周本圣

（寧波市北侖區(qū)華山小學(xué)，浙江 寧波 315800）

三角形的基本度量性質(zhì)之一是：三角形的面積等于底乘高的積的一半。這條性質(zhì)涉及到三角形的底和高，而對(duì)小學(xué)生來(lái)說，識(shí)高、畫高是學(xué)習(xí)三角形面積的必由之路[1]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2021 版）》對(duì)包括畫高在內(nèi)的幾何作圖有著明確要求——“掌握測(cè)量、識(shí)圖和畫圖的基本方法”[2]。

小學(xué)生在三角形的識(shí)高、畫高方面存在的困難是什么？給三角形畫高時(shí)會(huì)出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？其背后有著怎樣的深層次的原因？有沒有方法可以幫助學(xué)生突破畫高難點(diǎn)呢？基于這些問題的思考而開展研究。

一、教材分析

在課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下的教材內(nèi)容的呈現(xiàn)，是師、生為之教、學(xué)的具體路徑。不同版本的教材對(duì)同一內(nèi)容的處理也是各具特色，這里以北京師范大學(xué)出版社（以下簡(jiǎn)稱：北師版）與人民教育出版社[3]（以下簡(jiǎn)稱：人教版）的兩版教材為例。

北師版給出了從“說一說”到“認(rèn)一認(rèn)”，再到“畫一畫”的梯度學(xué)習(xí)路徑。

人教版將認(rèn)識(shí)高放在“三角形的特性”第一課時(shí)里學(xué)習(xí)。

從教材編排來(lái)看，北師版聚焦高的內(nèi)涵，是在概念指導(dǎo)下的多種圖形感知，引導(dǎo)學(xué)生掌握三角形、梯形及平行四邊形的高的畫法。人教版則是在認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形的高的基礎(chǔ)上進(jìn)一步聚焦三角形的高，引導(dǎo)學(xué)生掌握銳角、直角以及鈍角三角形長(zhǎng)邊上的高的畫法。

二、學(xué)生認(rèn)知

調(diào)查問卷主要由三部分組成，問卷一：關(guān)于垂線；問卷二：關(guān)于圖形的高；問卷三：新方法畫高。調(diào)查對(duì)象來(lái)自寧波市北侖區(qū)華山小學(xué)四年級(jí)一個(gè)班（43 人）、五年級(jí)三個(gè)班（共125 人）的學(xué)生。

（一）調(diào)查研究總的目的

1.幫助學(xué)生掌握基本知識(shí)與技能。包括：概念、點(diǎn)線關(guān)系、有效作高等。

2.幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。包括：作高錯(cuò)誤率最高的是哪幾種圖形？如何避免？“基本圖形”與“非基本圖形”在畫高方面有何異同？基本圖形是指底邊在下方且處于水平狀態(tài)的圖形。

3.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。包括：高與底的相互對(duì)應(yīng)，畫高與畫垂線之間的轉(zhuǎn)化等。

（二）問卷內(nèi)容及相關(guān)分析

卷1：你能分別過下面的點(diǎn)，畫出相應(yīng)直線的垂線嗎？

1.目的：

（1）了解學(xué)生對(duì)垂線的理解以及畫垂線方法的掌握程度。

（2）變換點(diǎn)線方位（包括“點(diǎn)在線上”和“點(diǎn)在線外”），幫助學(xué)生確定自己的易錯(cuò)點(diǎn)。

2.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

3.典型問題如下：

4.分析結(jié)論：“點(diǎn)在線上”很少出錯(cuò)，“點(diǎn)在線外”容易出錯(cuò)。錯(cuò)因：一是三角尺的一條直角邊與已知直線重合后在移動(dòng)中出現(xiàn)偏差；二是先對(duì)準(zhǔn)已知點(diǎn)，然后移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺時(shí)未顧及邊與線的重合。

卷2：你能分別過下面的A 點(diǎn)，畫出直線l 的垂線嗎？

你能分別畫出下面圖形指定底邊上的高嗎？

1.目的：（1）在“一點(diǎn)兩線”和“一點(diǎn)三線”中，了解學(xué)生對(duì)點(diǎn)線關(guān)系的把握。（2）兩題中的圖形在結(jié)構(gòu)上一脈相承，讓學(xué)生感受規(guī)則平面圖形高的本質(zhì)就是點(diǎn)到直線的距離。并促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)會(huì)底與高的相互對(duì)應(yīng)。

為了便于分析，我們將第一題和第二題分開討論。

第一題：

2.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

3.典型錯(cuò)誤如下：

4.訪談錯(cuò)因：（1）線條多，受干擾，一點(diǎn)三線比一點(diǎn)兩線的錯(cuò)誤明顯更多。（2）認(rèn)為高總是“自上而下”畫出來(lái)的。（3）尺子擺放錯(cuò)誤，無(wú)法完成“顧點(diǎn)”又“顧線”。

第二題：

2.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

3.典型問題如下：

4.分析結(jié)論：（1）四年級(jí)學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)過三角形畫高，錯(cuò)誤率遠(yuǎn)高于五年級(jí)。（2）頂點(diǎn)與底邊不對(duì)應(yīng)尤為突出，這與學(xué)生的空間思維、對(duì)概念的理解、以及工具使用的方法都有關(guān)系。

三、卷1、卷2 研究總結(jié)

（一）小學(xué)生“畫高”難在哪？

1.對(duì)高的概念理解不到位。具體表現(xiàn)：頂點(diǎn)與底邊不能兼顧、借助平行線畫高、讀不懂題意、受多線條干擾、非基本圖形畫高錯(cuò)誤率明顯高于基本圖形、將高畫成直線等。

2.技能不嫻熟。具體表現(xiàn)：高與底不垂直，畫高時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)紙片或扭動(dòng)身體，三角尺擺放錯(cuò)誤等。

3.活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不足。具體表現(xiàn)：不標(biāo)直角符號(hào)，畫垂線時(shí)“點(diǎn)在線外”容易出錯(cuò)，顧點(diǎn)不顧線、顧線不顧點(diǎn)等。

（二）教師教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意哪些方面？

1.注重“高”的概念解讀?，F(xiàn)行教材給出的定義基本類似于“從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉龅拇怪本€段就是高”，這樣的定義會(huì)給學(xué)生帶來(lái)一定的困惑，因?yàn)閷W(xué)生眼里的“對(duì)邊”是一條線段，無(wú)法滿足“可延長(zhǎng)”，所以鈍角三角形的外高就無(wú)法畫出。那么，如何處理呢？

先看以下兩個(gè)定義：

“高線：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€引的垂線段或垂線?！保ā稊?shù)學(xué)大辭典》，王元）

“三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊所在直線的垂線段叫做三角形的高?！保ā镀矫鎺缀涡侣贰?，張景中）

在這兩個(gè)定義中，都給出了“對(duì)邊所在直線”的說法，學(xué)生理解了這一點(diǎn)之后，便可接受和使用輔助線。所以，教師在教學(xué)時(shí)要結(jié)合實(shí)際情況，適時(shí)補(bǔ)充“所在直線”。

2.注重與“高”相關(guān)概念的解讀。頂點(diǎn)、對(duì)邊、直線、垂直、垂線段、垂足、斜線等都是與高相關(guān)的概念。例如頂點(diǎn)、對(duì)邊與直線，是引發(fā)高的前概念；垂直、垂線段、垂足是高的內(nèi)隱特征與外在表征的統(tǒng)一；而斜線則是理解高的很好的對(duì)比概念。

3.明確高與底的對(duì)應(yīng)特征。三角形的高與底是相互對(duì)應(yīng)的。明白這個(gè)道理是有效區(qū)分垂直高度（高垂直于底）與鉛直高度（高垂直于水平線）的關(guān)鍵。學(xué)生出現(xiàn)總是“豎著”來(lái)畫高，是受到鉛直高度的負(fù)遷移。

四、對(duì)比研究

卷3：你能分別畫出下面圖形指定底邊上的高嗎？

1.目的：卷3 中的圖形與卷2 第二題一致，區(qū)別在于指定的底邊被延長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)被加粗，幫助學(xué)生排除干擾，突出點(diǎn)線關(guān)系，突破難點(diǎn)，形成方法，強(qiáng)化畫高技能。

2.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

3.分析結(jié)論：搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生在作高之前，將指定底邊向兩端延長(zhǎng)，同時(shí)加粗與底邊對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，以此突出點(diǎn)線關(guān)系，可以大幅度降低畫高錯(cuò)誤率。

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果展望

基于以上過程與結(jié)果的分析，本研究有如下展望：

第一，教師盡可能多地為學(xué)生提供豐富的有層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)，回到師生共長(zhǎng)的“起點(diǎn)”處[4]，使學(xué)生充分理解高的概念，讓動(dòng)手操作與空間思維在起點(diǎn)處交融。

第二，能潛移默化地滲透數(shù)學(xué)思想，如對(duì)應(yīng)思想、轉(zhuǎn)化思想等。

第三，利用“底邊延長(zhǎng)、頂點(diǎn)加粗”的方法，確實(shí)可以很大程度降低畫高錯(cuò)誤率，但這畢竟只是一個(gè)輔助手段，還需要學(xué)生不斷積累經(jīng)驗(yàn)，理解本質(zhì)，從而擺脫輔助。