宋海明

[摘 要]角平分線和垂直平分線是非常重要的解題“鑰匙”。研究角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用，能讓學(xué)生靈活、輕松解題。

[關(guān)鍵詞]角平分線;垂直平分線;綜合應(yīng)用

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）05-0023-03

角平分線和垂直平分線作為初中數(shù)學(xué)的“兩線”，無(wú)論是其定義、性質(zhì)、判定、畫(huà)法還是應(yīng)用，都在初中數(shù)學(xué)幾何中有著舉足輕重的地位?？梢哉f(shuō)，學(xué)生掌握好這“兩線”對(duì)解題大有裨益。本文結(jié)合實(shí)例對(duì)角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、角平分線和垂直平分線的妙用

角平分線和垂直平分線的教學(xué)都是按照定義、性質(zhì)、判定、畫(huà)法、應(yīng)用五個(gè)方面進(jìn)行的。角平分線和垂直平分線既有相通、相似之處，又能結(jié)合起來(lái)設(shè)置更具靈活性的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，角平分線和垂直平分線有如下妙用。

（一）角平分線的妙用

角平分線的作用非常多，常用來(lái)求證點(diǎn)到線的距離相等問(wèn)題。具體思路有“角平分線 + 垂兩邊”“角平分線 + 造全等”“角平分線、平行線 + 等腰三角形”“角平分線、垂線 + 等腰三角形”。

[例1]如圖1所示，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[AD]平分[∠BAC]，交[BC]于點(diǎn)[D]。若[DC=7]，則[D]到[AB]的距離是? ? ? ? ? ? 。

分析：首先，要充分理解“D到[AB]的距離”，此為“點(diǎn)到直線的距離”定義，所以應(yīng)過(guò)點(diǎn)[D]作[AB]的垂線;然后再結(jié)合“[AD]平分[∠BAC]”這一條件，過(guò)角平分線AD上的一點(diǎn)向[∠BAC]的兩邊作垂線，最后利用“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。

[例2]如圖2所示，[∠1=∠2]，[OE=OF]，連接[DE]，[DF]，求證：[△ODE≌△ODF]。

分析：本題欲證明兩個(gè)三角形全等，那么應(yīng)先尋找證明其全等的條件。由題意可知，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)夾角未知，而這需要根據(jù)“[OC]平分[∠AOB]”獲得?？稍赱∠AOB]的兩邊上取相等的線段后，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形。

[例3]如圖3所示，在[△ABC]中，[BO]，[CO]分別為[∠ABC]，[∠ACB]的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)[O]的直線[DE∥BC]，交[AB]于點(diǎn)[D]，交[AC]于點(diǎn)[E]。若[BD=3]，[EC=2]，則[DE=]? ? ? ? ? ?。

分析：有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的另一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。也可以過(guò)角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的平行線，與角的另一邊所在直線交于一點(diǎn)，從而構(gòu)造等腰三角形。如果沒(méi)有角平分線，那么需要留意題中是否有垂直平分線、中位線、平行線、等腰三角形等條件，因?yàn)檫\(yùn)用這些條件解決問(wèn)題時(shí)也可產(chǎn)生與運(yùn)用角平分線性質(zhì)相同的效果。

[例4]如圖4所示，在[Rt△ABC]中，[AB=AC]，[∠BAC=90°]，[BD]平分[∠ABC]，[CE⊥BD]的延長(zhǎng)線于[E]。求證：[BD=2CE]。

分析：從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)（若題目條件中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段止于角的另一邊）。另外，利用所作的垂線還能構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形。

[例5]如圖5所示，有[L1]、[L2]兩條公路相交于點(diǎn)[O]，現(xiàn)要在公路內(nèi)部修建一個(gè)加油站[A]，使得加油站到兩條公路到[L1]、[L2]的距離相等，你認(rèn)為該加油站應(yīng)該在何處修建較好？

分析：要解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要想到角平分線的一個(gè)妙用，即作出點(diǎn)使其到兩邊的距離相等。在這里可以將加油站[A]看成角內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，然后只要作出角的角平分線就能確定加油站所在的位置，即位于[OA]這條射線上，因?yàn)榭梢愿鶕?jù)角平分線的性質(zhì)得到這樣的[A]點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

（二）垂直平分線的妙用

垂直平分線的作用也有很多，常見(jiàn)的有可用來(lái)求點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等、轉(zhuǎn)換線段的位置等。

[例6]如圖6所示，在[△ABC]中，[AB]，[AC]的垂直平分線分別交[BC]于點(diǎn)[D]，[E]，垂足分別為[F]，[G]，已知[△ADE]的周長(zhǎng)為12 ㎝，則[BC=]? ? ? ? ? ? ?。

分析：在本題中，需要將線段[AD]轉(zhuǎn)換至[BD]，將[AE]轉(zhuǎn)換至[EC]。這樣一來(lái)，原本告知的“[△ADE]的周長(zhǎng)為12 ㎝”條件，便瞬間轉(zhuǎn)化為“[BD+DE+EC=12]”，這就是本題所求的[BC]的長(zhǎng)度。

[例7]如圖7所示，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)[A]、[B]、[C]之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)：該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它與三個(gè)小區(qū)的距離相等？

分析：這一類(lèi)問(wèn)題在初中幾何尤為常見(jiàn)，所采用的方法就是先將[A]，[B]，[C]三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，然后分別作這個(gè)三角形每條邊的垂直平分線，這三條垂直平分線會(huì)相交于某一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)則為購(gòu)物中心修建處。

二、角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用

角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行計(jì)算和證明，二是借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行尺規(guī)作圖。

（一）借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行計(jì)算和證明

[例8]如圖8所示，在[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DH]垂直平分[BC]交[AB]于點(diǎn)[D]，[BE]平分[∠ABC]，且[BE⊥AC]，垂足為點(diǎn)[E]，與[CD]相交于點(diǎn)[F]。

（1）線段[BF]與線段[AC]相等嗎？

（2）[CE]與[12BF]之間有何關(guān)系，為什么？

分析：本題同時(shí)出現(xiàn)了角平分線和垂直平分線，在綜合應(yīng)用的過(guò)程中需同時(shí)考慮“兩線”的性質(zhì)及其應(yīng)用。

（1）線段[BF]與線段[AC]相等。因?yàn)閇DH]垂直平分[BC]且[∠ABC=45°]，所以[BD=DC]，且[∠BDC=90°]。因?yàn)閇∠A+∠ABF=90°]，[∠A+∠ACD=90°]，所以[∠ABF=∠ACD]。可以證明[△BDF]和[△CDA]全等，由全等三角形的性質(zhì)得到[BF=AC]。

（2）由（1）分析可知[BF=AC]。因?yàn)閇BE]平分[∠ABC]，所以[∠ABE=∠CBE]且[BE⊥AC]，可以證明[△ABE]和[△CBE]全等，得到[CE=AE=12AC=12BF]。

小結(jié)：當(dāng)一道計(jì)算題或證明題中同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線時(shí)，首先需要根據(jù)角平分線和垂直平分線分別得出相應(yīng)的結(jié)論，然后將它們根據(jù)解題需要進(jìn)行綜合應(yīng)用。一般來(lái)說(shuō)，有角平分線和垂直平分線的題目，通常會(huì)涉及全等三角形。

[例9]如圖9所示，[∠A=90°]，[BE]平分[∠ABC]，[DE]垂直平分[BC]，[AB=6]，[AC=8]。求[△ABE]的面積。

分析：本題同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線，那么在分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分別利用“兩線”得出結(jié)論，然后借助直角三角形列出相應(yīng)的方程。由角平分線可得[AE=DE]，由垂直平分線可得[BE=EC]。此時(shí)，不妨設(shè)[AE]為[x]，那么[EC=8-x]，所以在直角三角形[ABE]中，可得[x2+62=（8-x）2]。解之即可求出[△ABE]的面積。

小結(jié)：這種模型在學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練時(shí)經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到，解題的基本思路是先找出等邊后設(shè)未知數(shù)并解方程，即把相關(guān)的邊放在一個(gè)直角三角形中，然后利用勾股定理列出方程，通過(guò)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題。

（二）借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行尺規(guī)作圖

[例10]如圖10所示，[AB]和[BC]兩條公路相交于[B]點(diǎn)，在其內(nèi)部有[D]、[E]兩個(gè)村莊。為了給兩村村民提供更多生活便利，現(xiàn)計(jì)劃在[∠ABC]的內(nèi)部建一個(gè)超市，要求該超市與兩個(gè)村莊的距離相等，且同時(shí)到兩條公路的距離相等。運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，采用尺規(guī)作圖畫(huà)出該超市點(diǎn)[P]。

分析：本題需要同時(shí)考慮角平分線和垂直平分線，因?yàn)椤耙笤摮械絻蓚€(gè)村莊的距離相等，且同時(shí)到兩條公路的距離相等”。因此，點(diǎn)[P]既要在[∠ABC]的角平分線上，又要在線段[DE]的垂直平分線上。如圖10所示，連接[DE]，作[DE]的垂直平分線，再作出[∠ABC]的角平分線，兩線相交于點(diǎn)[P]，則點(diǎn)[P]為所求的點(diǎn)。

小結(jié)：遇到這類(lèi)尺規(guī)作圖問(wèn)題，首先要熟識(shí)作圖方法，然后要清楚“點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等作垂直平分線，點(diǎn)到邊的距離相等作角平分線”。

綜上所述，在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線時(shí)，要掌握“兩線”的定義、性質(zhì)、判定、畫(huà)法應(yīng)用等內(nèi)容，以及與之相關(guān)的等腰三角形、全等三角形等知識(shí)。只有理解掌握這些知識(shí)點(diǎn)，才能靈活解決問(wèn)題。因此，教師在平時(shí)教學(xué)中要注重這方面的訓(xùn)練，積極幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系和掌握解題技巧。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 任淑芳，張森.找出“型”方能“行”，能力才能得提升：以“角平分線的綜合應(yīng)用”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)， 2020（22）：12-13，22.

[2]? 喬琦花，董磊.運(yùn)用“幾何畫(huà)板”，凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)：以“平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（8）：75-78.

[3]? 高峰.應(yīng)用“線段垂直平分線性質(zhì)定理”解題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013（12）：41-42.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）