尤鑫燁， 陳 力

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350116)

1 引 言

隨著宇航技術(shù)的發(fā)展，人類的太空活動越來越頻繁，任務(wù)也更加復(fù)雜，空間機器人在太空任務(wù)中也發(fā)揮著更為重要的作用?？臻g機器人能提高在軌任務(wù)的效率和執(zhí)行能力，降低了宇航員面臨碎片和強輻射的風(fēng)險，因此空間機器人的建模與控制受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-3]。空間機器人在軌運行過程存在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定、關(guān)節(jié)摩擦力矩和液體推進(jìn)劑的晃動等擾動因素，設(shè)計控制器時需考慮上述因素對機器人軌跡跟蹤控制的影響。

諧波減速器的應(yīng)用使得機器人關(guān)節(jié)具有一定的柔性，使伺服電機轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角產(chǎn)生耦合，易引起機械臂的抖振和系統(tǒng)響應(yīng)遲滯的問題。針對機器人關(guān)節(jié)柔性特性的控制問題，諸多學(xué)者進(jìn)行深入的研究[4-8]。文獻(xiàn)[9]研究了漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人操作未知載荷的控制及振動抑制問題，設(shè)計了力矩微分反饋控制器來抑制機械臂各關(guān)節(jié)的柔性振動，能用于關(guān)節(jié)剛度較小的空間機器人。

上述研究均未討論關(guān)節(jié)摩擦力矩的影響，機器人關(guān)節(jié)摩擦具有復(fù)雜、非線性以及不確定性的特點，其耦合作用會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差以及載體的姿態(tài)。系統(tǒng)靜態(tài)性能表現(xiàn)出較大穩(wěn)態(tài)誤差或極限環(huán)震蕩，低速時出現(xiàn)爬行現(xiàn)象[10]。文獻(xiàn)[11]討論了地面基單柔性關(guān)節(jié)機器人摩擦力矩影響下的控制問題，將非線性摩擦因素表達(dá)為相對于名義模型的逆加性不確定性，并設(shè)計了魯棒控制器。文獻(xiàn)[12]充分考慮了地面基柔性關(guān)節(jié)機器人控制中的各種影響因素，通過前饋補償確定性擾動和摩擦力線性部分，通過反饋補償摩擦力非線性部分、系統(tǒng)參數(shù)不確定性以及建模誤差的影響。文獻(xiàn)[13]研究了存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)和摩擦力矩的空間機械臂系統(tǒng)，設(shè)計了基于高斯模糊基的自適應(yīng)動態(tài)面控制，實現(xiàn)載體姿態(tài)不受控工況下的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制，但該方法依賴摩擦觀測器實時估計不可測的內(nèi)部摩擦狀態(tài)。

基于上述研究，本文結(jié)合奇異攝動法，研究了柔性鉸關(guān)節(jié)的漂浮基空間機器人存在關(guān)節(jié)摩擦力矩和結(jié)構(gòu)不確定情況下的軌跡跟蹤控制問題。基于奇異攝動法將系統(tǒng)分為快慢變子系統(tǒng)，設(shè)計力矩微分控制器保證快變子系統(tǒng)的穩(wěn)定性；針對慢變子系統(tǒng)，利用高斯基函數(shù)的小腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近系統(tǒng)中不確定項，設(shè)計基于標(biāo)稱動力學(xué)模型的魯棒控制器和基于摩擦力上界補償器來抵消關(guān)節(jié)摩擦力矩影響。通過李雅普諾夫理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，數(shù)值仿真校驗了控制方案的有效性。

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1所示為本文研究的作平面運動的柔性關(guān)節(jié)空間機器人系統(tǒng)。由分體Bi(i=0,1,2)和柔性鉸關(guān)節(jié)組成，OXY為慣性坐標(biāo)系，OiXiYi(i=0,1,2)為各分體連體坐標(biāo)系。矢量ri(i=0,1,2)分別指向各分體的質(zhì)心Oc i(i=0,1,2)，rp指向末端載荷質(zhì)心。

圖1 柔性關(guān)節(jié)空間機器人

機械臂關(guān)節(jié)一般由伺服電機、諧波或行星減速器和臂桿構(gòu)成，如圖2所示。參考Spong[14]研究的柔性關(guān)節(jié)機械臂模型，簡化成由電機和剛度系數(shù)為常數(shù)且無慣量的線性扭簧及臂桿構(gòu)成的子系統(tǒng)。

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡化模型

空間機器人系統(tǒng)滿足動量守恒定律，設(shè)系統(tǒng)初始動量為零，由拉格朗日第二類方程，可推導(dǎo)出此類空間機器人在無外力作用下、不考慮微弱的重力因素且載體姿態(tài)受控位置不控的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(1)

(2)

3 基于高斯基函數(shù)的小腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法簡單且學(xué)習(xí)速度快的特點使其更適合機器人在線學(xué)習(xí)控制。傳統(tǒng)的CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)為常值，只能記憶靜態(tài)信息，且泛化性能較差?？紤]使用高斯基函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)以逼近非線性的不確定項模塊?；诟咚够瘮?shù)的CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入狀態(tài)空間Z=[z1,z2,…,zna]，通過對Z的量化劃分基函數(shù)的中心，輸入樣本Z，存儲在記憶空間的相應(yīng)權(quán)值激活，與基函數(shù)關(guān)聯(lián)得到CMAC的輸出,

y=WTΦ

(3)

權(quán)值vj的修正率為

(4)

4 控制器設(shè)計

柔性鉸關(guān)節(jié)的空間機器人動力學(xué)模型由式(1,2)表示，本節(jié)基于上述模型，考慮系統(tǒng)中的不確定項和關(guān)節(jié)摩擦特性的影響，設(shè)計基于高斯基函數(shù)的小腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和摩擦補力矩償?shù)聂敯艨刂破?，以實現(xiàn)系統(tǒng)在不確定項和關(guān)節(jié)摩擦力矩影響下對關(guān)節(jié)空間運動的軌跡跟蹤。

4.1 基于柔性補償?shù)南到y(tǒng)奇異攝動分解

由式(2)得控制力矩τ的動態(tài)方程為

(5)

選取電機控制輸入為

τm=Krτr+um

(6)

式中Kr=I+Kb，Kb∈R2 × 2為對角正定補償矩陣，I為單位矩陣，τr∈R2 × 1為待設(shè)計的控制輸入量，um=-Kbτ為引入的關(guān)節(jié)柔性補償控制器[9]。

將式(6)電機力矩輸入代入式(5)可得

(7)

式中Ke=KKr為柔性補償后的等效剛度矩陣。式(1，6)構(gòu)成柔性補償后的系統(tǒng)動力學(xué)模型。

設(shè)計控制輸入量τr為

τr=τr l+τr f

(8)

式中τr l∈R2 × 1為慢變子系統(tǒng)控制律，τr f∈R2 × 1為快變子系統(tǒng)控制律。

(9)

設(shè)計力矩微分控制器τr f為

(10)

式中Ka 2∈R2 × 2的選取應(yīng)保證快變子系統(tǒng)的穩(wěn)定。

(11)

4.2 慢變子系統(tǒng)基于摩擦力上界的C MAC魯棒控制

由式(11)可知，考慮摩擦力矩的慢變子系統(tǒng)動力學(xué)模型為

(12)

(13)

圖3 關(guān)節(jié)摩擦特性

(14)

式中ε為充分小的正常數(shù)。

令qd為系統(tǒng)期望軌跡，則設(shè)計控制律如下，

(15)

定義關(guān)節(jié)跟蹤誤差e=q-qd，得系統(tǒng)誤差方程為

(16)

定義狀態(tài)變量如下，

(17)

用式(3)所示CMAC網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)不確定項得

(18)

系統(tǒng)誤差狀態(tài)方程改寫為

(19)

將CMAC網(wǎng)絡(luò)逼近誤差εf看作擾動項，證明控制器使系統(tǒng)滿足L2增益條件，需構(gòu)造能量函數(shù)V，使得耗散不等式成立，

(20)

式中γ>0為干擾抑制水平因子，評價信號Z=P1x1，設(shè)計控制律u為

(21)

式中ur為跟蹤誤差補償項，uf為摩擦力補償項。各項表示為

(22)

如式(18)所示CMAC網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計自適應(yīng)律為

(23)

(24)

V對時間求導(dǎo)，由式(24)推導(dǎo)出

(25)

5 仿真算例設(shè)計

對圖1所示的柔性關(guān)節(jié)空間機器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真。假設(shè)部件質(zhì)量均勻分布，質(zhì)心位于其幾何中心。系統(tǒng)實際參數(shù)如下，載體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心距離分別為m0=40 kg，I0=34.17 kg·m2，l0=1.5 m；桿1質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和臂桿長度分別為m1=2 kg，I1=1.5 kg·m2，l1=3 m，桿2質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和臂桿長度分別為m2=1 kg，I2=0.8 kg·m2，l2=3 m。系統(tǒng)參數(shù)理論值如下，載體質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別為me 0=41.5 kg，Ie 0=35 kg·m2，桿1質(zhì)量me 1=1.9 kg，桿2長度l2=2.8 m，其余參數(shù)假設(shè)理論值和實際值一致。k1=k2=100 N·m/rad；J1=J2=0.08 kg/m2。選取控制器參數(shù)P1=P2=0.5，Kd=diag(50,50，50)，Kb=diag(65,65)，γ=1，γs=2，γf=4，Ka 1=diag(0.05,0.05)，Ka 2=diag(25,25)，取ε=0.01。

根據(jù)本文摩擦特性分析，選取Feeny等[15]提出的一種連續(xù)性光滑靜態(tài)摩擦律表示關(guān)節(jié)摩擦特性，

圖4 空間機器人軌跡跟蹤

6 結(jié) 論

討論了關(guān)節(jié)摩擦力矩影響下，具有柔性鉸關(guān)節(jié)和結(jié)構(gòu)不確定性的漂浮基空間機器人系統(tǒng)控制問題。結(jié)合奇異攝動思想設(shè)計了快變子系統(tǒng)力矩微分控制器和慢變子系統(tǒng)基于摩擦補償?shù)淖赃m應(yīng)CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的控制器能夠有效改善摩擦因素引起的響應(yīng)遲滯問題，降低關(guān)節(jié)耦合作用對載體姿態(tài)角的影響。

相比于文獻(xiàn)[11，13]設(shè)計的算法，本文設(shè)計的算法不依賴精確的摩擦模型和在線摩擦觀測器，改善了傳統(tǒng)CMAC網(wǎng)絡(luò)控制的遲滯現(xiàn)象，能較好地實現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)空間機器人的軌跡跟蹤控制?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡單，計算量小，經(jīng)適當(dāng)擴充可應(yīng)用于空間三維機器人實時軌跡跟蹤控制。