梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

（2019年度廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教科研項(xiàng)目《以技能比賽為導(dǎo)向的建筑室內(nèi)設(shè)計(jì)專業(yè)課程體系建設(shè)研究》

項(xiàng)目合同編號：桂工業(yè)院科研2019015KY015）

（2021年度廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目《虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在廣西少數(shù)民族室內(nèi)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究》

項(xiàng)目合同編號：2021KY1264）

摘要：本文總結(jié)了量子力學(xué)課本或課堂很少提到但初學(xué)者應(yīng)該知道的知識點(diǎn)，讓量子力學(xué)學(xué)習(xí)者能避開這些知識盲點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：量子力學(xué);秘密;教學(xué)

一、前言

客觀說來，從頭開始學(xué)習(xí)量子力學(xué)確實(shí)是一種非常不同的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。通常來說，那些沒有跨過某個(gè)障礙的學(xué)生會感到痛苦和失望。而有些人很快就完成了啟動的過程，感受到了量子力學(xué)的內(nèi)在邏輯和美麗，在學(xué)習(xí)過程中得到了積極的反饋，把學(xué)習(xí)當(dāng)作一種享受。然而，很多學(xué)生很長一段時(shí)間都無法完成這一轉(zhuǎn)變，總是在瑣碎、困惑和挫折的泥濘中掙扎。工科學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)，容易進(jìn)入到一些誤區(qū)，是因?yàn)榇嬖诹孔恿W(xué)課本很少提到但初學(xué)者應(yīng)該知道的知識點(diǎn)。為此，本文介紹了本文總結(jié)了這些知識點(diǎn)，讓量子力學(xué)學(xué)習(xí)者能順利入門。

二、量子力學(xué)中的一些秘密

1.波粒二象性的本質(zhì)

波粒二象性作為量子力學(xué)的基礎(chǔ)，就是讓人們有權(quán)利隨時(shí)使用波或粒子去解釋問題。比如勢壘貫穿，沒法利用粒子的觀點(diǎn)，那就用波解釋，波可以衍射，此時(shí)波只有頻率，沒有能量。比如倍頻晶體，剛開始把激光看作是粒子，為了遵守動量守恒和能量守恒，碰撞電子后反射回來。反射回來后把光子看作是波，這波和后來的波疊加，疊加后的波看作是粒子，所以能量加倍，頻率加倍?？傊?，玻璃二象性讓人們有權(quán)利是使用波還是粒子來解釋，隨時(shí)可以切換。

光的波粒性質(zhì)并不代表光的真實(shí)形式，從不同的視角得出不同的結(jié)論。例如：對于金字塔，從前面看它是一個(gè)三角形，但從上面看它像一個(gè)四邊形。這兩種形狀都是金字塔的一部分，但由于視角不同，答案也不同。然而，三角形和四邊形都不能說是一個(gè)或兩個(gè)形狀都是金字塔。事實(shí)上，金字塔的形狀遠(yuǎn)比這兩種形狀復(fù)雜。光也是如此。波粒特性是從光的不同角度獲得的特性，但它們不能表示光的實(shí)際形狀。

如果按照經(jīng)典物理學(xué)的假設(shè)，“波粒二象性”是違反科學(xué)的。但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是存在的，所以拋棄另一個(gè)重要的“常識”。這可能是一個(gè)難以接受的結(jié)論：粒子是一個(gè)偽概念。粒子的概念并不存在，測量并沒有導(dǎo)致嚴(yán)格意義上的波函數(shù)崩潰，而是概率峰值崩潰到一個(gè)范圍內(nèi)，給了“粒子”的錯(cuò)覺。粒子的所有行為都可以用一個(gè)特定的波函數(shù)值來描述。

在研究未知事物時(shí)，最忌諱的是強(qiáng)行使用已知的事物來連接和理解，正如盲人摸象。在理解微觀粒子（光子、原子和電子）的方式與盲人觸摸大象沒有什么不同。因此，無論如何理解“水波/聲波”是一種粒子，或“小球”以波的形式反射和衍射，它都是不可理解的。從波粒二象性的角度理解微觀事物（為了避免語義學(xué)引起的誤解，它不被稱為微觀粒子），無非是：1。事物是一個(gè)獨(dú)立的單位，由許多事物組成的群體不是連續(xù)的。2.這種物質(zhì)的許多組表現(xiàn)出衍射、干涉和其它性質(zhì)。不需要理解“為什么大象的耳朵像扇子”，只要記住“大象的耳朵像扇子”這樣的信息就可以幫助識別大象。

2.量子力學(xué)的形式

相對波動力學(xué)，矩陣力學(xué)更能反應(yīng)量子力學(xué)的本質(zhì)，是因?yàn)榫仃嚵W(xué)更能體現(xiàn)對易關(guān)系。波動力學(xué)的優(yōu)勢在于薛定諤方程容易被人接受和使用。路徑積分對最優(yōu)化結(jié)果的取值有很大關(guān)聯(lián)，而研究量子力學(xué)需要掌握能量躍變的機(jī)理，則需要路徑積分作為理論指導(dǎo)。這樣子可以知道量子運(yùn)動的概率，使得整個(gè)量子的探測更加的準(zhǔn)確。海森堡圖的優(yōu)點(diǎn)是可以寫出動力學(xué)方程，而關(guān)于狀態(tài)向量的討論并不多。薛定諤圖的優(yōu)點(diǎn)是只需要討論狀態(tài)向量，所有的機(jī)械量都可以以確定性算子的形式參與計(jì)算。至于交互場景，將哈密頓量分成兩部分的操作，對于近似計(jì)算，首選該方法。

事實(shí)上，量子力學(xué)的形式還很多。九種形式的非相對論量子力學(xué)是波形、矩陣形式、路徑積分形式、相空間形式、密度矩陣形式、二次量子化形式、變分形式、導(dǎo)頻波形和哈密頓-雅可比形式。文中還介紹了多世界解釋理論和交易解釋理論?？偟膩碚f，這些形式在數(shù)學(xué)上和概念上是不同的，但它們對實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出了完全相同的預(yù)測。

3.量子場論的脈絡(luò)

量子場論的特征是場的量子化、諾特定律、躍遷概率。場的量子化需要泊松括號;諾特定理要求洛倫茲群、龐加萊群等群;躍遷概率需要路徑積分、S矩陣、重整化。具體的脈絡(luò)如下。1） 洛倫茲變換場最明顯的特征。這也是狹義相對論的基礎(chǔ)。為了反映量子力學(xué)的相對論效應(yīng)，可以引入洛倫茲變換。2） 拉普拉斯測度與拉普拉斯測度，有一切。因?yàn)樵谖⒂^物理學(xué)中，只有動能和勢能，所以只有動能和勢能的轉(zhuǎn)換，當(dāng)然也包括自旋的能量轉(zhuǎn)換（但它反映在角動量中）。所以動能減去勢能一定是一個(gè)值得關(guān)注的量。哈密頓量和拉普拉斯值是等價(jià)的，它只不過是一種表示變換（勒讓德變換），使自變量成為坐標(biāo)和動量。3） 最小作用原理可以導(dǎo)出規(guī)則的量子化條件。當(dāng)然，有很多方法可以導(dǎo)出正則量化條件。4） 泊松括號正則量子化條件的數(shù)學(xué)形式。5）場的量子化是最徹底的量子化，其中粒子可以看作是場的激發(fā)。粒子對應(yīng)于場。由于相對論的時(shí)空是連續(xù)的，而量子力學(xué)的時(shí)空是量子化的，這就導(dǎo)致了所謂的“相對論與量子力學(xué)不相容”的悖論。當(dāng)前的解決方案是重新規(guī)范化。6） 規(guī)范場理論所有的作用都是粒子場的作用。物質(zhì)的組成是費(fèi)米子場，交換作用是玻色子場。玻色子和費(fèi)米子的躍遷是由鬼場完成的。許多效應(yīng)是對稱的，所以規(guī)范場理論更多的是李群、置換群等，它們反過來又使用流形的知識（因?yàn)槔钊菏且环N特殊的流形）。7） 粒子與粒子的作用是場的作用，與宏觀碰撞相對應(yīng)?；玖孔恿W(xué)介紹散射并討論粒子之間的相互作用。它讓人覺得散射的效果不是很好。然而，實(shí)際上，量子場論分散了一切。8） 散射量子場論散射，基于時(shí)空和諧，基于場的量子化。散射分為彈性散射和非彈性散射。量子場論的優(yōu)點(diǎn)在于非彈性散射。9） S矩陣反映了散射結(jié)果的矩陣，可用于計(jì)算轉(zhuǎn)移概率和選擇規(guī)則。到目前為止，量子場論的目的已經(jīng)實(shí)現(xiàn)。推導(dǎo)S矩陣的方法可以是正則量化方法和路徑積分方法。前者可以與經(jīng)典方法相比，后者更自然（得益于費(fèi)曼非凡的思維）。10） 復(fù)雜的計(jì)算量子場論的計(jì)算非常復(fù)雜，從四維時(shí)空（因此引入了Dalombot算符）、微擾（多體問題）、非線性碰撞（自能、負(fù)能、躍遷）綜合而來。因此，目前只能計(jì)算一些簡單的電磁場，其它場的影響不大。

4.量子力學(xué)的教學(xué)

在教學(xué)過程中，優(yōu)秀教師會注重現(xiàn)象描述和理論分析。典型的方法是從簡單具體的例子中得出結(jié)論，然后對結(jié)論進(jìn)行歸納，指出其適用范圍，并嘗試用簡單的高等數(shù)學(xué)進(jìn)行計(jì)算。例如，為了建立薛定諤方程，首先尋求自由粒子的狀態(tài)函數(shù)是如何隨時(shí)間演化的，然后根據(jù)該規(guī)則對其進(jìn)行推廣。注重基本的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)揮數(shù)學(xué)思維在物理思維中的示范作用。仍然需要必要的數(shù)學(xué)證明，必須相信數(shù)學(xué)推理的正確性。例如，量子力學(xué)的一些基本原理的介紹，如量子力學(xué)的算符規(guī)則的介紹，在一般教科書中是以假設(shè)的形式介紹的，這使學(xué)生感到非常牽強(qiáng)，從而對整個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生負(fù)面影響。對于這些簡單且非常關(guān)鍵的知識點(diǎn)，必須使用基本的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。另一個(gè)例子是求解無限深勢阱的問題。由于求解的數(shù)學(xué)方法和過程相對簡單，因此有必要掌握整個(gè)過程，并獲得其歸一化波函數(shù)和相應(yīng)的分離能量值。

牛頓力學(xué)在內(nèi)的經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限，優(yōu)秀的教師找到盡可能多的“經(jīng)典對應(yīng)”將有助于正確理解量子力學(xué)的物理圖景。光的粒子性質(zhì)由光電效應(yīng)、康普頓散射和光子的引力紅移（或紫移）解釋，光的粒子性質(zhì)由光的單縫（雙縫）衍射（干涉）和x射線在晶體表面的衍射解釋。波的性質(zhì)，學(xué)生可以輕松掌握光的波粒二象性;從統(tǒng)一性原理理解微觀粒子和光子也具有波粒二象性;然后通過類比光的行為來理解微觀粒子的行為。例如，類似于光子的行為，由描述光子（電磁場）的波函數(shù)E的疊加而來。同時(shí)，闡明了量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)在概念、概念和方法上的區(qū)別和聯(lián)系。例如，量子理論的創(chuàng)立破壞了牛頓力學(xué)的確定性觀點(diǎn)，取而代之的是統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)。例如，與經(jīng)典力學(xué)不同，經(jīng)典力學(xué)使用勢向量和速度來描述物體的狀態(tài)，量子力學(xué)使用波函數(shù)來描述系統(tǒng)的狀態(tài)。經(jīng)典力學(xué)用牛頓第二定律來描述狀態(tài)變化，而量子力學(xué)則用薛定諤方程來描述狀態(tài)變化。

在講解過程中，優(yōu)秀的教師會盡量聯(lián)系實(shí)際，幫助學(xué)生形象思維。例如，“物質(zhì)波”概念的輔助圖像可以取自電子雙縫衍射圖像，并且電子波類似于光波。由于學(xué)生熟悉光的波粒二象性，很容易將物質(zhì)波視為具體的。然后，光波以各種可能的方式通過雙縫到達(dá)觀察屏幕，模擬電子波的行為，以了解屏幕上電子波強(qiáng)度的強(qiáng)度分布（或概率分布）。

5.量子力學(xué)的教材

通常，所有初等量子力學(xué)教科書由三個(gè)基本部分組成。第一部分是關(guān)于粒子的波粒二象性。本部分主要分析人類是如何認(rèn)識到微觀粒子具有波粒二象性的，以便初學(xué)者理解為什么微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律不同于宏觀物體。第二部分是量子力學(xué)的基本原理。這是整本書的核心內(nèi)容。學(xué)習(xí)這一部分，要注意把握原則的表現(xiàn)形式和內(nèi)容。這些原理的內(nèi)容包括：微觀狀態(tài)原理、力學(xué)量原理、運(yùn)動方程原理和各向同性原理。原則的表達(dá)形式是指上述原則可以用不同的表述和場景來描述。主要是為了弄清楚什么是外觀以及為什么會有不同的外觀。第三部分是運(yùn)用基本原理解決物理實(shí)際問題的基本方法。一般來說，量子力學(xué)解決兩類問題，即粒子在有限空間中的運(yùn)動和無限空間中的運(yùn)動。前者是一個(gè)束縛態(tài)問題。主要是平穩(wěn)問題;后者是一個(gè)散射問題。上述三個(gè)部分的內(nèi)容具有內(nèi)在聯(lián)系。粒子的波粒二象性是事實(shí)的基礎(chǔ)，量子力學(xué)的基本原理是核心，如何學(xué)會運(yùn)用基本原理解決基礎(chǔ)物理中的實(shí)際問題是關(guān)鍵。如果能對這三個(gè)部分有一個(gè)連貫的理解，并能用簡潔的語言準(zhǔn)確地描述它們，那么就可以說掌握了量子力學(xué)的整體框架。高等量子力學(xué)和量子場論的教材有類似情況，限于篇幅，就不再一一贅述。

6.其它一些秘密

1） 薛定諤方程為何是復(fù)PDE

從物理上看，波函數(shù)必定是以e為底的負(fù)指數(shù)函數(shù)，否則無法做到駐波或定態(tài)，這就間接造成薛定諤方程是復(fù)PDE;數(shù)學(xué)上的解釋（比如什么傅里葉變換，線性共軛算符）是很牽強(qiáng)的。

2） 對稱波函數(shù)和反對稱波函數(shù)

由于波函數(shù)是線性的，加減都表示同一個(gè)態(tài)，所以對稱函數(shù)和反對稱函數(shù)的出現(xiàn)就是為了分別反映玻色子和費(fèi)米子的波函數(shù)的對稱性和反對稱性的。當(dāng)然，也不能絕對化，比如不在同一軌道上的兩個(gè)電子，就不用考慮泡利不相容，那么他們照樣存在對稱性。

3）量子力學(xué)的基本特征

量子力學(xué)的基本特征，在力學(xué)量是量子化，在操作上是對易關(guān)系。宏觀物理，操作基本是對易的。而微觀物理，操作基本是不對易的。所以量子化條件就是泊松括號不為0。這也可以從群論得出解釋。

4）高等量子力學(xué)的特征

高等量子力學(xué)主要是相對論性量子力學(xué)和角動量理論，時(shí)空是等效的，所以需要是達(dá)朗伯特算子。

5） 測量假設(shè)

或者平均值假設(shè)。測量假設(shè)，或者平均值假設(shè)，更多是是統(tǒng)計(jì)物理的問題。真正的測量，目前還沒有從實(shí)驗(yàn)或者理論去解釋。

6）雙縫干涉

雙縫干涉中，縫寬以及雙縫距離其實(shí)都是有條件的，雙縫距離不能大于光子的相干長度。縫寬不能大于光的波長。

三、結(jié)論

實(shí)踐證明，了解量子力學(xué)課本很少提到但初學(xué)者應(yīng)該知道的知識點(diǎn)，會更好入門之。經(jīng)過討論可以得出如下結(jié)論。

1）物理例子非常重要（畢竟是在研究量子力學(xué)，而不是泛函分析的應(yīng)用）。主體提到的“對波粒二象性的理解”是不必要的，人們不能像理解宏觀規(guī)律那樣直觀地“理解”它。

2）另外兩點(diǎn)“記住”知識，會更容易地走出思考的死胡同：波浪的定義不是基于水波或機(jī)械波。波的精確定義來自光波之類的東西。所以水波有點(diǎn)像光在波浪中的行為，而不是像水波一樣波動。（這是一個(gè)假設(shè)，但相對合理）微觀粒子可能不像想象的那樣一個(gè)接一個(gè)。如果不得不說的話，它是一個(gè)虛無的概率，浮動和浮動。就像一朵代表概率的云。它的質(zhì)量/電荷可能出現(xiàn)在云中的任何地方。只有當(dāng)去尋找它時(shí)，概率才被確定。云已經(jīng)縮小成更小的云（在通常的概念中，它看起來很像一個(gè)微觀粒子：一個(gè)小實(shí)心球）。當(dāng)小球聚集成一堆時(shí)，可能很難理解它們的波動性，但是應(yīng)該能夠理解很多很多波浪狀的水/云，它們一起形成一個(gè)巨大的波浪狀水/云。

3） 所謂的波粒二象性是一種性質(zhì)。用外行的話說，它既可以表現(xiàn)波的特性，也可以表現(xiàn)粒子的特性。當(dāng)研究事物時(shí)，通過不同的建模方法和實(shí)驗(yàn)方法，事物會表現(xiàn)出不同的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]張思寧.量子化質(zhì)量視域下的量子力學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)[J].遼寧大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，48（04）：365-370.

[2]楊師杰.關(guān)于量子力學(xué)原理的注記[J].大學(xué)物理，2021，40（11）：1-4+20.