廣東省廣州市第二中學(510530)代本富

1 題目呈現(xiàn)

(2021年廣州中考數(shù)學第25 題)如圖1,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,點E為邊AB上一個動點,延長BA到點F,使AF=AE,且CF,DE相交于點G.

圖1

(1)當點E運動到AB中點時,求證: 四邊形DFEC是平行四邊形;

(2)當CG=2 時,求AE的長;

(3)當點E從點A開始向右運動到點B時,求點G運動路徑的長度.

2 立意分析

本題是以60°菱形為背景的中考壓軸題,題目簡潔,圖形簡單,要求明晰,內涵豐富.涉及平行四邊形的判定、菱形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、定角、動點軌跡等核心知識,涉及的知識面廣,要求學生積累豐富而有效的數(shù)學活動經驗,才能明確解題思路,從而進行邏輯推理和運算.問題設置由易到難、層層遞進,考查學生獨立探究、綜合分析問題和解決新問題的能力.

本題表面是學生熟悉的問題,但呈現(xiàn)形式及問法均有所創(chuàng)新,且不同層面的學生都可以嘗試求解.本題第(2)問視角眾多,解法多樣,可以通過勾股定理列方程、“隱圓”割線定理、建立坐標系、余弦定理等方法進行解答,彰顯個性.對于最難的第(3)問,大部分同學可以通過“特殊點”作圖,進行軌跡猜想,能力強一點的同學可以求得正確結果,而能力更強的同學可以進行嚴謹?shù)淖C明和說理.本題即面向全體學生,也適應學生個性發(fā)展的需要,符合課程標準所提出的使得不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展,有利于有效評價和引領教學.

完整解答本題學生要具備對數(shù)學本質的理解,需經歷“操作—猜想—探究—證明”的探究過程,用較強的數(shù)學思維能力和方法,才能進行嚴謹?shù)淖C明和說理.本題通過簡單的圖形考察學生數(shù)學思維,數(shù)學能力和數(shù)學方法,有效的把數(shù)學知識與數(shù)學學科核心素養(yǎng)有機結合、融為一體,具有良好的教學導向功能.

3 解法探究

本題第(1)問利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可證明,屬于比較簡單的問題.第(2)問和第(3)問屬于較難的問題,需要學生合理添加輔助線,利用勾股定理、相似三角形等知識求解,學生在求解這兩問的過程中存在一定的困難,本文主要呈現(xiàn)第(2)問和第(3)問的解法.

3.1 由因導果尋思路,基本圖形顯神威

圖2

圖3

3.2 合情推理覓良策,平行相似出奇招

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

3.3 解幾思想細入微,引參消參軌跡現(xiàn)

3.4 平幾問題構造難,三角運算助推理

4 解題反思

4.1 落實核心素養(yǎng)

《高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確界定“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學的學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科的核心素養(yǎng)包括: 數(shù)學抽象,邏輯推理,數(shù)學建模,直觀想象,數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析”[1].

本題內涵豐富,解答本題需要綜合運用平行四邊形的判定、菱形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、動點軌跡等核心知識進行邏輯推理和運算,第(2)問需要學生設元進行簡單的邊角轉化,識別并構造基本圖形,進而利用方程思想解決問題;也可以運用幾何直觀,通過分析圖形找到“隱圓”,利用割線定理進行解答; 第(3)問學生需經歷“操作——猜想——探究——證明”的探究過程,用較強的數(shù)學思維能力和方法,才能進行嚴謹?shù)淖C明和說理.本題通過簡單的圖形考察學生數(shù)學思維,數(shù)學能力和數(shù)學方法,有效的把數(shù)學知識與數(shù)學學科核心素養(yǎng)有機結合、融為一體,具有良好的教學導向功能.因此教師教學中應該盡可能的讓學生理解數(shù)學的本質以及數(shù)學知識的內在邏輯關系和思想方法,提升學生的能力,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng),學生才能以不變應萬變.

4.2 加強數(shù)學活動經驗的積累

本題從簡單的四邊形出發(fā),層層遞進,考查學生獨立探究、綜合分析問題和解決新問題的能力.這些能力不是一蹴而就的,需要長期培養(yǎng)和滲透,需要重視知識形成的過程,加強對知識理解的活動經驗的積累.《義務教育數(shù)學課程標準(2011 版)》指出:“數(shù)學活動經驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.幫助學生積累數(shù)學活動經驗是數(shù)學教學的重要目標,是學生不斷經歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結果”[2].積累數(shù)學活動經驗的目的之一是建立數(shù)學的感悟、數(shù)學的直觀.日常教學重視過程教學,不僅有利于促進學生對知識的理解,更能讓學生從中學會分析問題的策略、方法,體會抽象、建模、推理的基本數(shù)學思想,有利于形成策略性知識,并運用于問題的解決,這是新課標積極倡導和要求的.教師在教學中,不要過于強調解題模式,應以基礎知識與基本結論為載體,重視遷移,關注過程方法和思維發(fā)展,讓學生的學習能夠從“方法體驗”到“本質理解”再抵達“靈活應用”,為后續(xù)的學習積累豐富的數(shù)學活動經驗.

4.3 重視初高中貫通培養(yǎng)

利用解析幾何的思想和三角函數(shù)的知識對這道壓軸題進行了分析和求解是常用的方法.這和“六年一貫”的培養(yǎng)路徑相關,初高一體化管理,確保人才培養(yǎng)的連續(xù)性,調動整合初高中貫通培養(yǎng).在初中教學時,注重挖掘初高中數(shù)學知識的銜接點,研究教學上的銜接和思維方法的銜接,積極實踐在初中教學中適當融入高中知識及數(shù)學思想方法的途徑;同時高中教師積極關注高中知識與初中的聯(lián)系,關注學生最近發(fā)展區(qū),在高中起始年級開設了初高銜接課程.實踐表明這種初高中貫通培養(yǎng)模式,雙向進行初高中銜接教學的路徑是有效的,是利于發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的.