?山東省鄒平市梁鄒實驗初級中學(xué) 李光大 張婷麗
在學(xué)生掌握三角形基礎(chǔ)知識的前提下,進行三角形新定義的探究,不僅能夯實學(xué)生有關(guān)三角形的基本定理和概念,而且能提升學(xué)生運用舊知解決新知的能力,進而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.三角形中的新定義問題,包括“和諧三角形”問題,“等角點”問題,“友好三角形”問題,“三分線”問題,“特征三角形”問題,等等.以下結(jié)合典例做一做探討.
初中階段學(xué)過的特殊三角形有直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等,它們都有其特殊的性質(zhì),且這些三角形因應(yīng)用廣泛而得到推廣.這里的“和諧三角形”是指一邊上的中線恰好等于這條邊的長的三角形.借助“和諧三角形”可考查直角三角形、等腰三角形等的性質(zhì),以及學(xué)生的知識遷移能力.
例1如果一個三角形有一邊上的中線與這邊的長相等,那么稱這個三角形為“和諧三角形”.
(1)請用直尺和圓規(guī)在圖1中畫一個以線段AB為一邊的“和諧三角形”;
(3)如圖3,已知正方形ABCD的邊長為1,動點M,N從點A同時出發(fā),以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動,記點M經(jīng)過的路程為S,當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時,求S的值.
圖1
圖2
圖3
備用圖
解析:(1)如圖4,①作線段AB的中點O,②以點O為圓心,AB長為半徑畫圓,③在圓O上取一點C(點E,F(xiàn)除外),連接AC,BC.△ABC就是所求作的三角形.
圖4
圖5
(3)易知點M在AB上時,△AMN是等腰直角三角形,不可能是“和諧三角形”;當(dāng)M在BC上時,連接AC交MN于點E.
圖6
圖7
在Rt△AME中,
點評:本題集畫圖、計算、證明、討論于一體,綜合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識,其中第(3)問運用了方程思想和分類討論思想.
三角形的內(nèi)心是指三角形三條角平分線的交點,三角形的重心是指三條中線的交點,三角形的外心是指三邊的垂直平分線的交點,三角形的垂心是三條高的交點,三角形的旁心是兩條外角平分線與一條內(nèi)角平分線的交點,它們都是三角形的一些特殊的點,因具有特殊的性質(zhì)而得到推廣.而三角形的的“等角點”是指連接此點與各頂點,所得的三個三角形中有一個三角形與原三角形的三個內(nèi)角分別相等.當(dāng)“等角點”與三角形的其他點重合時,會有什么情況發(fā)生呢?
例2概念學(xué)習(xí):如圖8,已知△ABC,點P為其內(nèi)部一點,連接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如果存在一個三角形,其內(nèi)角與△ABC的三個內(nèi)角分別相等,那么就稱點P為△ABC的等角點.
(1)理解應(yīng)用:根據(jù)已學(xué)過的知識,下面兩個命題是真命題還是假命題?并把判斷結(jié)果寫在后面橫線上.
①內(nèi)角分別為30°,60°,90°的三角形存在等角點..
②任意的三角形都存在等角點..
圖8
圖9
(2)解決問題:如圖9,在△ABC中,∠BAC<∠ABC<∠ACB,點P為△ABC的三個內(nèi)角的平分線的交點.當(dāng)點P是等角點時,求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù).
解析:(1)①作內(nèi)角分別30°,60°,90°的三角形斜邊的中線,此中線的中點就是等角點,故為真命題;②在等邊三角形中就找不出一點能成為等角點,所以它是假命題,故答案為:真;假.
點評:定義一個新概念,往往都要與舊圖形、舊知識聯(lián)系.本題中的等角點就與直角三角形、等邊三角形、三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)角和、角平分線聯(lián)系.一方面是因為任何事物都不可能孤立地存在,只有與其他事物聯(lián)系才有意義;另一方面也是為了考查學(xué)生對舊知識的掌握情況.
三角形的一條中線把這個三角形分成兩個三角形,這兩個三角形的面積是相等的;三角形一條角平分線分對邊所成兩條線段的比等于角的兩邊的比;直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形.這些都是三角形內(nèi)特殊的線段.那么,在三角形內(nèi)畫兩條線段,能否把一個三角形分成三個等腰三角形呢?
例3教材的習(xí)題中有這樣的一道題,有一個等腰三角形,它的頂角是36°,把這樣的三角形紙片只剪兩下,于是得到三個三角形,如何才能使每個三角形都是等腰三角形呢?請畫出剪切線,你有多少種方法呢?圖10是一個示例.
定義:如果兩條線段將一個三角形分成三個等腰三角形,則把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.
圖10
圖11
(1)如圖11是兩個等腰三角形,它們的頂角都是45°,請用不同的方法分別畫出這兩個三角形的三分線,并求出分得的每個等腰三角形頂角的度數(shù).
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設(shè)∠C=x,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值.
引申:如圖14,已知正方形ABCD的邊長為1,點E在邊BC上滑動,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的角平分線CF于點F.當(dāng)點E滑動到某處時,點F恰好落在直線y=-2x+6上,求此時點F的坐標(biāo).
圖14
圖15
變式如圖15,四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,點E是BC邊上一點,∠AEF=60°,且EF交直線CD于點F.
(1)求證:AE=EF.
(2)你還能設(shè)計出怎樣的問題?并嘗試解答.
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