周炎

[摘? 要] 2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良試題，對(duì)教師和考生來(lái)講是一種全新的挑戰(zhàn). 文章試結(jié)合高三一輪復(fù)習(xí)中結(jié)構(gòu)不良試題微專題的教學(xué)實(shí)踐研究，談一談結(jié)構(gòu)不良試題的功能及教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 結(jié)構(gòu)不良試題;數(shù)學(xué)思維;情境

[?] 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)教育要能促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.對(duì)于這一課標(biāo)精神，在近兩年的全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中有了非常明顯的體現(xiàn)，其中2020年新高考山東卷第17題便引發(fā)了更多關(guān)注.

題目：在①ac=，②csinA=3，③c=b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA=·sinB，C=，________？（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

本題有如下幾個(gè)特點(diǎn)：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失;②選擇不同，導(dǎo)致多種解決方法和途徑;③具有多種評(píng)價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn). 這樣一種與以往有不同結(jié)構(gòu)的試題，在認(rèn)知心理學(xué)上稱為結(jié)構(gòu)不良試題.它能夠有效考查學(xué)生多角度把握問題本質(zhì)的能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，進(jìn)而更好地發(fā)揮高考的選拔功能.

[?] 教學(xué)實(shí)踐

1. 情境導(dǎo)思，提出問題

用PPT呈現(xiàn)2020年高考山東模擬卷第17題和2020年新高考山東卷第17題.

提問：以上兩道試題與以往我們常做的試題有何不同，在結(jié)構(gòu)上有何共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，喚醒思維沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，自然揭示課題.

2. 典例深思，建構(gòu)數(shù)學(xué)

例1 （2020年高考山東模擬卷第17題）在①向量m=（sinωx，cos2ωx），n=

cosωx

，，ω>0，f（x）=m·n;②函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）ω>0，φ

<的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖像，g（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;③函數(shù)f（x）=cosωxsinωx

+-（ω>0）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答.

問題：已知_________，函數(shù)f（x）的圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.

（1）若0<θ<，且sinθ=，求f（θ）的值;

（2）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

例1由學(xué)生自行思考、完成解答，教師請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)展示解答過(guò)程并對(duì)自己的選擇進(jìn)行說(shuō)明.對(duì)本題的作答情況統(tǒng)計(jì)如表1所示.

設(shè)計(jì)意圖：借助于例1初步收集學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)不良題的處理方法，明晰學(xué)生內(nèi)心深處的真實(shí)想法. 通過(guò)展示，對(duì)各種選擇進(jìn)行比較，如：條件①考查向量數(shù)量積及兩角和差公式，有一定的運(yùn)算量;條件②考查三角函數(shù)圖像的平移變換及對(duì)稱性，運(yùn)算量較小，但需對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)較熟悉;條件③考查升降冪公式及輔助角公式，運(yùn)算量較大，需有扎實(shí)的基本功. 根據(jù)以上比較，形成共識(shí)，即在選擇前需初步判斷，再選擇自己擅長(zhǎng)的、更有把握的及性價(jià)比高的條件.

3. 變式拓思，運(yùn)用數(shù)學(xué)

變式1：在①cosA=，cosC=;②csinC=sinA+bsinB，B=60°;③c=2，cosA=三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=3，________，求△ABC的面積.

變式2：已知函數(shù)f（x）=Asin

ωx+

（A>0，ω>0）只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①f（x）的最大值為2;②函數(shù)f（x）的圖像可由y=sin

x-

的圖像平移得到;③函數(shù)f（x）圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件的序號(hào)，并求出f（x）的解析式. （注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

設(shè)計(jì)意圖：（1）強(qiáng)化例1的研究成果，檢測(cè)學(xué)習(xí)效果;（2）由于例1雖是不同條件，但最終結(jié)果相同，為避免學(xué)生形成思維定式，給出變式1——不同條件不同結(jié)果;（3）結(jié)構(gòu)不良試題不僅是“多選一”，還可能是“多選二”.進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，更好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)創(chuàng)新挑戰(zhàn)和實(shí)踐的能力.

4. 鏈接高考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)

例2 2020年新高考山東卷第17題.

設(shè)計(jì)意圖：（1）高考題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種全真的體驗(yàn)：體驗(yàn)高考問題情境，明晰高考考查方向;（2）本題較之前的例題及變式題更靈活，若學(xué)生在選擇條件前能對(duì)問題中的已知條件先行分析，能達(dá)到事倍功半的效果.

對(duì)此題的作答情況統(tǒng)計(jì)如表2所示.

5. 歸納反思，理解數(shù)學(xué)

（1）本節(jié)課的知識(shí)框架：

設(shè)計(jì)意圖：由例題及變式訓(xùn)練逐步總結(jié)提煉，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 促使學(xué)生將解題的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生掌握基本模型，感悟基本方法.

[?] 教學(xué)反思

1. 破傳統(tǒng)、融創(chuàng)新、提思維

一方面，以往高考中的數(shù)學(xué)試題的初始條件是現(xiàn)成的，目標(biāo)狀態(tài)是已知的，考生通過(guò)高中三年的強(qiáng)化訓(xùn)練對(duì)這些問題有明確的思路和模式化的解法. 結(jié)構(gòu)不良試題的出現(xiàn)打破了傳統(tǒng)解題套路，迫使學(xué)生學(xué)會(huì)選擇、推理、評(píng)價(jià)與監(jiān)控.如例1，需要學(xué)生事先做出選擇，而在明確選擇前要站在不同角度對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行初步推理，進(jìn)而比較每個(gè)路徑的運(yùn)算量、熟悉程度等，最終選擇自己認(rèn)為最有把握、最高效的選項(xiàng).

另一方面，結(jié)構(gòu)不良試題由于選擇不同，導(dǎo)致最終的結(jié)果不同，改變了學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)試題的認(rèn)知.如變式1，三個(gè)不同的選擇導(dǎo)致三種不同的結(jié)果，這樣的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題并非只有唯一正確的答案，只有相對(duì)較好或較差的解決方法;如例2，不僅有不同的結(jié)果，選擇條件③則三角形根本不存在，說(shuō)明結(jié)構(gòu)不良試題有較強(qiáng)的開放性和創(chuàng)新性;又如變式2，其呈現(xiàn)的是“多選二”不良結(jié)構(gòu)，且不是任意選擇兩個(gè)條件都能解決問題，說(shuō)明結(jié)構(gòu)不良試題對(duì)學(xué)生思維能力的考查還可以進(jìn)入更高、更深的層面，需要給基礎(chǔ)扎實(shí)、思維能力強(qiáng)的學(xué)生提供更好的展示平臺(tái)，更大程度地發(fā)揮考試的區(qū)分鑒別功能.

2. 強(qiáng)概念、重情境、促遷移

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出，高考的核心功能之一是引導(dǎo)教學(xué)，結(jié)構(gòu)不良試題的出現(xiàn)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求.

首先，從以上實(shí)例來(lái)看，從每個(gè)選項(xiàng)的選擇到完成整個(gè)問題的解答均源于學(xué)生對(duì)日常教學(xué)中書本上最基本的概念的深刻理解以及公式的靈活運(yùn)用.作為一線教師，在概念教學(xué)時(shí)應(yīng)重視概念的生成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地厘清數(shù)學(xué)概念的前世今生、把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)概念開始就要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.若新授課中把大量時(shí)間與精力花在試題訓(xùn)練上，那么培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生就成了做題機(jī)器，使其認(rèn)知能力存在極大的局限性，無(wú)法很好地應(yīng)對(duì)新高考中的新情境.

其次，結(jié)構(gòu)不良試題往往呈現(xiàn)的是多種情境，迫使學(xué)生站在不同角度思考多種可能，這就要求平時(shí)教學(xué)中多設(shè)置開放性、多樣化的問題情境. 如例1，從向量、三角函數(shù)圖像變換、兩角和差公式等不同情境視角去解決同一個(gè)問題;又如，對(duì)于例2還可以做這樣的變式：“已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C=，c=2，在你現(xiàn)有的認(rèn)知范圍內(nèi)能解決與三角形有關(guān)的哪些量的最值問題（至少寫出兩個(gè)，并給出解答過(guò)程）？”這樣的問題情境，能有效地拓展學(xué)生思維的廣度和深度、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

強(qiáng)概念重情境的終極目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而使學(xué)生將形成和發(fā)展的能力遷移到高考中，進(jìn)而遷移到現(xiàn)實(shí)世界中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能.