部分補(bǔ)到另一邊，變成能數(shù)的長(zhǎng)方形。

師：你們真棒！請(qǐng)同學(xué)們想辦法把平行四邊形變成能數(shù)的圖形，并想辦法得到它的面積吧

生4：我們通過圖很清晰地看出，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和平行四邊形的底同樣是6厘米，長(zhǎng)方形的寬和平行四邊形的高都是4厘米。又因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，也就是6×4=24平方厘米。

生5：我們還從轉(zhuǎn)化的過程中體會(huì)到平行四邊形只是把剪下的一部分挪個(gè)位置，面積大小沒變，同樣能得到平行四邊形的面積=底×高。

師：現(xiàn)在同學(xué)們推導(dǎo)出了平行四邊形的面積，誰(shuí)能說說公式中的底、高和面積在方格中分別表示什么嗎？

生6：底表示一行多少個(gè)小方格，高表示一共多少行，面積就是用一行多少個(gè)小方格乘一共多少行，求出多少個(gè)小方格，平行四邊形的面積就是多少平方厘米。

師：看來平行四邊形的面積也是計(jì)算它一共包含多少個(gè)面積單位。

本教學(xué)片段，把小方格也就是面積的度量單位貫穿教學(xué)始終。首先讓學(xué)生在方格紙上數(shù)平行四邊形的面積，數(shù)不出來就要想辦法轉(zhuǎn)化成能數(shù)的圖形，這也是解決面積測(cè)量的基本方法。在方格紙上，學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，位置不管怎么變化，但是面積單位的總和是不變的，運(yùn)用了面積的運(yùn)動(dòng)不變性;一個(gè)單位方格的面積是1，它就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即正則性;數(shù)方格的過程就蘊(yùn)含了面積的有限可加性，最后得出平行四邊形的面積公式，即求面積單位總個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)便方法，同時(shí)也設(shè)法給了面積一個(gè)確定的數(shù)與之相對(duì)應(yīng)。之后，又通過對(duì)平行四邊形的底、高、面積本質(zhì)的梳理，體會(huì)到平行四邊形的面積同樣是計(jì)算它一共包含多少個(gè)面積單位的度量本質(zhì)。

案例三：“圓形的面積”教學(xué)片段

圓形的面積作為小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”版塊中最后教學(xué)的一種平面圖形面積，如何讓學(xué)生能把學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，體會(huì)面積的度量就是面積單位個(gè)數(shù)累加結(jié)果的度量本質(zhì)，從而把面積測(cè)量的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行知識(shí)和方法的遷移成為本課的教學(xué)重點(diǎn)。

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了最后一個(gè)平面圖形圓形的面積，請(qǐng)同學(xué)們看屏幕，想想我們明明求的是這些圖形的面積，但公式為什么卻都是長(zhǎng)度的乘積呢？這些長(zhǎng)度各表示什么呢？

生： 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一行多少個(gè)小單位，寬表示一共多少行，乘積就表示一共多少個(gè)面積單位，也就是長(zhǎng)方形的面積。

師：說的真好，想一想別的圖形呢？

生：平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來計(jì)算面積的，它的底等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，所以底也表示一行多少個(gè)小方格，高表示一共多少行，乘積就表示平行四邊形的面積。

生：三角形是用兩個(gè)完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形來計(jì)算的，三角形的底也表示一行多少個(gè)小正方形，高表示一共多少行，乘積就表示三角形面積的2倍，然后除以2，就得到三角形的面積了。

生：梯形是轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形來求面積的，（上底+下底）表示一行多少個(gè)小單位，高表示一共多少行，乘積就表示梯形面積的2倍，然后除以2，就得到梯形的面積了。

師：說的真好，圓形的面積能用面積單位來說明嗎？

生：圓形是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來計(jì)算的，πr就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也就是表示一行多少個(gè)面積單位，r表示一共多少行，乘積πr2就表示圓形的面積了。

師：同學(xué)們說的真好，現(xiàn)在可以看出，所有圖形面積的相同點(diǎn)是想辦法計(jì)算出它一共包含多少個(gè)面積單位就可以了，這些圖形都可以用每行有多少個(gè)面積單位乘行數(shù)來算出總數(shù)。

此教學(xué)片段，讓學(xué)生理解了對(duì)于圖形面積的度量，最基礎(chǔ)的圖形長(zhǎng)方形是用面積單位“小正方形”直接累加，后推導(dǎo)出“長(zhǎng)×寬”公式對(duì)面積進(jìn)行間接測(cè)量的，平行四邊形的面積無法直接測(cè)量，是通過剪拼、拼擺等方式，轉(zhuǎn)化為成長(zhǎng)方形的面積后用“底×高”間接測(cè)量得到的（三角形、梯形也由此解決），圓形的面積是把曲線圖形化曲為直后歸結(jié)于長(zhǎng)方形的面積“πr×r=πr2”得到的。但無論是長(zhǎng)×寬、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，還是πr×r，它們本質(zhì)都指向：一行多少個(gè)面積單位×一共多少行=面積，也就是面積單位個(gè)數(shù)累加的數(shù)值就是圖形面積的大小。整個(gè)梳理的過程，把面積測(cè)量的基本思想和方法貫通起來，使學(xué)生體會(huì)到不管測(cè)量什么圖形的面積，其本質(zhì)皆為“度量單位個(gè)數(shù)的累加的結(jié)果”，度量單位是一切圖形測(cè)量的本源，而這種思想和方法將為今后學(xué)習(xí)三維圖形體積的測(cè)量奠定研究的基礎(chǔ)。

案例四：“不規(guī)則圖形面積的估算”教學(xué)片段

《課標(biāo)》在第二學(xué)段課程內(nèi)容中指出：會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。在以往教學(xué)中，解決這個(gè)問題做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個(gè)整格，再數(shù)一數(shù)有幾個(gè)半格，把不滿整格的進(jìn)行整合，最后累加起來，用此方法估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。但這種估算方法并沒有體現(xiàn)估算的意義，只是把估算當(dāng)成了一個(gè)操作技能數(shù)方格去教了。

（出示畫有樹葉的方格紙）

師：同學(xué)們仔細(xì)觀察這里的不規(guī)則的圖形，你認(rèn)為這個(gè)圖形的面積結(jié)果可能會(huì)在哪個(gè)范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題嗎？試一試。

生1：我先數(shù)出葉子包含18個(gè)整格，然后數(shù)出葉子邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)是36個(gè)，說明這片葉子的面積在18～36個(gè)格子之間。

師：很好，我們用葉子包含多少個(gè)整格來估計(jì)出葉子面積的最小值，又用葉子所接觸到的所有整格估計(jì)出面積的最大值，就可以確定葉子面積的范圍。大家再想一想，還有沒有什么方法能使估計(jì)的結(jié)果更接近實(shí)際面積的大小嗎？

生2：能不能把方格變得更小些呢？

（師多媒體出示把一個(gè)方格等分為4份的方格樹葉圖）

師：同學(xué)們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：現(xiàn)在樹葉的不規(guī)則的邊緣部分整格的多了，樹葉的面積范圍的數(shù)值更精確了。

師：如果我把方格再接著變小，這時(shí)數(shù)出的小方格面積會(huì)怎么樣？（并出示相應(yīng)的圖）

生2：越來越接近樹葉的面積了。

師：對(duì)了，有時(shí)面積單位不合適了，可以把方格等分成更小的方格，使估算的值更逼近準(zhǔn)確的值，這種方法在同學(xué)們今后學(xué)習(xí)更深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)將會(huì)用到的。

此教學(xué)片段，“尋找范圍”的設(shè)計(jì)注重了對(duì)學(xué)生估算意識(shí)和方法的培養(yǎng)，特別是選擇合適的面積單位是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估算的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了逐步逼近的極限思想。通過最大和最小范圍的確定，幫助學(xué)生找到合適的區(qū)間，而這個(gè)最大和最小的范圍才是真正意義上的估算價(jià)值的體現(xiàn)。同時(shí)，用面積單位去覆蓋所要測(cè)量的圖形，如果找的單位太大了，就要找更小的單位，這樣的安排，就把整個(gè)測(cè)量的基本思想和方法貫通了，也讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到了測(cè)量的本質(zhì)。

總之，在教學(xué)中我們要緊緊圍繞度量核心，借助方格紙并通過對(duì)不同圖形面積本質(zhì)的溝通聯(lián)系，讓學(xué)生深刻體會(huì)到度量的本質(zhì)，即求面積就是求面積單位的總個(gè)數(shù)，總個(gè)數(shù)可以用每行面積單位個(gè)數(shù)乘行數(shù)算出。在教學(xué)過程中教師要適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥提升，加強(qiáng)溝通聯(lián)系，總之度量尋根的過程猶如畫龍點(diǎn)睛之筆，不可或缺。

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