上海市新楊中學(xué)(200331)李德虎

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(200241)余慶純

1 引言

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化,是指基于數(shù)學(xué)史闡釋數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀(guān)點(diǎn)及其演進(jìn)過(guò)程,還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展等方面的貢獻(xiàn)與意義;其主要分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)與多元文化五個(gè)維度[1].研究表明,基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化課例教學(xué),溝通了歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文兩座橋梁,有效地改善HPM 實(shí)踐中“高評(píng)價(jià)、低運(yùn)用”的教學(xué)困境.

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科大概念(big ideas)之一,其指向培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵內(nèi)容知識(shí)與思想方法,貫穿初、高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),是描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系與變化規(guī)律的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與工具.初中“函數(shù)的概念”是滬教版數(shù)學(xué)教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)第18 章第1 節(jié)的內(nèi)容,主要通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)變量、常量、函數(shù)等相關(guān)概念,領(lǐng)會(huì)函數(shù)的意義,初步感知函數(shù)的表示方法[2].《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出: 通過(guò)身邊事例與生活實(shí)例,具體認(rèn)識(shí)變量以及變量之間的相依關(guān)系,展示函數(shù)概念的形成過(guò)程,體會(huì)函數(shù)的意義[3].可見(jiàn),初中“函數(shù)的概念”是從常量過(guò)渡到變量、初步建構(gòu)函數(shù)概念的啟蒙課,引導(dǎo)學(xué)生形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān),為后續(xù)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容以及高中階段不同類(lèi)型的函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容打下認(rèn)知的基礎(chǔ).

教材方面,通過(guò)對(duì)現(xiàn)行的滬教版、人教版、北師大版教科書(shū)的比較,發(fā)現(xiàn)三個(gè)版本的教科書(shū)對(duì)“函數(shù)概念”的內(nèi)涵界定、引例內(nèi)容等方面存在異同(見(jiàn)表1)[2][4-5].首先,不同版本的教科書(shū)對(duì)于“函數(shù)概念”的內(nèi)涵界定存在差異: 滬教版教科書(shū)介紹“變量依賴(lài)關(guān)系”的函數(shù)概念,而人教版、北師大版的教科書(shū)則闡述“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)概念.其次,在“函數(shù)概念”的引例內(nèi)容上,普遍引用實(shí)際生活實(shí)例,突出“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,服務(wù)于生活”的本質(zhì).其中,滬教版的教科書(shū)基于問(wèn)題情境,引出學(xué)習(xí)長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、溫度、時(shí)間、速度等常見(jiàn)的數(shù)量;再通過(guò)“環(huán)繞地球飛行的同心圓”問(wèn)題,引入常量、變量的概念;

表1 “函數(shù)的概念”在不同版本教科書(shū)中的比較

接著以“汽車(chē)行駛的路程x(千米)與油箱里剩余的油量y(升)之間的變化關(guān)系”引出函數(shù)的概念.人教版教科書(shū)則通過(guò)圓的面積、人口統(tǒng)計(jì)圖等實(shí)例,解析函數(shù)的概念.北師大版教科書(shū)通過(guò)高度與時(shí)間、層數(shù)與總數(shù)等實(shí)例引入函數(shù)的概念.

函數(shù)是培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要抓手.一線(xiàn)教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn),三版教科書(shū)的引例內(nèi)容普遍沒(méi)有回答清楚學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性,且依據(jù)前期調(diào)查,學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解存在一定的認(rèn)知困難.

鑒于此,本研究通過(guò)梳理“函數(shù)概念”相關(guān)的數(shù)學(xué)史,分析其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵維度并運(yùn)用于課堂教學(xué)中,旨在追尋數(shù)學(xué)家們的火熱思考,建構(gòu)歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文兩座橋梁,引導(dǎo)學(xué)生突破函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙,加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解,回答清楚函數(shù)概念學(xué)習(xí)的必要性,進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值,感悟數(shù)學(xué)文化之魅.因此,擬定初中“函數(shù)的概念”教學(xué)目標(biāo)如下:

(1)通過(guò)“滴滴打車(chē)”計(jì)費(fèi)、“嫦娥一號(hào)”飛行等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,初步理解變量、常量的概念; 基于“石子計(jì)數(shù)”、“雞兔同籠”、“炮彈軌跡”等數(shù)學(xué)史料的問(wèn)題情境,初步感知、抽象出函數(shù)的概念;通過(guò)回顧函數(shù)概念的歷史演變過(guò)程,感悟變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間存在的確定關(guān)系,理解“變量依賴(lài)關(guān)系”的函數(shù)定義,了解“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)定義,培養(yǎng)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān);

(2)通過(guò)微視頻、趣味漫畫(huà)和交流討論等形式,了解歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)家在不同時(shí)期的函數(shù)定義,感悟函數(shù)演變的數(shù)學(xué)本質(zhì),理解“函數(shù)”中文譯名的來(lái)源,體會(huì)在函數(shù)概念演變中呈現(xiàn)的多元數(shù)學(xué)文化,培育批判求實(shí)的理性精神.

2 史料運(yùn)用

在歷史長(zhǎng)河中,人類(lèi)對(duì)“函數(shù)”的感知由來(lái)已久.早在古希臘時(shí)期,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派常常借助小石子來(lái)計(jì)數(shù)或演示不同類(lèi)型的“形數(shù)”,建立了一種事物計(jì)數(shù)的有效方式.曾經(jīng)在一場(chǎng)古代戰(zhàn)爭(zhēng)中,幾個(gè)部隊(duì)的士兵不斷地聚集前往戰(zhàn)場(chǎng),為了解士兵參戰(zhàn)的情況,指揮官要求每位參戰(zhàn)的戰(zhàn)士兵留下一個(gè)石子,這樣通過(guò)計(jì)算石子的數(shù)量得到參戰(zhàn)的士兵數(shù)量.大約在1500年前,我國(guó)古代數(shù)學(xué)典著《孫子算經(jīng)》中記載了一個(gè)歷史名題“雞兔同籠”: 今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何? 這已經(jīng)滲透了函數(shù)的思想.1615年,天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒(Johannes Kepler,1571-1630年)在婚禮上思考酒桶體積算法時(shí),推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式:.17世紀(jì),近代物理學(xué)奠基人伽利略(Galileo Galilei,1564-1642年)在研究“拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律”時(shí),證實(shí)了以任何角度發(fā)射的炮彈,其運(yùn)動(dòng)路徑都是拋物線(xiàn)[6].

不同時(shí)期、不同地域的數(shù)學(xué)家在“函數(shù)的概念”這一主題上做出了許多的貢獻(xiàn),推動(dòng)函數(shù)概念不斷演進(jìn)[7],展現(xiàn)函數(shù)概念發(fā)展的知識(shí)源流與多元文化.

17世紀(jì),德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646-1716年)提出函數(shù)的“冪”定義.1673年,萊布尼茨在其手稿“反切線(xiàn)或函數(shù)方法”中創(chuàng)用“functio(英文function)”一詞,表示具有特殊作用的某個(gè)幾何量,如一個(gè)圖形中的線(xiàn)段.1694年,他在《博學(xué)者雜志》中進(jìn)一步界定“functio”為曲線(xiàn)相關(guān)的幾何變量,并將其與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)建立關(guān)系,由此演變出函數(shù)的“冪”定義[7].

18世紀(jì)初,瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J.Bernoulli Ⅰ,1667-1748年)界定函數(shù)的“代數(shù)式”定義: 一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常量,以任何方式組成的量[7].

18世紀(jì)中葉至19世紀(jì)30年代,教科書(shū)普遍采用瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707-1783年)給出的“解析式”定義的函數(shù)概念: 一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式[7].因“解析式”的函數(shù)概念更加易于理解,故廣泛受到人們的喜愛(ài).

18世紀(jì)40年代后,歐拉進(jìn)一步更新函數(shù)概念的界定,改進(jìn)為“變量依賴(lài)關(guān)系”定義,逐漸為人們所接受.1755年,歐拉在《微分基礎(chǔ)》更新了函數(shù)的定義: 如果某些量依賴(lài)于另一些量,當(dāng)后面這些量變化時(shí),前面這些變量也隨之變化,則前面的量稱(chēng)為后面的量的函數(shù)[7].

19世紀(jì)中葉前,德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(L.Dirichlet,1805-1859年)修正了的函數(shù)概念,給出“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義(1837年),其被公認(rèn)為經(jīng)典的“函數(shù)現(xiàn)代定義”,簡(jiǎn)要表述為: 在某區(qū)間上,對(duì)于每一個(gè)確定的值x,都有唯一確定的值y與其對(duì)應(yīng),使得當(dāng)x在區(qū)間變化時(shí),y也逐漸變化,則稱(chēng)y是該區(qū)間上x(chóng)的一個(gè)連續(xù)函數(shù).同時(shí),在整個(gè)區(qū)間上,y不一定按照同一規(guī)律依賴(lài)于x,也不一定考慮用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)表示兩者的關(guān)系[7].

20世紀(jì),法國(guó)布爾巴基學(xué)派提出“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”的新定義.綜合對(duì)1718-1855年45 本西方數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、21世紀(jì)至今國(guó)內(nèi)現(xiàn)行三版初中教科書(shū)的梳理與分析[6],有如下重要的發(fā)現(xiàn).

(1)19世紀(jì)中葉前,函數(shù)概念的定義基本上以歐拉的“解析式”定義、“變量依賴(lài)關(guān)系”定義為范本,其主要有兩段變化趨勢(shì): 19世紀(jì)30年代前,歐拉的“解析式”函數(shù)概念定義獨(dú)領(lǐng)群芳; 19世紀(jì)40年代后,歐拉改進(jìn)的“變量依賴(lài)關(guān)系”的函數(shù)定義逐漸受到追捧,呈現(xiàn)后來(lái)居上的趨勢(shì)[7].

(2)國(guó)內(nèi)現(xiàn)行的三版初中教科書(shū)中,滬教版教科書(shū)與歐拉的“變量依賴(lài)關(guān)系”定義相近;人教版、北師大版教科書(shū)與狄利克雷的“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義相似,且沒(méi)有強(qiáng)調(diào)該函數(shù)為“連續(xù)函數(shù)”.

在“函數(shù)概念”演變歷程中,“函數(shù)(function)”一詞的中文譯名蘊(yùn)含著一段中西方數(shù)學(xué)家合作交流的奇妙故事,至今在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中仍保留著這一譯名.可見(jiàn),古今中外數(shù)學(xué)文化是互融互通的.

我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力(A.Wylie,1815-1887年)在翻譯《代數(shù)學(xué)》(1859年)時(shí)指出:“凡式中含天,為天之函數(shù)”.他們?cè)诤献g《代微積拾級(jí)》(1859年)時(shí)寫(xiě)道:“凡此變數(shù)中函彼變數(shù),則此為彼之函數(shù)”.這兩部著作均將“function”翻譯為“函數(shù)”,因“函”與“含”同義,因此“函數(shù)”意思是“含有變數(shù)的表達(dá)式”,這與函數(shù)的“解析式”定義相近[7].

3 教學(xué)實(shí)踐

初中“函數(shù)的概念”課例主要圍繞“創(chuàng)設(shè)情境—講解新知—交流討論—課堂小結(jié)”的主線(xiàn)展開(kāi)教學(xué).

3.1 創(chuàng)設(shè)情境

創(chuàng)設(shè)“滴滴打車(chē)”計(jì)費(fèi)、“嫦娥一號(hào)”飛行等問(wèn)題情境,引出教學(xué)主題,通過(guò)分析多個(gè)實(shí)例,講解常量、變量等新知內(nèi)容.

師: 同學(xué)們,在日常生活中使用過(guò)“滴滴打車(chē)”軟件嗎?

生: 使用過(guò),外出打車(chē)的時(shí)候會(huì)用到.

師: 假如汽車(chē)以一定速度行駛,現(xiàn)以我們學(xué)校為出發(fā)地,通過(guò)軟件任意輸入上海某一目的地(教師借助希沃投影,展示“滴滴打車(chē)”軟件,輸入東方明珠塔、上海虹橋車(chē)站、浦東機(jī)場(chǎng)等地址),大家仔細(xì)觀(guān)察,你能發(fā)現(xiàn)什么?

生: 目的地不同,打車(chē)的車(chē)費(fèi)也發(fā)生了變化.

師: 很好! 出發(fā)地不變,目的地不同.當(dāng)汽車(chē)速度一定時(shí),隨著出發(fā)地與目的地之間的距離發(fā)生變化,行駛的時(shí)間、車(chē)費(fèi)也在發(fā)生變化.此時(shí),在速度、兩地之間的距離、行駛的時(shí)間、車(chē)費(fèi)等量中,哪些量不變,哪些量在變化呢?

生: 速度不變,距離、時(shí)間、車(chē)費(fèi)都在變化.

師:“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首顆繞月飛行的人造衛(wèi)星.當(dāng)“嫦娥一號(hào)”奔向月球時(shí),在指定軌道飛行的過(guò)程中,這個(gè)行程與時(shí)間(如200 千米、51000 千米、16 小時(shí)、48 小時(shí)等)會(huì)變化嗎?

生: 不會(huì)變化.

師: 在“嫦娥一號(hào)”奔月時(shí),從離開(kāi)地面那一刻起,時(shí)間t和嫦娥一號(hào)離地球的距離S會(huì)變化嗎?

生: 發(fā)生變化.

師: 在研究過(guò)程中,保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做“常量”,可以取不同數(shù)值的量叫做“變量”.

3.2 講解新知

通過(guò)“上海市數(shù)字教材”平臺(tái),借助“插入”、“流轉(zhuǎn)筆記”等功能推送函數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)史料,創(chuàng)設(shè)數(shù)史情境,幫助學(xué)生感知函數(shù),逐步抽象函數(shù)的概念.

師: 早在古希臘時(shí)期,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就學(xué)會(huì)用石子進(jìn)行計(jì)算或推演.例如一個(gè)石子用數(shù)字1 來(lái)表示,兩個(gè)石子用數(shù)字2 來(lái)表示,三個(gè)石子用數(shù)字3 來(lái)表示,現(xiàn)在有很多石子,如何表示呢?

生: 用字母n來(lái)表示.

師: 這個(gè)n是常量還是變量?

生: 變量.

師: 石子的數(shù)量與數(shù)字之間是否存在確定的關(guān)系?

生: 存在確定的關(guān)系.

師: 在一場(chǎng)古代戰(zhàn)爭(zhēng)中,幾個(gè)部隊(duì)的士兵不斷地聚集前往戰(zhàn)場(chǎng),指揮官想知道有多少士兵參戰(zhàn),于是他要求每位到達(dá)的士兵留下一個(gè)石子,這樣他就可以通過(guò)計(jì)算石子的數(shù)量,得到參戰(zhàn)士兵的數(shù)量.在這個(gè)過(guò)程中,士兵的數(shù)量與石子的數(shù)量是否存在確定的關(guān)系?

生: 士兵的數(shù)量依賴(lài)于石子的數(shù)量來(lái)確定,他們之間存在確定的關(guān)系.

師: 很好! 假設(shè)石子數(shù)量為x個(gè),士兵數(shù)量為y名,能否表示出這種確定的依賴(lài)關(guān)系?

生:y=x.

師: 17世紀(jì),物理學(xué)家在研究地球上拋射物體的路線(xiàn)、射程和所能達(dá)到的高度時(shí),發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律: 炮彈距離地面的高度h(單位: 米)隨時(shí)間t(單位: 秒)變化的規(guī)律為:在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,常量、變量分別是什么?

師:(幾何畫(huà)板演示炮彈運(yùn)動(dòng)形成的拋物線(xiàn),見(jiàn)圖2)時(shí)間t的取值范圍是什么?

生: 0 ≤t≤6.

師: 炮彈距離地面的高度h與時(shí)間t之間是否存在確定的依賴(lài)關(guān)系? 如果存在,怎么表示?

圖1

師: 上述問(wèn)題,都是在一個(gè)變化過(guò)程中,它們都有哪些共同的特點(diǎn)?

生1: 有兩個(gè)變量x與y.

生2: 在x特定范圍內(nèi),y隨著x的變化而變化.

生3:y與x之間存在著確定的依賴(lài)關(guān)系.

師: 很好! 這就是今天要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容——函數(shù)的概念.在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量,設(shè)為x和y,如果在變量x的允許取值范圍內(nèi),變量y隨著x的變化而變化,它們之間存在確定的依賴(lài)關(guān)系,那么變量y叫做變量x的函數(shù),x叫做自變量.

3.3 交流討論

播放微視頻,介紹函數(shù)概念的演變發(fā)展史(見(jiàn)圖2),闡述萊布尼茨、約翰·伯努利、歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的定義、“函數(shù)(function)”中文翻譯的由來(lái),品味數(shù)學(xué)文化之魅.通過(guò)趣味漫畫(huà)、小組討論等形式,引發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的思考;同時(shí)基于常值函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生從歐拉的“變量依賴(lài)關(guān)系”的定義過(guò)渡到狄利克雷的“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義,為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊.此過(guò)程中,師生借助“數(shù)字教材”平臺(tái),通過(guò)“流轉(zhuǎn)筆記”等方式進(jìn)行實(shí)時(shí)分享,促進(jìn)跨組之間的交流討論.

圖2

師: 通過(guò)微視頻,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生1: 函數(shù)概念的演變經(jīng)歷了漫長(zhǎng)曲折的發(fā)展歷程,不同的數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的界定也不一樣.

生2: 原來(lái)“函數(shù)”是“含有變數(shù)的表達(dá)式”的意思,是數(shù)學(xué)家李善蘭與偉烈亞力翻譯時(shí)的一種說(shuō)法.當(dāng)時(shí),他們采用的是函數(shù)的“解析式”定義.

師: 你最喜歡哪位數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的定義? 為什么?

生3: 我最喜歡數(shù)學(xué)家歐拉的“解析式”函數(shù)概念,如y=x等.

生4: 我贊成歐拉“變量依賴(lài)關(guān)系”的函數(shù)定義,因?yàn)樗岬搅藘蓚€(gè)變量之間存在的依賴(lài)關(guān)系,容易理解.

生5: 我印象最深刻的是狄利克雷的“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義,他指明了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師: 接下來(lái),通過(guò)這幅“函數(shù)機(jī)器(function machine)”的趣味漫畫(huà)(見(jiàn)圖3),你又能發(fā)現(xiàn)什么?(教師借助平板,實(shí)時(shí)推送學(xué)習(xí)材料)

圖3

生: 是一個(gè)函數(shù),通過(guò)輸入一個(gè)x值,就能得到唯一確定的y值.

師: 很好! 那么y=0 是不是函數(shù)?

生6: 不是函數(shù),沒(méi)有兩個(gè)變量.

師: 如果把y=0 看作y=0x是不是函數(shù)?

生7: 不是函數(shù),兩個(gè)變量沒(méi)有確定的依賴(lài)關(guān)系.

生8: 在歐拉的定義下,y=0 不是函數(shù).但在狄利克雷的定義下,y=0 就是函數(shù).

師: 很好! 在不同的定義下,y=0 是否為函數(shù),均有不同的理解.進(jìn)一步來(lái)看,狄利克雷的“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義比歐拉的“變量依賴(lài)關(guān)系”函數(shù)定義更加完善,比如常值函數(shù)y=0、y=1.

3.4 課堂小結(jié)

師: 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?

生1: 我學(xué)習(xí)到了什么是常量、什么是變量,也學(xué)習(xí)到了函數(shù)的概念,它刻畫(huà)了兩個(gè)變量之間存在的確定關(guān)系.

生2: 函數(shù)可以通過(guò)解析式法、列表法和圖像法三種方式來(lái)表達(dá).

生3: 這節(jié)課,我了解到在生活、數(shù)學(xué)史發(fā)展中都有函數(shù)的影子,數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān).

生4: 通過(guò)微視頻、趣味漫畫(huà),我們交流討論了歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念做出的重要貢獻(xiàn),原來(lái)函數(shù)概念不是一成不變的,還學(xué)習(xí)到李善蘭與偉烈亞力對(duì)“函數(shù)(function)”的中文翻譯.

4 學(xué)生反饋

在“函數(shù)的概念”課例教學(xué)前、后,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查與深度訪(fǎng)談.

4.1 教學(xué)前

通過(guò)問(wèn)卷前測(cè)與訪(fǎng)談,了解到大部分學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的了解停留在“解析式”定義上,初步認(rèn)識(shí)到“函數(shù)是刻畫(huà)某個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系”,且對(duì)函數(shù)概念演變的數(shù)學(xué)文化知之甚少.

4.2 教學(xué)后

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),幾乎全部學(xué)生能理解且辨析常量、變量的概念異同.

許多學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)家界定的“函數(shù)概念”有不同的喜好與理解:大部分學(xué)生喜歡函數(shù)的“變量依賴(lài)關(guān)系”定義,認(rèn)為其能夠較好地刻畫(huà)出兩個(gè)變量之間的變化情況;僅有7.9%的學(xué)生支持函數(shù)的“變量對(duì)應(yīng)說(shuō)”,理解常值函數(shù)中的變量關(guān)系,認(rèn)為“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)定義更加完善、全面.

超過(guò)一半的學(xué)生表示印象最深的是“函數(shù)概念的發(fā)展史”的微視頻、對(duì)不同數(shù)學(xué)家函數(shù)概念界定的交流討論.

許多學(xué)生表示“會(huì)通過(guò)列舉生活例子、數(shù)學(xué)史例子來(lái)講述兩個(gè)變量之間的關(guān)系,數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)”、“會(huì)講述函數(shù)概念的演變歷史與數(shù)學(xué)家界定函數(shù)概念的故事”,還有學(xué)生談到“函數(shù)”名稱(chēng)的來(lái)源,發(fā)現(xiàn)古今、中外的數(shù)學(xué)是相互聯(lián)系的,表示“原來(lái)數(shù)學(xué)是生動(dòng)有趣的”.

可見(jiàn),通過(guò)課例教學(xué),學(xué)生不僅突破函數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙,加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解,而且對(duì)函數(shù)的知識(shí)源流、社會(huì)角色等有更加深刻的認(rèn)識(shí),對(duì)函數(shù)發(fā)展的多元文化更加感興趣.這有效地回答了學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性,為培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做好鋪墊.

5 結(jié)語(yǔ)

實(shí)踐表明,“函數(shù)的概念”課例教學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵,體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的重要教育價(jià)值,彰顯信息技術(shù)輔助課例教學(xué)與評(píng)價(jià)的有效性、便捷性.

5.1 扎根數(shù)史素材,展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

初中“函數(shù)的概念”課例教學(xué)扎根數(shù)史素材,展現(xiàn)知識(shí)源流、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)、多元文化等維度的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵,具體如下:

(1)知識(shí)源流.借鑒數(shù)學(xué)史例,展現(xiàn)早期人類(lèi)對(duì)函數(shù)的初步感知,幫助辨析常量與變量; 通過(guò)歷史時(shí)間軸,展現(xiàn)函數(shù)概念從“冪”定義——“代數(shù)式”定義——?dú)W拉的“解析式”定義——?dú)W拉的“變量依賴(lài)關(guān)系”定義——狄利克雷的“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義的不斷演變,同時(shí)介紹我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力對(duì)“函數(shù)(function)”中文翻譯的緣由,追本溯源,展現(xiàn)函數(shù)概念發(fā)展的知識(shí)源流.

(2)社會(huì)角色.創(chuàng)設(shè)“石子計(jì)數(shù)”、“雞兔同籠”和“炮彈軌跡”等歷史情境,共同探尋函數(shù)的概念及其刻畫(huà)的變量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生感悟“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,應(yīng)用于生活”的社會(huì)角色.

(3)審美娛樂(lè).函數(shù)的概念凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶,其通過(guò)“解析式法”、“圖象法”、“列表法”三種方式來(lái)表達(dá)函數(shù),展現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美;以趣味漫畫(huà)版“函數(shù)機(jī)器”來(lái)幫助學(xué)生理解函數(shù)概念,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

(4)多元文化.不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家在“函數(shù)的概念”這一主題上做出各自獨(dú)特的貢獻(xiàn),通過(guò)古今對(duì)照,中外比較,展現(xiàn)了函數(shù)概念演進(jìn)過(guò)程中的豐富人文活動(dòng),揭示多元數(shù)學(xué)文化的相互交融.

5.2 交匯兩座橋梁,滲透教育價(jià)值

本節(jié)課溝通了歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文兩座橋梁,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史知識(shí)之諧、探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅、德育之效的重要價(jià)值.

(1)知識(shí)之諧.本節(jié)課基于學(xué)生的基本學(xué)情,有效地將函數(shù)概念的數(shù)史文化融入教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生以批評(píng)性思維來(lái)交流討論,了解歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)家在不同時(shí)期的函數(shù)定義,厘清函數(shù)概念不斷演進(jìn)、完善的數(shù)學(xué)本質(zhì),理解函數(shù)是刻畫(huà)變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的確定關(guān)系,體現(xiàn)知識(shí)之諧.

(2)探究之樂(lè).借助數(shù)史情境,引導(dǎo)學(xué)生以“概念建構(gòu)者”的身份,經(jīng)歷不同時(shí)代人們對(duì)函數(shù)的感知與建構(gòu)的過(guò)程,逐漸抽象出函數(shù)的概念;接著通過(guò)微視頻,了解函數(shù)概念發(fā)展過(guò)程中的代表性經(jīng)典定義,交流討論函數(shù)概念的本質(zhì)異同,且通過(guò)辨析常值函數(shù),體會(huì)“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)定義是“變量依賴(lài)關(guān)系”定義的又一次“質(zhì)的飛躍”.

(3)能力之助.通過(guò)生活情境、歷史情況,鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力,學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的眼光來(lái)觀(guān)察、用函數(shù)的思維來(lái)思考、用函數(shù)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá),為后續(xù)培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)做好鋪墊.

(4)文化之魅.本節(jié)課追尋數(shù)學(xué)家們的火熱思考,展現(xiàn)函數(shù)概念建構(gòu)過(guò)程中的數(shù)學(xué)本質(zhì),如歐拉對(duì)函數(shù)概念的兩次修正、李善蘭與偉烈亞力對(duì)“函數(shù)”一詞的合作翻譯,還原函數(shù)概念演進(jìn)過(guò)程中的人文情懷,彰顯出數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

(5)德育之效.以“滴滴打車(chē)”計(jì)費(fèi)、“嫦娥一號(hào)”飛行等生活情境、“雞兔同籠”、“石子計(jì)數(shù)”等歷史情境,感悟我國(guó)科技的蓬勃進(jìn)步、古人智慧的傳承發(fā)展.其次,函數(shù)概念演變史彰顯了數(shù)學(xué)“以文化人”的教育價(jià)值,有效地引導(dǎo)學(xué)生“穿越時(shí)空,與數(shù)學(xué)家對(duì)話(huà)”,幫助學(xué)生親近數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué),了解不同時(shí)空下數(shù)學(xué)家的獨(dú)特貢獻(xiàn),形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān).回顧李善蘭對(duì)“函數(shù)(function)”中文翻譯的貢獻(xiàn),增強(qiáng)文化自信.

5.3 融入信息技術(shù),助力教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課借助上海市教研室研發(fā)的“數(shù)字教材”平臺(tái),將相關(guān)史料插入“數(shù)字教材”,借助“插入”、“云筆記”等功能輔助教學(xué),有利于推送每節(jié)課相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)史料、微視頻等學(xué)習(xí)資料,幫助學(xué)生了解函數(shù)概念的相關(guān)歷史,理解函數(shù)概念的演變動(dòng)因.同時(shí),借助“反饋練習(xí)”、“流轉(zhuǎn)筆記”等功能,在課前、課后及時(shí)測(cè)評(píng),在課中保障師生交流互動(dòng)、實(shí)時(shí)共享.可見(jiàn),融入信息技術(shù)的數(shù)學(xué)文化課例教學(xué),大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)“教—學(xué)—評(píng)”的系統(tǒng)化,助力數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹(shù)人”的教育實(shí)證.