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        分步突破精準(zhǔn)切入 策略總結(jié)典例探究
        ——以一道函數(shù)與幾何綜合題為例

        2022-09-24 05:48:00江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年18期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)考題拋物線

        ?江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 張 玲

        1 考題呈現(xiàn)

        考題(2021年江蘇無錫市中考卷第27題)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象過B和C兩點(diǎn),且與x軸交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F,交二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E.

        (1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;

        (2)當(dāng)以C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí),求線段EF的長度;

        (3)已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn),若點(diǎn)N,F(xiàn)關(guān)于直線EC對(duì)稱,試求點(diǎn)N的坐標(biāo).

        2 分步突破

        圖1

        本題目為函數(shù)綜合題,以拋物線與直線為背景,依托坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)建三角形,所設(shè)三問全面考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和綜合能力.第(1)問求函數(shù)的解析式,考查待定系數(shù)法;第(2)問由三角形相似,考查函數(shù)中的相似構(gòu)建;第(3)問則是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱,考查對(duì)稱轉(zhuǎn)化.下面結(jié)合具體函數(shù)的圖象,分步突破.

        2.1 第一步——待定系數(shù)法求解

        二次函數(shù)y=ax2+2x+c中需求a和c的值,只需求拋物線上點(diǎn)B和C的坐標(biāo)即可.由于兩點(diǎn)是直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),故可直接求得.

        2.2 第二步——構(gòu)建相似模型

        該問探究以C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,需要關(guān)注問題中的兩點(diǎn):①題干沒有給定相似對(duì)應(yīng)關(guān)系,需要分類討論;②關(guān)注兩三角形的角度關(guān)系.

        圖2

        2.3 第三步——對(duì)稱轉(zhuǎn)化推理

        第(3)問是函數(shù)背景下的幾何對(duì)稱問題.求對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo),有兩點(diǎn)要求:(1)點(diǎn)N位于y軸上,則其橫坐標(biāo)的值為0;(2)點(diǎn)N和F關(guān)于直線EC對(duì)稱,則它們到直線EC的距離相等,可依托該特性構(gòu)建幾何關(guān)系.

        圖3

        3 解法探究

        上文對(duì)一道拋物線綜合題進(jìn)行了分步突破,分別求解函數(shù)的解析式,探討三角形相似關(guān)系,分析點(diǎn)的對(duì)稱.從本質(zhì)上看,考題為函數(shù)與幾何綜合題,掌握函數(shù)背景中幾何圖形的探究方法是解題的關(guān)鍵.下面對(duì)問題解法進(jìn)行深入探究.

        3.1 函數(shù)背景下的三角形相似

        上述考題第(2)問探究三角形的相似問題,有兩大特點(diǎn):一是沒有設(shè)定對(duì)應(yīng)關(guān)系,二是兩三角形含有特殊對(duì)應(yīng)角(45°角).故需要討論三角形的相似對(duì)應(yīng),且只需求兩種情形.通常對(duì)于函數(shù)背景下的三角形相似問題,可以采用如下策略,分三步論證.

        第一步,假設(shè)結(jié)論成立,分情形討論.

        對(duì)于沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的相似三角形問題,可先設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn),再分析所涉三角形是否含有特殊對(duì)應(yīng)角.若有,則提取對(duì)應(yīng)角,再分類;若沒有,則分別討論三種對(duì)應(yīng)情形.

        第二步,設(shè)未知,求線段或邊長.

        對(duì)于三角形相似問題,可從角度和邊長對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)視角突破,但在函數(shù)背景下,采用邊長對(duì)應(yīng)成比例更容易構(gòu)建等式.解析時(shí),可設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),推導(dǎo)相關(guān)線段或邊長.

        第三步,建方程,精計(jì)算.

        根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)關(guān)系列比例式,將比例式中的線段用含點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)的線段替換,進(jìn)而構(gòu)建含有坐標(biāo)參數(shù)的方程,通過解方程精準(zhǔn)求解.

        基于上述解題策略,下面對(duì)例1進(jìn)行進(jìn)一步探究.

        圖4

        (1)求該拋物線的解析式;

        (2)在拋物線上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線AC的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)D,連接OA,使以點(diǎn)A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,試求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

        (2)因?yàn)椤鰽OC為直角三角形,故以A,D,P為頂點(diǎn)的三角形也必須為直角三角形.故點(diǎn)C始終對(duì)應(yīng)點(diǎn)D,只有△OCA∽△ADP和△OCA∽△PDA兩種情形.同時(shí)需要分點(diǎn)P位于直線AD上方和下方兩種情形.

        ①若點(diǎn)P在直線AD上方,則

        當(dāng)點(diǎn)P(0,0)時(shí),也滿足△OCA∽△PDA.

        3.2 函數(shù)背景下的點(diǎn)對(duì)稱

        上述考題的第(3)問求兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)其中一點(diǎn)的坐標(biāo),屬于函數(shù)背景下的點(diǎn)對(duì)稱求坐標(biāo)的問題,相對(duì)于常規(guī)的幾何問題,函數(shù)背景為問題賦予了“數(shù)”的特性.通??蓪栴}分為三種情形:一是關(guān)于坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱;二是關(guān)于特殊直線對(duì)稱,如y=x;三是關(guān)于一般直線對(duì)稱.前兩種情形,對(duì)稱關(guān)系有著鮮明的坐標(biāo)規(guī)律,在數(shù)值和符號(hào)兩方面均有體現(xiàn).而對(duì)于情形三,則可以采用下面三大策略來解.

        3.2.1 中點(diǎn)坐標(biāo)公式

        圖5

        連接兩對(duì)稱點(diǎn),則兩點(diǎn)所在直線與對(duì)稱軸所在的直線為垂直關(guān)系,且兩直線的交點(diǎn)為兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn),三點(diǎn)坐標(biāo)滿足中點(diǎn)坐標(biāo)公式.以圖5為例,點(diǎn)C和D關(guān)于直線l2對(duì)稱,且位于直線l1上,則直線l1和l2的斜率之積為-1,B為線段CD的中點(diǎn),則xD+xC=2xB,yD+yC=2yB.

        3.2.2 點(diǎn)到直線的距離公式

        根據(jù)對(duì)稱性可知,兩對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等.故對(duì)于已知曲線或直線上點(diǎn)的對(duì)稱問題,可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程求解.以圖5為例,若點(diǎn)D滿足方程y=kx+b,且已知點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l2的方程,則可設(shè)點(diǎn)D(x,kx+b),先求出點(diǎn)C到直線l2的距離,再利用距離公式構(gòu)建點(diǎn)D到直線l2的距離方程,進(jìn)而求解.

        3.2.3 構(gòu)建全等模型

        兩點(diǎn)關(guān)于某一固定直線對(duì)稱,則可依托直線上固定兩點(diǎn)構(gòu)建全等三角形,后續(xù)通過求線段長求解.另外,也可通過幾何推導(dǎo)求線段長確定所求點(diǎn)的坐標(biāo).

        上述考題第(3)問在求解時(shí)就采用了該方法,下面結(jié)合一道例題進(jìn)一步強(qiáng)化鞏固.

        圖6

        (1)求該拋物線的解析式;

        (2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)A′是否位于該拋物線上.

        圖7

        4 寫在最后

        上述對(duì)一道函數(shù)與幾何綜合題開展分步突破,并探究問題的解法,其中三角形相似與點(diǎn)的對(duì)稱屬于典型問題,問題的“數(shù)”“形”屬性十分突出.數(shù)形結(jié)合分析,幾何視角切入,運(yùn)算推理定位,是破題的有效策略.教學(xué)中,建議引導(dǎo)學(xué)生把握?qǐng)D象的特征,提取特殊圖形,結(jié)合特性推理,充分拓展學(xué)生的解題思維.

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