廣東省廣州市執(zhí)信中學(510062)劉玲

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且CF、DE相交于點G.

圖1

(1)當點E運動到AB中點時,證明: 四邊形DFEC是平行四邊形;(2)當CG=2 時,求AE的長;(3)當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度;

注: 此題第(1)問較為簡單,第(2)問主要運用好60°這個條件,構(gòu)造直角三角形,運用勾股定理列方程即可,筆者這里只針對第(3)問進行解答及變式探究.

圖2

2 試題解答

法一純幾何法

圖3

圖4

法二建立平面直角坐標系

3 解后反思

3.1 背景分析

此題筆者主要呈現(xiàn)了兩種解題思路,仔細分析,此題實質(zhì)上是找點G的運動軌跡,如果能夠找到點G的軌跡,那么問題就迎刃而解.但反觀在中考考場上,能解答出來的同學少之又少.當然一方面與考試時間有關(guān),但大多數(shù)是無從下手,大部分同學感覺迷茫,不知如何找到求點G軌跡的突破口.細看此題,此題的背景其實就是相似圖形中最常見的“8 字型”相似,只是此題將圖形放在菱形中,借助菱形的對邊互相平行這一性質(zhì)得到“雙8 字型”相似,圖中點E,F為動點,點A為定點,且為EF的中點,那么直線AG交直線CD為定點,且為CD的中點.這樣就能確定點G的運動軌跡為線段“AM”.

補充“雙8 字型”相似結(jié)論: 如圖5,若CD//EF,則.

圖5

3.2 兩種解法對比分析

若實在沒有找到隱藏的“雙8 字型”相似,也可以采用建立平面直角坐標系的方法,采用代數(shù)運算的方式找到動點G的軌跡方程,發(fā)現(xiàn)其為一次函數(shù),說明其在直線上運動,然后再去找臨界值也可將問題解決.

對比幾何方法和建系的方法,我們可以發(fā)現(xiàn): ①幾何方法思維含量高,較難找到突破口,但一旦找到突破口,復雜問題就會被轉(zhuǎn)為成我們熟悉的幾何問題上去; ②建系方法好想,沒有太多的思維含量,但是采用此種方法不免會帶來繁雜的計算量,因此,采用此種方法的前提是必須要有很強的計算功底,否則,不要輕易嘗試.此種方法適用于幾何方法確實找不到突破口時,無從下筆時,不妨考慮此種方法,一般情況下,正方形,矩形,含特殊角的菱形,等邊三角形等都可用建系的方法去解答問題.但若所求動點軌跡為圓時,初中生是無法識別圓的軌跡方程的,此時此種方法不太適用.其實,中考中求動點的軌跡無外乎兩種類型,一種是直線型,另一種是圓弧形.因此在做題時,我們可以通過觀察比如找特殊點等大致猜測此動點的軌跡是否為直線.

4 變式推廣

4.1 橫向聯(lián)想——類比推廣

聯(lián)想1改變條件“菱形”為“正方形”

變式1如圖6,在正方形ABCD中,AB=2,點E為直線AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且CF、DE相交于點G.當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度.

圖6

此題解法仍可采用上述兩種方法,讀者可以自行完成.此外,還可以改為“矩形”,“平行四邊形”等,解法基本一致.通過以上變式,發(fā)現(xiàn),只要提供一組對邊平行即可,因此可以弱化條件,將其改為“一組對邊平行的四邊形”,于是就有了以下聯(lián)想.

聯(lián)想2改變條件“菱形”為“梯形”

變式2如圖7,在梯形ABCD中,AB=4,AD=BC=3,CD=1,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且CF、DE相交于點G.當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度.

圖7

4.2 縱向遷移,歸納推廣

聯(lián)想3改變條件“AF=AE”為“AF=2AE”

變式3如圖8,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=2AE,且CF、DE相交于點G.當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度.

圖8

聯(lián)想4改變條件“AF=AE”為“AF=nAE”

變式4如圖9,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=nAE,且CF、DE相交于點G.當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度(用含n的字母表示).

圖9

以上2 個變式從縱向進行了推廣,改變數(shù)量關(guān)系,仍可采用原題的兩種解法,由特殊到一般,層層遞進,但實質(zhì)沒變,仍為“雙8 字形型”相似,推導出更為一般性的結(jié)論.

4.3 變式拓展,掌握本質(zhì)

聯(lián)想5改變設問方式

變式5如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且CF、DE相交于點G.求CG+EG的最小值.

變式5 改變了設問方式,難度稍有增加,想解決此問題仍然需要先找到點G的運動路徑,從而發(fā)現(xiàn)此題實質(zhì)上是一個將軍飲馬問題,那么問題也將迎刃而解.

聯(lián)想6變構(gòu)造元件

變式6如圖10,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且直線CE、DF相交于點G.求CG的最小值.

圖10

變式6 主要改變了點G的生成方式,看上去與原題發(fā)生了改變,但仔細分析,還是有一定的聯(lián)系,只是由原來的“雙8 字型”相似變?yōu)榱恕半pA 字型”相似,點G仍然是在原直線AM上運動,只是不包括線段AM這一部分,在兩條射線上運動,那么,求CG的最小值可利用“點到直線的距離,垂線段最短”求解出.

聯(lián)想7變關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

變式7如圖11,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,點F為CD上一動點,且CF=2AE,過點D作DG⊥EF于點G,求CG的最小值.

圖11

變式7 與2021年廣州市一模第25 題如出一轍,基本背景是“8 字型”相似,連接AC與EF交于點H,則H為定點,則點G在以DH為直徑的圓上運動,則CG的最小值即可求解出來.

5 教學啟示

羅增儒教授曾經(jīng)說過[1]:“解決問題的本質(zhì)是思維活動的過程,通過典型例題的分析能啟迪學生的思維,提高解題能力.”ACT-R 理論指導的深度教學認為練習一定要進行變式,通過變式訓練,在“變”中找到“不變”的規(guī)律,從而搞清問