湖北師范大學附屬中學(黃石一中)(435000) 楊瑞強

一、問題引入

人民教育出版社編寫的普通高中教科書《數學》必修第二冊第26 頁例1 是這樣的:

根據教材中這個問題的探討,我們不難發(fā)現(xiàn)這樣一個結論:

由三點共線定理可知,若λ+μ=1,則點C的軌跡是直線AB.于是,我們自然會思考:若λ+μ1,則點C的軌跡又是什么呢? 通過進一步探究,我們可以發(fā)現(xiàn)更多結論.

圖1

二、問題探究

探究2 如圖3 所示,在探究1 的條件下,過點C作直線l//AB,在l上任取一點C′,連接OC′交AB于點D′,則λ,μ,k又滿足什么關系?

圖3

圖4

圖5

三、向量等和線定理

根據上述問題的探究與分析可知,向量的等和線有如下結論:

我們運用“等和線”這一概念時,經常涉及下述性質:

(1)當等和線恰為直線AB時,k=1;

(2)當等和線在O點和直線AB之間時,k ∈(0,1);

(3)當直線AB在O點和等和線之間時,k ∈(1,+∞);

(4)當等和線過O點時,k=0;

(5)若兩等和線關于O點對稱,則定值k互為相反數;

(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.

四、向量等和線定理的妙用

“等和線”定理是專門解決有關基向量中系數之和的秒殺工具,對于處理向量分解時的系數之和以及系數最值有關問題,均可以嘗試使用向量“等和線”定理.下面分類加以說明向量“等和線”定理的妙用.

類型1:基底起點相同

1.求共起點向量線性運算的系數和

根據等和線求共起點向量線性運算的系數和的步驟:(1)確定值為1 的等和線;(2)平移(旋轉或伸縮)該線,作出滿足條件的等和線;(3)從長度比或點的位置兩個角度,計算滿足條件的等和線的值.

圖6

圖7

2.求共起點向量線性運算系數和的最值(范圍)

根據等和線求共起點向量線性運算系數和的最值(范圍)的步驟:(1)確定值為1 的等和線;(2)平移(旋轉或伸縮)該線,結合動點的可行域,分析何處取得最大值和最小值;(3)從長度比或點的位置兩個角度,計算最大值和最小值.

解析如圖8 所示,由平面向量的等和線定理可知,當等和線l與圓相切時λ+μ最大,此時λ+μ==3.故選A.

圖8

評析對于動向量問題,如果向量的終點不在等和線上,則這類問題往往涉及求系數和的最值或者范圍.對于這類問題,可轉化為線段比值的最值或者范圍問題來解決.

3.求向量線性運算的系數的線性關系式的最值(范圍)

在利用等和線定理求解兩系數的線性關系式的值時,需要先通過變換基底向量,使得需要研究的代數式為基底的系數和,再去找基底向量的等和線,轉化為線段比例關系求解.要只需OD最小,即當OD是?OMN的高時最大,經計算可得OD=所以3x+5y的最大值是.故選A.

圖9

評析當有的等和線問題并不是直接求向量系數和的值或最值時,而是求類似于λx+μy(其中λ,μ為常數)這種形式的相關問題,此時可以轉化為兩個新向量的等和線問題來解決.

類型2:基底起點不同

運用等和線定理時,需要注意三個向量應該共起點,對于不是共起點的問題,可通過找相等向量,從而把相關問題轉化為等和線問題.

圖10

評析本題中的三個向量并不是共起點的,而平面向量共線定理表達式中的三個向量的起點一致,此時可以將向量平移實現(xiàn)起點重合.

類型3:基底一方或兩方可變

對于動向量問題,向量的終點不在等和線上求系數和的最值或者范圍時,可轉化為線段比值的最值或者范圍問題來解決.

例5 在正方形ABCD中,如圖11 所示,E為AB中點,P以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點,設則x+y的最小值_____.

圖11

圖12

評析當基向量的終點是變化的,使系數和λ+μ=1的等和線也是變化的,所以滿足條件的等和線也相應保持平行變化,從而求解問題的關鍵在于探求保持平行變化中滿足條件的等和線位置.

例6 如圖13 所示,在平行四邊形ABCD中,M,N為CD的三等分點,S為AM與BN的交點,P為邊AB上一動點,Q為三角形SMN內一點(含邊界),若則x+y的取值范圍是_____.

圖13

圖14

評析平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起點務必一致,若不一致,本著少數服從多數的原則,優(yōu)先平移固定的向量;若需要研究兩系數的線性關系,則需要通過變換基底向量,使得需要研究的代數式為基底的系數和.

類型4:基底可以合理調節(jié)

有時候所要求解的量是系數的一般線性關系式,而非系數和,考慮到可以通過數乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮,所以從理論上講,所有系數的線性關系式都可以通過合理調節(jié)向量的基底,將所求系數的線性關系式變?yōu)閮蓚€新的基向量的系數和.

圖15

圖16

總之,向量的等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題,將系數和的代數式運算轉化為了距離的比例運算,數形結合思想得到了有效直接的體現(xiàn).向量的等和線法將復雜的不等式問題、范圍問題、數量積問題轉化為簡單、直接、操作方便的點到直線距離問題,很多時候用相似即可迅速解決.因此,等和線在解決平面向量中雙變量代數式求取值范圍或最值問題時,具有得天獨厚的優(yōu)勢.