袁 航

（寧波市海曙區(qū)古林鎮(zhèn)布政小學(xué)，浙江 寧波 315100）

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，教師只需單純地對學(xué)生進行知識“灌溉”，沒有充分重視和發(fā)揮學(xué)生自主的思考，不利于學(xué)生思維的健康發(fā)展。隨著新課程改革的不斷推進，在我們?nèi)粘５臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生正確且合理的思考方式凸顯出越來越重要的作用[1]，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)發(fā)展的必經(jīng)之路。

在數(shù)學(xué)教學(xué)課上，數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、特殊與一般的思想是比較常見的[2]，而有限與無限的思想，教師往往覺得只是初中甚至是高中才會涉及的數(shù)學(xué)思想，很少出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中。針對這一現(xiàn)象，本文對小學(xué)中關(guān)于圖形教學(xué)中的無限思想進行剖析，認為無限思想與空間圖形的教學(xué)可以完美融合。

一、無限思想的認識

無限，又稱“無窮”，具體可表述為沒有限度、無始無終、無邊無際、不可窮盡、有始無終、無窮大、無窮小、無窮集合等，僅僅是個定性的概念。

回顧數(shù)學(xué)的演變與紛爭的歷史，是人類從有限走向無限的認識歷程[1]。無限是人類的在數(shù)學(xué)上最重要的對象，它從根本上改變了數(shù)學(xué)的全貌，使數(shù)學(xué)有了質(zhì)的飛躍和發(fā)展，其結(jié)構(gòu)體系日趨精密與完善。例如《莊子·天下篇》曾這樣描述“一尺之棰，日取其半，萬世不絕”。這種思想是從量的角度，以形象然而樸素的語言，刻劃了無限可分性。它正是現(xiàn)代極限概念的萌芽狀態(tài)[2]。雖然人們受當(dāng)時歷史條件的限制，但是古人已經(jīng)開始研究數(shù)學(xué)與“無限問題”的內(nèi)在聯(lián)系，說明了“無限問題”成為數(shù)學(xué)的研究對象是由客觀規(guī)律決定的，最終把它納入數(shù)學(xué)研究范疇是不可避免的。如果將無限思想在空間圖形的教學(xué)中完美融合，將起到事半功倍的效果！

二、無限思想在圖形教學(xué)中的應(yīng)用

（一）無限平移，形成空間

在空間幾何的學(xué)習(xí)中，教師最強調(diào)一點就是要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?？臻g想象能力是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，同時也是難點之一。首先對于建立起整個立體空間，就需要發(fā)揮無限的想象。我們都知道，點是空間幾何的一個基點，有了這個基點，就能得到線，而通過確定方向無限平移便能得到了直線，進而又通過直線確定方向無限平移得到了面，面朝著某個方向（或相反方向）無限平移就成為了立體空間。

射線：一個點向某個方向無限移動形成的軌跡。

直線：這個點再朝著反方向無限移動形成的軌跡。

面：直線延某個方向（或相反方向）無限移動的軌跡。方向不能與直線的延長方向相同。

體：面延某個方向（或相反方向）無限移動的軌跡。方向不能與面的延伸方向相同。

在空間幾個學(xué)習(xí)中，最基礎(chǔ)的空間圖形都是通過無限移動所建構(gòu)起來的，那么可想而知，無限思想在空間幾何之后的應(yīng)用是有多么廣泛。通過這樣的一種呈現(xiàn)方式，很容易在學(xué)生在腦海里面能夠建構(gòu)起一個完整的一維到二維、二維到三維的立體空間。

（二）無限分割，論證公式

無限思想在平面圖形的面積公式推導(dǎo)中也起到了關(guān)鍵性的作用。例如在教學(xué)平行四邊形面積的時候，課堂中我們常常會利用將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，首先我們研究的是兩個問題，第一為何轉(zhuǎn)化為長方形；第二如何進行轉(zhuǎn)化。第一點學(xué)生很好理解，是因為長方形的面積公式我們已經(jīng)知道了，所以要將未知的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，那么轉(zhuǎn)化的方法，無非就是剪一剪、拼一拼。

這是通過學(xué)生操作，所獲得的知識經(jīng)驗。這是通過表象操作獲得的結(jié)論，其實從數(shù)學(xué)的角度還能從無限思想入手，讓學(xué)生感知為何平行四邊形的面積公式與長方形的面積公式是一致的。以下面的圖1 這個平行四邊形為例。

圖1

首先將這個平行四邊形進行分割，分成4個高為1 的平行四邊形（等底等高），然后分別做高，分割成如圖1 的4 個長方形與8 個小三角形。此時平行四邊形的面積=4 個長方形的面積+8 個小三角形的面積。

（這里的4 就相當(dāng)于平行四邊形的高）

然后將這個平行四邊形再細分，分成8 個高為0.5 的平行四邊形（等底等高），然后分別做高，分割成如圖2 的8 個長方形與16 個小三角形。這時候紅色的面積比黃色的面積小。也就是越細分，長方形面積之和越接近平行四邊形的面積。此時平行四邊形的面積=8 個長方形的面積+16 個小三角形的面積。

圖2

（這里的4 就相當(dāng)于平行四邊形的高）

接著思考：將這個平行四邊形再進行分割，分成16 個高為0.25 的平行四邊形。此時的面積又會如何？再繼續(xù)分無限分割呢？無限分割的情況下如圖4，這時候會發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積就會無限接近與這無限個長方形的面積之和。而這些長方形的面積則就能轉(zhuǎn)化為c×4，此時無限分割，c 無限接近于6，所以在無限分割的情況下，

圖3

圖4

通過這種無限思想的滲透，讓學(xué)生了解感知平行四邊形和長方形之間本質(zhì)的相似，所以它們之間的面積公式才會是一致的。因為平行四邊形就如同許許多多個細細小小的長方形疊加而成。

除了平行四邊形的面積滲透了無限的思想，圓的面積亦是如此。在教學(xué)圓的面積的時候，學(xué)生通過剪一剪拼一拼的過程去體會，可以通過將圓分割成幾個小扇形然后拼成接近長方形的圖案。圖5 中將圓進行8 等分，并拼組得到如圖的一個類似平行四邊形的圖形。接著繼續(xù)細分。圖6 中將圓進行16等分，并拼組得到如何的一個類似平行四邊形（長方形）的圖形，可以引導(dǎo)學(xué)生思考如果再細分呢？

圖5

圖6

這時不僅可以通過操作體會，更應(yīng)該配合幾何畫板的演示，讓學(xué)生觀察當(dāng)圓分割的扇形越來越多時，形狀就越來越接近長方形。這里就可以滲透一個無限分割的思想，通過無限分割得到這些小扇形拼成了的圖形無限接近于長方形。

通過分割和拼組的過程，我們知道了，長方形的寬就是圓的半徑（r），長方形的長就是圓的周長的一半（rπ）。所以圓的面積=長方形的面積=πr2，見下圖。

（三）無限變化，突破難點

在平面圖形面積的學(xué)習(xí)當(dāng)中，會遇到很多疑惑的問題，比如：學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的時，會出現(xiàn)一個疑問：將平行四邊形拉伸成一個長方形，面積是否變化。就學(xué)生的認知水平來說，他們很難理解為什么拉了一下面積會發(fā)生變化，看不出是大了還是小了，這時候如果能配合多媒體演示，滲透無限變化的思想，這樣學(xué)生對于這平行四邊形面積的認識將會非常深刻、非常全面！

從無限變化的層面進行演示，如下:

通過無限的拉伸變化發(fā)現(xiàn)，平行四邊形進行拉伸時，面積是會發(fā)生變化的。而且當(dāng)通過這種拉伸的比較，能讓學(xué)生感受到面積的一個變化的過程，并很容易明白當(dāng)平行四邊形拉伸至長方形時面積最大。

（四）無限逼近，加深辨認

在學(xué)習(xí)圓的時候，往往會碰到這樣一個結(jié)論，圓內(nèi)最長的線段是直徑，碰到這個結(jié)論時，不管是教師還是學(xué)生似乎都在默認，因為看起來就是直徑長，那么，如何用數(shù)學(xué)的語言去證明呢？這時就可以借助無限思想去解釋。

線段a、b、c（且a＜b＜c）是圓里面的任意三條線段。圖7，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，我們可以得到兩條虛線相加大于a，而兩條虛線就是半徑，則兩條虛線之和就相當(dāng)于是直徑的長度，所以就有了d=2r＞a，而圖8、圖9 中線段b、c與直徑比較時，也能同理得到：d=2r＞b，d=2r＞c。那么，隨著線段越來越接近直徑，直到無限逼近直徑（卻不是直徑），仍然能夠根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊來得到兩條半徑之和大于這條線段，所以得到了結(jié)論：圓內(nèi)最長的線段是直徑。學(xué)生通過這樣的無限逼近的一個演示加想象，能更加深入理解了這個結(jié)論為何成立。

圖7

圖8

圖9

無限思想是人類文化寶庫中的瑰寶，也是學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)[3]。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊含著豐富的無限思想的素材。而教師在教學(xué)中要時刻注意挖掘，抓住適當(dāng)時機，進行這種思想的滲透，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展、數(shù)學(xué)能力的提高提供廣闊的空間，同時也為他們未來的可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。