邢慶坤，林 超，喻永權

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.中國北方車輛研究所，北京 100072)

自齒輪副提出以來，諸多國內(nèi)外學者對齒輪副的齒形設計、仿真加工和嚙合特性等進行了分析，梁成成等[1]通過分析成型輪的數(shù)學模型，分別推導了成形法和展成法的輪齒齒面數(shù)學模型,建立了齒輪精確化建模流程。李帥等[2]和陳曦等[3]則從重合度的角度對齒輪副進行參數(shù)優(yōu)化,分析了重合度對齒輪副嚙合特性和系統(tǒng)動態(tài)嚙合性能的影響規(guī)律。宋朝省等[4]則從彎曲應力的角度分析了安裝誤差對齒根彎曲特性的影響規(guī)律。隨著齒輪副的應用越來越廣泛，相關學者又提出了非圓齒輪的傳動形式，以進一步擴大齒輪副的應用范圍。但非圓齒輪的速比特性和輪齒加工等又不同于常規(guī)圓柱齒輪[5-7]，對于非圓齒輪的節(jié)曲線設計， Bair等[8]和Li等[9]以齒輪嚙合原理為基礎，分別結合Jarvis步進算法和傅里葉級數(shù)等相關理論，從不同的角度建立了非圓齒輪節(jié)曲線的時變級數(shù)數(shù)學模型，能夠根據(jù)給定的參數(shù)進行一定程度的通用化設計，具有一定的精度和通用性。童婷等[10]和Qiu等[11]則探討了非圓齒輪封閉節(jié)曲線的設計方法，解決了具有內(nèi)凹節(jié)曲線的非圓齒輪齒廓求解難題。李建剛等[12-14]和Li等[15]則基于齒面離散的思想，提出了一種非圓齒面離散坐標點的數(shù)值計算方法，同時對非圓齒輪輪齒根切和齒頂變尖進行了初步探索，建立了輪齒根切的理論判定方程，給出了輪齒根切的評價指標。

由于非圓齒輪的節(jié)曲線為任意曲線，因此其運動特性也與常規(guī)圓柱齒輪副不同。Penaud等[16]和Talpasanu等[17]分別基于復雜齒輪機構的機構簡圖和關聯(lián)矩陣理論，建立了非圓齒輪及其與桿機構的組合機構的運動學分析方法。林超等[18]針對現(xiàn)有的間歇轉(zhuǎn)動機構傳動性能的缺陷，提出一種新型非圓齒輪型間歇轉(zhuǎn)動機構，并從運動學角度對機構的傳動性能進行了分析。楊存等[19]通過對非圓齒輪嚙合傳動的運動學及動態(tài)特性的分析，不僅可以解決設計上的問題,而且還可以對其進行優(yōu)化設計，消除或減少構件所產(chǎn)生的慣性力，減輕機械振動，降低噪聲污染，提高整個機械系統(tǒng)的工作性能和使用壽命等，為設計研發(fā)非圓齒輪提供一種可靠有效的研究方法。

上述研究主要集中在非圓齒輪的理論設計及參數(shù)對運動特性的影響，相關應用研究較少。筆者以非圓齒輪的速比特性為基礎，針對車輛中常用的帶式無級變速機構的承載能力有限、傳動精度不高等不足設計了全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無級調(diào)速機構，擴大了非圓齒輪和無級變速機構的應用范圍?；诠?jié)曲線封閉性，采用多段線構造法，提出了非圓齒輪節(jié)曲線的反求設計方法；建立了無級調(diào)速機構分支數(shù)、非圓齒輪速比范圍和轉(zhuǎn)角范圍間的匹配關系，并通過ADAMS仿真實驗驗證了非圓齒輪和無級調(diào)速機構設計的正確性。

1 無級調(diào)速原理

如圖1所示，在非圓齒輪無級調(diào)速機構中主要包含兩部分：非圓齒輪時變速比產(chǎn)生部分和行星速比整合部分。在圖1(a)中，鎖緊機構在改變非圓齒輪副1和2的相位角的同時還實現(xiàn)輸入轉(zhuǎn)速的分流，將輸入轉(zhuǎn)速分別傳遞到非圓齒輪副1和2；由于非圓齒輪副1和2處于不同的相位角，根據(jù)圖1(b)得到非圓齒輪的速比與相位角具有對應關系，此時圖1(a)中兩非圓齒輪副輸出轉(zhuǎn)速不同，由此可以在速比整合部分通過差動輪系進行速度整合，最終由選擇輸出機構中的選擇部分對整合后的速度分支進行輸出，得到需要的連續(xù)調(diào)速輸出。圖1(b)中，a為非圓齒輪長軸半徑參數(shù)，e為非圓齒輪偏心率，n為非圓齒輪階數(shù)，從圖1(b)中可知，非圓齒輪的速比具有隨參數(shù)變化的時變性，半徑參數(shù)a主要影響速比的最大最小值：具體表現(xiàn)為隨著半徑參數(shù)a的增大，速比最大值增大、最小值減??；偏心率e主要影響最大最小值間的差值，偏心率越大，最大值越大、最小值越??；階數(shù)n主要影響非圓齒輪副速比周期數(shù)，階數(shù)越大，速比周期越大，變化越快。由于非圓齒輪始終具有時變的速比，因此其不能直接作為無級變速機構進行使用。結合圖1(a)，輸入轉(zhuǎn)速通過鎖緊機構一分為二分別輸入到非圓齒輪副①和②，對非圓齒輪副①和②設置不同的相位角即可得到具有相位差的時變輸出轉(zhuǎn)速；兩組非圓齒輪副的輸出轉(zhuǎn)速分別作為速比整合部分的③和④的輸入轉(zhuǎn)速，通過差動輪系將兩個輸入轉(zhuǎn)速合成為一個確定的輸出轉(zhuǎn)速，而不同相位角下兩組非圓齒輪副①和②的輸出速比也具有不同的相位差，最終通過選擇齒輪副⑤進行輸出選擇，在輸入轉(zhuǎn)速不變的前提下實現(xiàn)輸出轉(zhuǎn)速的無級變速。

圖1 非圓齒輪無級調(diào)速機構傳動原理Fig.1 Continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

1.1 非圓齒輪副節(jié)曲線設計

根據(jù)圖1中所示非圓齒輪無級調(diào)速機構的結構關系可知，作為時變速比發(fā)生部分，無級調(diào)速機構中非圓齒輪副的工作段速比函數(shù)需為一次函數(shù)形式；根據(jù)高階函數(shù)對低階函數(shù)的包含性，非圓齒輪副對應的過渡段速比函數(shù)可以采用傅里葉級數(shù)或多項式進行構造[20],以偏心非圓齒輪為研究對象，采用多項式構造非圓齒輪副過渡段速比函數(shù)，得到非圓齒輪副周期性速比函數(shù)如式(1)所示。

(1)

式中：X為非圓齒輪工作段轉(zhuǎn)角，文中設計參數(shù)X=4π/3；T=2π。

根據(jù)非圓齒輪的速比特性、節(jié)曲線的封閉性和函數(shù)的包絡性，可知非圓齒輪過渡段速比函數(shù)需要通過6個邊界條件和1個封閉條件進行確定，如式(2)所示。

(2)

最終得到非圓齒輪副周期性速比函數(shù)為

(3)

1.2 分支匹配設計

由無級調(diào)速機構的應用特性可知，非圓齒輪無級調(diào)速機構需要在0°～360°范圍內(nèi)實現(xiàn)連續(xù)整周期的穩(wěn)定輸出速比，而根據(jù)圖1(b)和式(3)有，單對非圓齒輪副必定會出現(xiàn)不能滿足傳動和速比整合要求的過渡段。因此必須采用多組非圓齒輪組合的形式，通過輸出分支的交替選擇實現(xiàn)恒定速比變換。

根據(jù)圖1(a)建立時變整合部分簡化模型如圖2所示。

圖2 速比整合機構簡化模型Fig. 2 Simplified model of integration mechanism

結合圖2所示差速齒輪系的速比等效簡化模型，可以得到非圓齒輪無級調(diào)速機構最終輸出速比與非圓齒輪副1和2的輸出速比之間的關系為

(4)

式中：i1(θ1)和i2(θ2)分別是非圓齒輪副1和2的輸出速比；i1和i2是整合差速齒輪副的兩級速比；a是整合差速齒輪副太陽輪與外圈輪的齒數(shù)比。從式中可以看出非圓齒輪調(diào)速機構的最終輸出速比函數(shù)與各級齒輪副間的速比函數(shù)有關。預設非圓齒輪的工作段函數(shù)特性如表1所示。

表1 非圓齒輪工作段參數(shù)

根據(jù)式(3)的整周期速比函數(shù)和表1所示非圓齒輪副工作段基本參數(shù)可以得到不同配對分支單對非圓齒輪副的整周期速比曲線如圖3所示。

圖3 單對非圓齒輪副速比Fig. 3 Transmission ratio of non-circular gear pair with different groups

圖3顯示了不同配對分支數(shù)下的非圓齒輪速比曲線?？梢钥吹絾螌Ψ菆A齒輪整周期速比由兩部分組成：工作段速比和過渡段速比。由于必須要滿足給定工作段的速比特性，所以過渡段速比函數(shù)的上下超調(diào)量就不可避免，但其會隨著配對組數(shù)和工作段速比函數(shù)進行變化。

1.3 非圓齒輪參數(shù)匹配設計

由于不同參數(shù)非圓齒輪具有不同的速比特性，同時對非圓齒輪的設計加工也會造成不同的影響。所以需要對非圓齒輪工作段節(jié)曲線函數(shù)可行性進行理論分析，根據(jù)非圓齒輪工作段和過渡段間的速比函數(shù)包含特性，可以得到如圖4所示的非圓齒輪配對分支數(shù)、工作段轉(zhuǎn)角范圍和工作段速比函數(shù)的相互關系。

圖4 非圓齒輪分支數(shù)、轉(zhuǎn)角范圍與工作速比函數(shù)的匹配關系Fig. 4 Matching relationship between the non-circular gear groups, rotation angles and working ratio function

在圖4所示的有序平面上，每一平面代表同一速比函數(shù)。當所需工作速比不變時，非圓齒輪工作段轉(zhuǎn)角范圍的理論分布角隨著配對非圓齒輪分支數(shù)的增加而減小。虛線將該平面分為3個部分：1)左下角，節(jié)曲線重合度小于1，這表示該分支數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線不完整，對應的整合輸出速比函數(shù)有波動，如圖5所示。2)虛線上，節(jié)曲線重合度等于1，這表示此種組數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線剛好完整，滿足設計要求；但在實際使用過程中需要瞬時切換，不然也會導致輸出速比函數(shù)有波動，在此種切換模式下，齒輪副之間、輪齒之間的負載變化劇烈，容易引起壽命減少、振動沖擊過大等不利情況。3)右上角，節(jié)曲線重合度大于1，這表示此種組數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線有重合或者輸出速比函數(shù)有重合，在此種配對模式下，首選節(jié)曲線完整設計，則輸出速比的重疊部分可以給予相位切換機構足夠的作動時間。相較于情況1和2，情況3不僅滿足了單個齒輪副的節(jié)曲線完整性，同時也滿足了無級調(diào)速機構的需求，其工作轉(zhuǎn)角具有一定的重合度，為相位切換提供了緩沖空間和時間，減少了快速切換帶來的沖擊。

圖5 非圓齒輪節(jié)曲線與參數(shù)關系Fig. 5 Relationship between non-circular gear pitch curves and parameters

表2為圖4～5中各種情況對應的節(jié)曲線、輸出時變特性的相互關系。

表2 非圓齒輪節(jié)曲線與輸出速比關系

2 仿真驗證

2.1 非圓齒輪無級調(diào)速機構建模

筆者主要對非圓齒輪無級調(diào)速機構主體部分輸出速比規(guī)律進行仿真，仿真模型主要包含用于動力輸入的輸入軸，用于時變速比生產(chǎn)的非圓齒輪副，用于速比整合的差動輪系和作為輸出選擇部分的平行軸齒輪副，如圖6所示。

將圖6所示模型導入ADAMS(automatic dynamic analysis)中，添加相應的運動副，以輸入軸為動力輸入，經(jīng)過非圓齒輪的速比產(chǎn)生和差動輪系的速比整合之后得到所需的時變函數(shù)，最后通過平行軸輪系選擇對應的工作段分支進行時變輸出(見圖7)。

圖6 非圓齒輪無級調(diào)速機構實體模型Fig. 6 Model of continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

圖7 運動副添加Fig. 7 Motion joints

2.2 仿真分析

圖8 相位差為0°時的非圓齒輪無級調(diào)速機構輸出速比特性Fig. 8 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 0°

圖9 相位差為60°時的非圓齒輪無級調(diào)速機構輸出速比特性Fig. 9 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 60°

圖10 相位差為120°時的非圓齒輪無級調(diào)速機構輸出速比特性Fig. 10 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 120°

對比圖8～10所示不同相位角下的非圓齒輪無級調(diào)速機構仿真結果可知，當非圓齒輪副1和2的相位差不變時，非圓齒輪副1和2均能實現(xiàn)預設的一階速比函數(shù)，同時通過速比整合部分得到工作段轉(zhuǎn)角對應的穩(wěn)定輸出速比；進一步對比圖10(b)～(d)可知，不同非圓齒輪分支的穩(wěn)定輸出速比函數(shù)間具有不同的相位差，經(jīng)過輸出選擇部分即可實現(xiàn)連續(xù)、穩(wěn)定的時變輸出。

3 實 驗

3.1 實驗臺搭建

為了驗證非圓齒輪設計的正確性，結合式(3)對非圓齒輪的節(jié)曲線微分方程設定足夠的離散精度進行近似求解，通過計算每一個離散步長下節(jié)曲線對應的弧長，得到非圓齒輪節(jié)曲線每一次積分改變的(x,y)坐標值，基于VB(visual basic 語言程序設計)和Solidworks的二次開發(fā)，再通過布爾運算最終得到仿真加工的非圓齒輪，并對非圓齒輪副進行安裝，搭建相應的試驗臺如圖11所示。

圖11 非圓齒輪臺架實驗平臺Fig. 11 Experimental platform of non-circular gear pair

輸入電機將扭矩通過梅花聯(lián)軸器傳遞給輸入軸，驅(qū)動電機和輸入軸之間安裝輸入轉(zhuǎn)速傳感器，用來測定輸入轉(zhuǎn)速。輸入軸帶動主動非圓齒輪轉(zhuǎn)動，通過非圓齒輪的時變速比特性產(chǎn)生時變轉(zhuǎn)速并輸出到輸出轉(zhuǎn)速傳感器進行測量，輸出轉(zhuǎn)速傳感器連接磁粉加載器以保證正確傳動所必需的負載。驅(qū)動電機的轉(zhuǎn)速、扭矩等參數(shù)通過操作控制臺進行調(diào)節(jié)。

3.2 實驗結果分析

因為非圓齒輪是無級變速機構的理論及設計基礎，所以本次試驗主要驗證非圓齒輪副分析和設計的正確性。給定非圓齒輪副輸入轉(zhuǎn)速262 rad/s,輸出端負載扭矩200 Nmm，待非圓齒輪副轉(zhuǎn)動平穩(wěn)之后提取輸入輸出轉(zhuǎn)速測量結構并結合轉(zhuǎn)速與速比的關系式i21=ω1/ω2=n1/n2對輸入輸出轉(zhuǎn)速進行二次處理，得到速比實驗結果，并與MATLAB 的理論結果相比較，如圖12所示。

圖12 非圓齒輪速比對比Fig. 12 Comparison of transmission ratios between theoretical and experimental values

從圖12所示實驗結果可知，該非圓齒輪副的實驗傳動比范圍為0.8～1.2，與理論傳動比基本相等；輸出轉(zhuǎn)速的誤差最大為6.8%，考慮到非圓齒輪設計加工離散精度、安裝誤差和測量的靈敏度等誤差，該最大誤差在可接受的范圍內(nèi)，驗證了理論分析的正確性。

4 結 論

筆者以非圓齒輪的時變速比特性結合工業(yè)實際，設計了具有全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無級調(diào)速機構，擴大了非圓齒輪的應用范圍，改善了無級傳動機構的承載能力。結合高階函數(shù)對低階函數(shù)的包含性，采用多段線構造法建立了非圓齒輪對給定速比特性函數(shù)的再現(xiàn)反求設計方法，并得到了非圓齒輪分支數(shù)、工作段速比函數(shù)和轉(zhuǎn)角范圍等參數(shù)對節(jié)曲線的影響規(guī)律，從理論上分析了不同參數(shù)非圓齒輪設計的可行性，確定了非圓齒輪各參數(shù)的匹配范圍。采用SolidWorks結合VB建立了非圓齒輪無級調(diào)速機構的實體模型，并導入ADAMS中進行運動仿真，得到了不同相位角下不同非圓齒輪分支的時變速比特性；完成了非圓齒輪的加工與實驗，并與MATLAB的理論結構進行對比，得到非圓齒輪副的時變最大誤差為6.8%，驗證了結構設計及分析的正確性，為非圓齒輪的實際應用提供理論基礎。