廣東省佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué) 李定平 湯旭紅 越勇

現(xiàn)在,各地開始用新教材[1]教學(xué),在教學(xué)中逐漸體會到新教材比舊教材[2]更加注重知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系,更加重視數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生發(fā)展過程,必修第二冊第九章“統(tǒng)計”的變化更是很大(見表1),一些概念也發(fā)生了一些根本性的變化.然而,不得不說,受慣性思維的影響,就連一些期末統(tǒng)考試題都還停留在舊的認(rèn)知中.

表1 新舊教材目錄對比

章建躍博士說“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提”,作為一線教師就是先要理解教材,課本承載著課程標(biāo)準(zhǔn),體現(xiàn)國家意志.也只有理解了課本,才能設(shè)計出符合出學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、把握教學(xué)內(nèi)容及其蘊含著數(shù)學(xué)思想方法、符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的自然脈絡(luò)問題,然后學(xué)生再根據(jù)教師設(shè)計的問題的引導(dǎo)下獨立自主地開展觀察、分析、綜合、比較,知識得以自主建構(gòu),素養(yǎng)得以自然發(fā)展.本文就是根據(jù)在使用新教材教學(xué)過程中遇到的困惑,通過對新、舊教材進(jìn)行對比分析所作的思考.

1 增加了相關(guān)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性定義

開始學(xué)習(xí)統(tǒng)計時,會對統(tǒng)計的相關(guān)概念進(jìn)行熟悉與了解,常常會遇到以下困惑老師與學(xué)生的問題:

題: 為了了解全校240 名學(xué)生的身高情況,抽取40 名學(xué)生進(jìn)行測量,下列說法正確的是( )

A.總體是240 名學(xué)生

B.個體是每名學(xué)生

C.樣本是40 名學(xué)生

D.樣本容量是40

原教材沒有明確給出總體、個體的概念,我們均認(rèn)為研究對象的全體是總體,每一個研究對象是個體,而研究對象是學(xué)生的身高,所以答案是 D.

然而進(jìn)行了新教材的教學(xué)后,我們發(fā)現(xiàn)新教材對總體、個體進(jìn)行了非常清晰明確的定義——在一個調(diào)查中,我們把調(diào)查對象的全體稱為總體,組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體.為了強調(diào)調(diào)查目的,也可以把調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體作為總體,每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo)作為個體.也就是說研究學(xué)生的身高情況時,我們可以將某地所有高中生作為總體,每一個高中生作為個體,也可以將某地所有高中生的身高數(shù)據(jù)作為總體,每一個高中生的身高數(shù)據(jù)作為個體,因為根據(jù)新教材中的定義知道,身高值可以作為調(diào)查對象的一個指標(biāo)值.此題答案就所有選項均可.

2 抽樣方法順應(yīng)了時代發(fā)展

2.1 刪除了系統(tǒng)抽樣

原教材是這樣說“從上所說可知,簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點,在總體個數(shù)不多的情況下,是行之有效的.但是,如果總體中的個數(shù)很多時,對個體編號的工作量太大.即使使用隨機數(shù)法操作也并不方便快捷.另外,要想“攪拌均勻”也非常困難,這就容易導(dǎo)致樣本的代表性差.因此,為了操作上方便快捷,在不降低樣本的代表性的前提下,可以采取下面的抽樣方法——系統(tǒng)抽樣”.

現(xiàn)在除小剪刀錘子布、彩票中獎號由10 個小球的產(chǎn)生,在生活中比較少用抽簽法了,取而代之是的電腦派位、電腦搖號,當(dāng)然也就無需“攪拌均勻”了,由于新技術(shù)的出現(xiàn),操作也簡便,人們的意識也逐漸適應(yīng)了電腦隨機抽簽,總體中個體數(shù)再多都可以用產(chǎn)生隨機數(shù)的辦法進(jìn)行,而且不需要去剔除不能整除的余數(shù),更方便高效更好理解.根本不再需要做小紙條簽了,當(dāng)然沒有“攪拌均勻”困難,適應(yīng)時代發(fā)展刪除系統(tǒng)抽樣就自然而然了.

2.2 突出了分層的本質(zhì)

原教材是這樣說“一般地,在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地球取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣”.

新教材如此說“一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機抽樣,再把所有總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層,在分層隨機球樣中,如果每層的樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配”.

分層抽樣的本質(zhì)目的之一是為了防止出現(xiàn)“極端樣本”;之二是可以重點研究某些“層”——“在每個子總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機抽樣”,這樣一來就有下面變化:

新教材中的“分層抽樣”不一定按層的大小成比例分配每層的樣本量,個別層可以適當(dāng)多抽樣本,當(dāng)然也可以按每層的樣本量都與層的大小按比例分配分配樣本量,這就是按比例分配樣本量的分層抽樣.所以說很多地區(qū)還在照搬原來的考查分層抽樣的題目的不嚴(yán)謹(jǐn)之處在于沒有明確分層抽樣是否“按比例分配樣本量”,如果不按比例分配樣本量,則答案是不確定的.

課本第184 頁練習(xí)第3 題也例說了各層按比例分配樣本和不按比例分配樣本的分層抽樣.

“在每個子總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機抽樣”,由于新技術(shù)的應(yīng)用,可以隨意突顯某層樣本的均值與方差,自然就需要計算出總樣本的均值與方差(如課本第216 頁第11 題),由于不再是確定的按比例分配樣本量的分層抽樣,在求總樣本的均值時,學(xué)生容易錯誤地將各層樣本均值的均值當(dāng)作總樣本的均值.

3 更加突顯了統(tǒng)計思想

有人說統(tǒng)計沒有對錯,只有好壞.統(tǒng)計就是獲取數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù),新教材在抽樣后面增加了一節(jié)9.1.3 獲取數(shù)據(jù)的途徑,讓學(xué)生知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑,除了普查和抽樣還有統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、互聯(lián)網(wǎng)等.

在開展“統(tǒng)計”的9.1.1 節(jié)的教學(xué)時,教材安排的是兩個課時——第一課時是簡單隨機抽樣的介紹,第二課時則對總體和樣本均值的分析,讓學(xué)生理解樣本均值的統(tǒng)計有或然性,感受統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.這也是較舊教材的一個很大的改進(jìn).特別是在課本第178-179 頁的探究中,對樣本量為50 和100 的樣本各選取10 個進(jìn)行觀察,分析樣本平均數(shù)的均值與總體均值的關(guān)系并用圖形表示,可以讓學(xué)生體會到樣本的隨機性,不同的樣本的均值是不同的,樣本均值也具有隨機性,是與總體均值是一個確定的數(shù)是不同的.更進(jìn)一步,雖然樣本均值與總體均值不同,我們會發(fā)現(xiàn)樣本均值都是在總體均值附近波動.而在實際教學(xué)中,很多老師都是忽略這一課的.我們還可以注意到整個第九章在使用各個統(tǒng)計量解決問題時,都非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貐^(qū)分總體的和樣本的,比如在介紹方差概念時就給學(xué)生介紹了總體方差和樣本方差的概念,并強調(diào)了我們常常是用樣本方差去估計總體方差,而樣本方差依賴樣本選取,具有隨機性.殊不知這一節(jié)中對于提高學(xué)生對統(tǒng)計思想的認(rèn)識是很有必要的,讓學(xué)生理解樣本估計總體思想,體會選取有代表性的樣本的重要性,知道在條件允許的情況下增加樣本量的作用.

4 增加了統(tǒng)計圖的選擇

“一幅圖勝過一千個文字”,用統(tǒng)計圖將統(tǒng)計后數(shù)據(jù)之間的關(guān)系用視覺化的圖形表示,直觀形象便于讀取,一目了然.

新教材刪除了莖葉圖(莖葉圖并不是統(tǒng)計圖,而是數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式),增加了一個典型案例“已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如表和2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù),選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù),并回答下列問題……”,既然要選擇,那就需要讓學(xué)生對各種統(tǒng)計圖作系統(tǒng)理解,為此教材作了全面說明:

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例,條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率,折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù),直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù)等.

5 呈現(xiàn)了提取數(shù)字特征的過程和拓廣了統(tǒng)計特征的刻畫方法

新教材在從數(shù)的角度分析數(shù)據(jù)時,在原來的兩個角度-——集中趨勢與離散趨勢的基礎(chǔ)上,增加了百分位數(shù).高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)的特征數(shù)只有兩個,就是百分位數(shù)與方差,雖然方差初中已涉及,百分位數(shù)也是在中位數(shù)的基礎(chǔ)上來開展學(xué)習(xí)的.且新教材對這兩個特征數(shù)概念的呈現(xiàn)方式也完全一樣,也符合一般觀念下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方式.

首先是通過問題引入為什么要建立百分位數(shù):

“問題2: 如果該市政府希望是80%的居民用戶生活用水費支出不受影響,根據(jù)9.2.1 節(jié)中100 戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù),你能給市政府提出明確居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎?

其次如何建立百分位數(shù):

“把100 個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,得到第80 個和第81 個數(shù)據(jù)分別為13.6 和13.8,可以發(fā)現(xiàn),區(qū)間(13.6,13.8)內(nèi)的任意一個數(shù),都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分,一般地,我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80 百分位數(shù),或80%分位數(shù)”.

再次將概念求法一般化并給出嚴(yán)格定義:

“一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個字,……”

最后再通過兩個例題(離散數(shù)據(jù)與掩蓋真實數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖)鞏固說明百分位數(shù)的求法.

新教材如此編寫讓我們清晰地理解了:

p%分位數(shù)(中位數(shù))的應(yīng)用意義——為決策服務(wù);統(tǒng)計特征——是數(shù)據(jù)的一種劃分、是分界數(shù); 具體求法——中位數(shù)求法的一般化.

上述80%分位數(shù)的提取過程也展示了統(tǒng)計特征的刻畫方法,使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程,在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法,理解數(shù)據(jù)分析的思路,運用所學(xué)知識和方法解決實際問題,自然地發(fā)展了數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

6 增加了統(tǒng)計變換,提高了數(shù)學(xué)運算要求

新舊教材都有要求會根據(jù)具體數(shù)據(jù)求平均數(shù)、中位數(shù)、方差等,根據(jù)掩蓋了原始數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖來估計樣本的平均數(shù)、方差等.這都體現(xiàn)了在統(tǒng)計這一章節(jié)去提升學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力以及數(shù)學(xué)運算能力.

而新教材“有時為了計算方差的方便,我們還把方差寫成以下形式讀作:“方差=樣本數(shù)據(jù)平方的均值-均值的平方”,這樣引入了方差公式的一個變式,自然就有方差定義與變式之間的互化:

另外課本第212 例6 還用了很大的篇幅來介紹根據(jù)樣本各層的平均數(shù)和方差來求總樣本的平均數(shù)和方差.筆者認(rèn)為這不僅與前面的分層抽樣方法相呼應(yīng),同時也是一個基本運算技能,也為后面學(xué)習(xí)線性回歸分析做了鋪墊.既然給出兩種方差定義式,已知各層的平均數(shù)和方差來求總樣本的方差也有兩種方法:

我們又可以得到另一個分層抽樣的總樣本方差的化簡式子.課后習(xí)題還讓給推廣了總體劃分為3 層的分層抽樣的總樣本平均數(shù)、方差的求解,學(xué)生也可以類比去推導(dǎo)(課本第216 頁第11 題).

方差定義與變式的互化、已知各層樣本均值與方差求總樣本方差的兩種方法,這些運算變換是在統(tǒng)計中專門出現(xiàn)的,我們稱之為統(tǒng)計變換,是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的素材,其運算過程讓學(xué)生感覺的難點是帶求和符號,可先通過3 個樣本數(shù)據(jù)的運算擴大到帶求和符號的運算,以降低難度.帶求和符號的運算對運算想象與運算素養(yǎng)是很有裨益的.

可見“統(tǒng)計”這一章的新舊教材變化確實是很大的,也只有理解了這種變化才能使我們的教學(xué)適應(yīng)這種變化.在教學(xué)實踐的過程中要善于發(fā)現(xiàn)問題,除了自己思考外,還要與同事之間討論,在討論中碰出思維的火花,才能讓我們的理解更深刻,特別對于已形成思維慣性的老教師尤其如此.時代在發(fā)展,歷史在進(jìn)步,新老教師都要努力學(xué)習(xí)才能與時俱進(jìn).

附1:(課本第184 頁練習(xí)第3 題)高二年級有男性490人,女性是510 人,張華按男生、女生進(jìn)行分層,通過分層隨機抽樣的方法,得到男生、女生的平均身高為170.2cm 和160.8cm.

(1)如果張華在各層按比例分配樣本,總樣品量為100,那么在男生、女生中分別抽取了多少名? 在這種情況下,請估計高二年級全體學(xué)生的平均身高.

(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30 和70,那么在這種情況下,如何估計高二年級全體學(xué)生的平均身高更合理?