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        以大觀念為核心重構(gòu)單元學習

        2022-04-20 14:53:23牛獻禮
        中國教師 2022年4期
        關(guān)鍵詞:大觀念轉(zhuǎn)化思想自主探究

        牛獻禮

        【摘 要】“多邊形的面積”單元教學以數(shù)學“大觀念”為核心,將課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,各部分內(nèi)容的著力點既前后關(guān)聯(lián)又各有側(cè)重,即“平行四邊形的面積”的教學應借助方格紙度量面積,讓學生理解“轉(zhuǎn)化”的道理,并學會用“剪拼法”將未知轉(zhuǎn)化為已知;“三角形的面積”的教學注重引導學生用“合拼法”“剪拼法”等多種轉(zhuǎn)化方法探究新知,并理解不同方法背后的共同道理;“梯形的面積”的教學則進一步放手讓學生自主選擇轉(zhuǎn)化方法去推導公式。各部分的教學都注重“理法融合”,關(guān)注學生對具體知識背后的“大觀念”的持續(xù)性理解。

        【關(guān)鍵詞】大觀念 轉(zhuǎn)化思想 自主探究 持續(xù)性理解

        素養(yǎng)是一個人表現(xiàn)出來的思維品質(zhì)和做事風格。學生的素養(yǎng)往往體現(xiàn)在解決新情境下復雜問題的意愿和能力,而這需要學生理解和遷移知識學習過程中蘊含的思想方法、思維方式、情感態(tài)度等。一個人對思想方法等的認識形成一個個的“觀念”(idea),其中居于學科中心地位、最核心的就是“大觀念”(big

        ideas)?!按笥^念”是抽象概括出來的概念,它能反映學科本質(zhì),處于更高層次,因而能夠?qū)⒏鞣N相關(guān)概念和理解聯(lián)系成為一個連貫的整體,使之能夠在更大范圍內(nèi)得以遷移運用,是知識向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化的中介。

        為此,筆者在執(zhí)教小學數(shù)學五年級“多邊形的面積”單元時,分析并提煉出具體知識內(nèi)容背后的大觀念。

        大觀念1:測量圖形的面積,實質(zhì)是測量該圖形所包含的面積單位的個數(shù)。

        大觀念2:可以借助圖形與圖形之間、各圖形要素之間的關(guān)系,推導出多邊形的面積公式。

        大觀念3:多邊形面積公式的不同推導過程有著共同的道理,都是將未知轉(zhuǎn)化為已知去解決新問題。

        大觀念4:以上過程發(fā)展了學生的幾何直觀、推理能力和空間觀念等數(shù)學思想。

        教學時,我們不能把學習目標設(shè)定為“掌握多邊形的面積公式,會利用公式計算面積”這么簡單,而應該引導學生通過對平行四邊形、三角形和梯形等多邊形面積公式的自主探究和深入思考,不斷理解面積度量的本質(zhì),持續(xù)感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法,從而實現(xiàn)數(shù)學思想方法層面的“通”與“進”。

        筆者以提煉出的“大觀念”為核心,對“多邊形的面積”單元內(nèi)容進行了結(jié)構(gòu)化重組,將“轉(zhuǎn)化”思想貫穿單元始終,各部分的著力點既前后關(guān)聯(lián)又各有側(cè)重,幫助學生深入理解圖形面積的本質(zhì),即圖形面積就是計算面積單位的個數(shù)。

        一、典型課例1:平行四邊形的面積

        平行四邊形與長方形一樣,其面積的本質(zhì)含義都是“包含的面積單位的個數(shù)”,計算方法也是用“一行的個數(shù)×行數(shù)”。從知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系來看,平行四邊形的面積公式是面積計算的一個關(guān)鍵模型,本節(jié)課形成的“將未知轉(zhuǎn)化為已知去解決新問題”等大觀念對后續(xù)的三角形、梯形、圓形、組合圖形以及不規(guī)則圖形等的面積計算都有著重要的啟示作用。

        為此,平行四邊形面積的教學應突出兩個關(guān)鍵點:一是溝通“數(shù)方格”與“剪拼法”的聯(lián)系,理解“把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形是為了更方便地數(shù)方格”,體會轉(zhuǎn)化的必要性;理解平行四邊形的“底”就是“一行有幾個面積單位”,“高”就是“有幾行”,“底×高”就是“一行的個數(shù)×行數(shù)”,計算出的是“面積單位的個數(shù)”,從而真正建構(gòu)平行四邊形面積的概念。二是聚焦于學生的“真問題”(即多數(shù)學生受長方形面積公式負遷移的影響,最容易產(chǎn)生“鄰邊相乘”的想法),在比較、辨析中理解“底乘高”和“鄰邊相乘”的區(qū)別。將這兩個關(guān)鍵點理解透徹,在后續(xù)計算三角形、梯形等圖形的面積時,學生能夠基于已有知識經(jīng)驗展開自主探索。

        1. 復習長方形的面積公式及推導過程

        師生在交流中形成下圖(見圖1)。

        2. 探究怎樣計算平行四邊形的面積

        學生借助方格紙上的平行四邊形獨立思考,然后全班交流(見圖2)。

        生1:數(shù)方格。把不滿一格的半格都互相拼成整格,一共有15個格(見圖3)。

        生2:剪拼法。沿著高把左側(cè)的三角形“剪下來”,再把這個三角形整體向右移動,拼成了長方形,面積是5×3=15(格)(見圖4)。

        討論:“數(shù)方格”的方法和“剪拼法”有什么區(qū)別和聯(lián)系?

        歸納:平行四邊形里有大半格還有小半格,方格數(shù)起來很不方便;而通過“剪拼法”把平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形之后,小方格都變成整格了,很容易看出“一行有幾個”和“有幾行”,方便數(shù)也方便計算。

        師:看來“轉(zhuǎn)化”還真有必要呀!請大家再想一想,平行四邊形的面積計算其實是什么?

        小結(jié):和長方形一樣,平行四邊形的面積計算本質(zhì)也是數(shù)面積單位的個數(shù)。

        【設(shè)計意圖】“數(shù)方格”也就是數(shù)面積單位,是測量本質(zhì)的直觀體現(xiàn),能有效改正“鄰邊相乘”的錯誤思路。同時,在方格圖里進行割補,能使學生直觀地感受到:只有將圖形這樣變形,才能最方便地數(shù)出它包含了幾個面積單位。

        3. 辨析“剪拼轉(zhuǎn)化”與“推拉轉(zhuǎn)化”的異同

        出示練習:計算下面平行四邊形的面積(見圖5)。

        學生獨立嘗試后,答案大致有兩種:32平方厘米和40平方厘米。

        生1:用“剪拼法”把平行四邊形右邊的三角形剪下來,拼在平行四邊形左邊,就變成了一個長方形。這個長方形的長是8厘米,寬是4厘米,所以面積是32平方厘米。

        教師結(jié)合回答,動態(tài)呈現(xiàn)剪拼的過程(見圖6)。

        生2:我是把平行四邊形“推拉”成一個長方形,再用它的長乘寬(兩個鄰邊相乘),面積是8×5=40(平方厘米)。

        師:哪個答案是正確的?有什么辦法可以驗證?

        生:可以通過方格圖數(shù)一數(shù)這個平行四邊形到底包含多少個面積單位來驗證。

        課件顯示:方格沿著高“剪拼”成寬是4個格的長方形,得到的面積是8×4=32(格),即32平方厘米;而“推拉”成的長方形的寬是5個格,面積是8×5=40(格),即40平方厘米(見圖7)。

        小結(jié):用“剪拼法”把平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形,平行四邊形的底等于長方形的長,高等于長方形的寬,長方形的面積=長×寬,平行四邊形的面積=底×高。

        【設(shè)計意圖】多數(shù)學生受長方形面積公式負遷移的影響,最容易產(chǎn)生“鄰邊相乘”的想法,上述教學聚焦于學生的“真問題”,激發(fā)學生積極思考,并借助“數(shù)方格”明晰“剪拼轉(zhuǎn)化”的道理和“推拉轉(zhuǎn)化”的問題所在。這樣直面學生“真困惑”的追本溯源的數(shù)學活動,針對性很強,也為學生奠定了利用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題的認知基礎(chǔ)。

        二、典型課例2:三角形的面積

        在“三角形的面積”教學中,“合拼法”(即用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形)幾乎是公認的最易于學生理解、掌握的方法。但實際上,如果不是提前看書預習過,通過“再拼上一個完全一樣的三角形”來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法,許多學生是不容易想到的。相比之下,學生由推導平行四邊形面積公式的“剪拼法”遷移到“通過剪拼將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形”卻是不難實現(xiàn)的。另外,由于學生的思維水平有差異,三角形面積公式的推導過程也會各不相同。如果缺少了對這些不同思路與推導過程的比較與歸納,學生是很難深刻理解上述“公認的”推導過程的優(yōu)越性的,更不會真正認識到:公式中的“÷2”不僅代表著“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”,更代表著“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思維方法。

        因此,在教學中教師應當少一些“暗示”,多給學生一些自主探究和與同伴交流的空間,繼而在多種方法的比較、討論中,促使學生形成“三角形面積公式的不同推導過程有著共同的道理,都是將未知轉(zhuǎn)化為已知”的大觀念。

        1. 喚醒經(jīng)驗,引導思考

        師:想一想,平行四邊形的面積公式是怎么推導出來的?如果給你一個新的圖形應該怎么考慮?

        師:(出示三角形)怎樣計算三角形的面積?(板書:三角形的面積)

        【設(shè)計意圖】數(shù)學最重要的是教學生學會思考。上述環(huán)節(jié)把平行四邊形和三角形的面積公式推導聯(lián)系起來,啟發(fā)學生做類比聯(lián)想,“將未知轉(zhuǎn)化為已知”這個“大觀念”自然凸顯。

        2. 自主探索,推導公式

        (1)自主探索

        學生借助“探究學習單”獨立思考,教師巡視指導。

        (2)全班交流

        ① 探討用兩個三角形推導的方法。

        生:我又“復制”了一個三角形,用這兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形,它們的底相等,高也相等,所以三角形的面積=底×高÷2(見圖8)。

        師:想一想,“底×高”表示什么?

        生:“底×高”是平行四邊形的面積。

        師:能解釋一下為什么“÷2”嗎?

        生:因為“底×高”是兩個三角形的面積,所以要“÷2”。

        ②探討用一個三角形推導的方法。

        生1:沿著中點的這條線把上面的小三角形剪下來,與下面的梯形拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底=三角形的底,高=三角形高的一半,所以三角形的面積=底×高÷2(見圖9)。

        師:誰聽懂了?為什么要“÷2”?

        生2:因為平行四邊形的高是三角形高的一半,所以平行四邊形的面積=底×(高÷2),括號去掉,就是底×高÷2。

        生3:我覺得開始時先不要去掉“高÷2”的小括號,要不然不容易懂。

        課件展示其他推導方法(見圖10):

        (3)歸納方法

        師:想一想,這些不同的方法之間有聯(lián)系嗎?它們的共同點是什么?

        生1:都是把三角形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形。

        生2:都是把未知轉(zhuǎn)化成已知。

        師:看來“轉(zhuǎn)化”真是一種重要的數(shù)學方法!在這么多“轉(zhuǎn)化”的方法中,你更喜歡哪一種?

        生3:我喜歡用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法,比較簡便。

        生4:我喜歡剪拼法。

        師:我們知道長方形和平行四邊形的面積計算的是面積單位的個數(shù),那么三角形的面積計算的又是什么呢?

        生:也是面積單位的個數(shù)。

        【設(shè)計意圖】經(jīng)過對三角形面積公式不同推導方法的比較,學生會發(fā)現(xiàn)“不同方法背后有共同的道理”,即都是將未知轉(zhuǎn)化為已知,數(shù)學“大觀念”逐漸深入人心。

        三、典型課例3:梯形的面積

        在推導梯形面積公式之前,學生已經(jīng)學會了兩種轉(zhuǎn)化方法—“剪拼法”和“合拼法”,積累了大量的經(jīng)驗。盡管從模型建構(gòu)的角度看,“梯形的面積”屬于一節(jié)新授課,但從學生已有的學習經(jīng)驗遷移的角度看,它也可以看作一節(jié)圖形面積公式推導的練習課。因此,教學中教師應充分“放手”,鼓勵學生用多種方法推導梯形面積公式,進而在比較、辨析中明白不同方法背后共同的道理,深入理解和形成相關(guān)的數(shù)學“大觀念”。

        1. 回顧舊知,提出設(shè)想

        (1)回顧推導過程

        課件演示:回顧平行四邊形、三角形面積公式的推導過程。

        提出研究問題:怎樣求梯形的面積?

        (2)鼓勵學生提出設(shè)想

        生:運用“剪拼法”和“合拼法”,是否也可以求出梯形的面積?

        【設(shè)計意圖】對圖形面積公式推導方法進行復習梳理,啟發(fā)學生進行類比聯(lián)想,鼓勵學生提出個人的想法和見解。

        2. 自主探索,交流分享

        學生自主探究后,全班交流。

        生1:用兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形(見圖11),平行四邊形的高=梯形的高,平行四邊形的底=梯形的(上底+下底),根據(jù)“平行四邊形的面積=底×高”推導出“梯形的面積=(上底+下底)×高÷2”。

        生2:沿著梯形兩個腰的中點連線并剪開,拼成一個平行四邊形(見圖12)。平行四邊形的面積=梯形的面積,平行四邊形的底=梯形的(上底+下底),平行四邊形的高=梯形的高÷2,所以梯形的面積=(上底+下底)×高÷2。

        生3:沿著梯形的對角畫一條線,把它分成兩個三角形(見圖13),左邊三角形的面積=上底×高÷2,右邊三角形的面積=下底×高÷2,所以梯形的面積=上底×高÷2 +下底×高÷2 =(上底+下底)×高÷2。

        在交流分享環(huán)節(jié),教師鼓勵學生結(jié)合直觀圖示解釋自己的推導過程,并緊密圍繞“為什么除以2”這一核心問題,讓學生在多種方法的對比、辨析中,理解不同方法背后共同的道理,深入體會“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的思想方法。

        【設(shè)計意圖】正是由于教師的充分信任、敢于“放手”,學生“火熱的思考”被激發(fā),創(chuàng)新的火花不斷迸發(fā)。在交流環(huán)節(jié),教師鼓勵學生“說理”,借助圖示解釋面積公式的推導過程,把推理意識的培養(yǎng)落在了實處。

        3. 回顧反思,積累經(jīng)驗

        師:回顧一下梯形面積公式的推導過程,你有哪些收獲?

        師生交流,總結(jié)梯形面積公式推導的方法及學習經(jīng)驗。

        師:想一想,梯形面積公式和平行四邊形、三角形面積公式之間有什么聯(lián)系嗎?

        生1:它們都是將未知轉(zhuǎn)化為已知。

        生2:它們計算的都是面積單位的個數(shù)。

        ……

        【設(shè)計意圖】讓學生“回頭看走過的路”,并把幾個多邊形的面積公式聯(lián)系起來思考,有助于將各種相關(guān)概念和理解聯(lián)系成為一個連貫的整體,形成結(jié)構(gòu)性認識。

        (作者單位:北京亦莊實驗小學)

        責任編輯:趙繼瑩

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