杭州外國語學(xué)校(310023) 王金震

橢圓的焦點(diǎn)三角形指的是橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)所連接成的三角形.橢圓的焦點(diǎn)三角形問題,可以將橢圓定義和性質(zhì)、三角形的幾何性質(zhì)以及解三角形等進(jìn)行有機(jī)結(jié)合[1].圓是平面幾何中非常重要的研究對象,焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓問題對于問題轉(zhuǎn)化能力、幾何性質(zhì)的應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力提出了更高維度的要求,是解析幾何綜合問題重點(diǎn)考察內(nèi)容之一.

一、橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)

如圖1,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,(a >b >0),F1,F2為橢圓C的左右焦點(diǎn),P為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),?PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I與?PF1F2相切于點(diǎn)D,E,H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)I的坐標(biāo)為(xI,yI).則有如下性質(zhì):

圖1

設(shè)?PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,由內(nèi)切圓性質(zhì)得IH⊥x軸,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時則xI=OH,yI=r.根據(jù)切線長定理,

性質(zhì)1 和性質(zhì)2 的證明采用的是“算兩次”的方法.性質(zhì)1 中對算式(PF1+PF2)?F1F2先利用切線長定理進(jìn)行化簡,再根據(jù)橢圓定義進(jìn)行整理,從而構(gòu)造方程并求解.性質(zhì)2 內(nèi)心橫坐標(biāo)利用切線長定理和橢圓焦半徑公式對PF1?PF2算兩次構(gòu)造方程,內(nèi)心縱坐標(biāo)利用焦點(diǎn)三角形面積的兩種表述算兩次求解.

二、橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用

圖2

(一)定值問題

例2 已知橢圓=1(a>b>0) 的左右焦點(diǎn)為F1,F2,P為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),I,G分別為?PF1F2的內(nèi)心和重心,當(dāng)IG垂直于x軸時橢圓的離心率為_____.

圖3

分析本題的難點(diǎn)是對重心和內(nèi)心進(jìn)行綜合考察.因?yàn)樾再|(zhì)2 中內(nèi)心坐標(biāo)和點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系是利用離心率e進(jìn)行刻畫的,所以解決本題的關(guān)鍵是要了解重心和三角形三個頂點(diǎn)之間坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系,結(jié)合性質(zhì)2 構(gòu)造方程求解.

例3 已知橢圓=1左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓上一點(diǎn),?PF1F2的內(nèi)心為I,若內(nèi)切圓半徑為1,則|PI|等于

圖4

分析本題是對內(nèi)心坐標(biāo)和點(diǎn)P坐標(biāo)關(guān)系的直接考察,利用性質(zhì)2 輕松求解.

(二)軌跡問題

圖5

圖6

(三)在雙曲線上的性質(zhì)與應(yīng)用

圓錐曲線的定義、曲線方程、性質(zhì)存在著諸多聯(lián)系,很多性質(zhì)并不是孤立的,所以我們可以試著將橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)研究思路應(yīng)用到雙曲線中,得到類似的性質(zhì).

因?yàn)镮H⊥x軸,所以F1H=F1O+OH=c+xI.由性質(zhì)3 得:F1H=a+c=c+xI,即xI=a,性質(zhì)4 得證.

性質(zhì)3 和性質(zhì)4 的證明邏輯同樣是利用“算兩次”構(gòu)造方程求解.同理可得,P為雙曲線C的左支上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F2D=F2H=a+c,xI=?a.若點(diǎn)P為雙曲線C的上異于實(shí)軸端點(diǎn)的動點(diǎn),?PF1F2內(nèi)心I的軌跡為x=a或x=?a,且0.

三、結(jié)語

解析幾何是數(shù)學(xué)中最有魅力的內(nèi)容之一,方程是描述曲線性質(zhì)的語言,曲線又是方程特征的直觀體現(xiàn).圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容,包含特有的對稱美和統(tǒng)一美,其離心率是圓錐曲線統(tǒng)一美的集中體現(xiàn),隨著離心率的量變,圓錐曲線的形狀也會隨之發(fā)生質(zhì)變[2].本文所研究的橢圓的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心坐標(biāo)和橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系同樣與離心率相關(guān),展示著圓錐曲線的美妙和神奇.結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)三角形的重要性質(zhì)可以解決很多比較棘手的定值問題以及軌跡問題,同樣可以將研究方法進(jìn)行推廣來探究雙曲線是否也有類似的結(jié)論和性質(zhì).解析幾何的魅力在于本身知識體系的深度、交叉內(nèi)容的廣度以及思想方法的靈活多樣,相信隨著研究的深入可以得到更多有趣且優(yōu)美的結(jié)論.