廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質,常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒有這方面的內容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關理論知識,可以“登高望遠”,便于找到問題的本質內涵,確定解題方向,尋找簡捷的解題途徑.

本文從函數(shù)凹凸性的視角,對一些雙變量的函數(shù)壓軸題進行探究,揭示試題的命題背景與內涵.

一、函數(shù)的凹凸性及常用性質

1.函數(shù)凹凸性的定義

2.凹凸函數(shù)的常用性質

(1)函數(shù)凹凸性的判定定理設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內具有一階和二階導數(shù),那么:若f(x)在(a,b)內有f′′(x)>0,則f(x)在[a,b]上是下凸函數(shù);若f(x)在(a,b)內有f′′(x)<0,則f(x)在[a,b]上是上凸函數(shù).

證明如圖1,設點A,B,M的坐標為(x1,0),(x2,0),則點D,C的坐標為(x1,f(x1)),(x2,f(x2)).直線與函數(shù)y=f(x)的圖象交于點N,過N作y=f(x)的切線l,由于f(x)是[a,b] 上連續(xù)的下凸函數(shù),故切線l在曲線y=f(x)的下方,設切線l分別交AD,BC于F,E兩點,則MN為梯形ABEF的中位線.

評注若f(x)是[a,b]上連續(xù)的上凸函數(shù),則上述不等式的不等號反向.

(3) 切線不等式若f(x) 在區(qū)間I為下凸函數(shù),則對 于?x0∈ I,有f(x) ≥f′(x0)(x ?x0) +f(x0);若f(x) 在區(qū)間I為上凸函數(shù),則對于?x0∈I,有f(x) ≤f′(x0)(x ?x0)+f(x0).

高中階段兩個常見的切線不等式:ex≥x+1(x≥0)與lnx≤x ?1(x>0).

二、函數(shù)凹凸性在極值點偏移中的應用

1.極值點偏移的判定定理

定理1 已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù),且有(a,b) 內只有一個極值點x0.若對于a 0.則:

2.典型例題

例2 (2016 年高考全國Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x ?2)ex+a(x ?1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

解析(1)a的取值范圍為(0,+∞),過程略.

評注極值點偏移作為函數(shù)變化過程中的一種重要現(xiàn)象,一直頗受命題人的喜愛.極值點偏移問題的解法一般是構造偏移函數(shù)法或比值代換法,雖然這些方法可以解決極值點偏移問題,但是較難從本質上判定任意一個函數(shù)是否具有偏移現(xiàn)象,左偏還是右偏.哈達瑪不等式是命制極值點偏移問題的一個常用理論背景,試題通過構造具有凹凸性的函數(shù),這樣就可以從理論上保證極值點偏移的出現(xiàn).

三、函數(shù)凹凸性中切線不等式的應用

例4 同例1.

解析由例1 可知,問題(2)等價于:已知f(x1)=f(x2),證明:2

設0

圖2

由于f(x)在點(e,0)處的切線方程為y=?x+e,設切線與y=m交于點C(xc,m),則xc=?m+e.由圖可知,0

例5 (2020 年合肥三診理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(e 為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的零點x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;

(2)設方程f(x)=m(m >0)有兩個實數(shù)根x1,x2,求證:|x1?x2|<2?

圖3

評注顯然,例4,例5 中問題(2)的命題背景是立足于函數(shù)凹凸性中的切線放縮,解題思路是通過切線與直線y=m的交點橫坐標來估計出兩個零點和(或差)的范圍.需要注意的是,在例5 中如果選擇曲線y=f(x)在x=1 處的切線方程為y=(x ?1)來放縮,則得不到想要的結果,因為當x ∈(0,1)時,切線y=(x ?1)并不在曲線y=f(x)的上方(如圖4).

圖4

四、哈達瑪不等式的應用

例6 (2020 年高考天津卷第20 題) 已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k ∈R),f′(x)為f(x)的導函數(shù).

例7 (2013 年高考陜西卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex,x ∈R.

(1)若直線y=kx+1 與y=f(x)的反函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)k的值;

(2)設x >0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m >0)公共點的個數(shù);

五、結束語

以函數(shù)凹凸性為命題背景的試題還有很多,通過以上幾道例題,不難體會函數(shù)凹凸性等相關知識的豐富性,這也表明:高等數(shù)學的相關理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度的高考試題的重要來源.雖然函數(shù)凹凸性不屬于高中數(shù)學的內容,但是掌握相關知識,能幫助教師與學生找開思維視角,養(yǎng)成對試題背后的內在關系分析與思考習慣.

近年來,高考的命題者通過挖掘高等數(shù)學中的一些素材來命制高考試題,此類試題也逐漸引起老師們的關注.但這并不意味著要將過多的高等數(shù)學知識下放到中學里來,加重中學的負擔.應該是教師能站在高觀點的角度看待問題,將研究的問題引向深入,探索隱藏在題目背后的奧秘,挖掘題目的真正內涵,能夠找到解決這個問題與解決其它問題在思維上的共性.這樣我們才能領會到試題命制的深刻背景,才能引領學生跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三,更好地指導中學的數(shù)學教學.