?山東沂南四中 李樹臣

1 引言

任何數學知識都可以邏輯地分解為三大部分：數學概念、數學命題和數學論證.整個數學教材內容可以分為數學概念、數學命題和數學論證三大部分，數學教學在本質上也就是關于數學概念、數學命題和數學論證的教學.

數學概念是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式；數學中的定義、公理、公式、性質、法則、定理都是數學命題.這些都是用推理方法判斷命題真假的依據；數學證明是在一個特定的公理系統(tǒng)中，根據一定的規(guī)則或標準，由公理和定理推導出某些命題的過程.

數學教育教學最為基礎的問題就是如何進行數學概念、數學命題和數學論證的教學.對這些基礎知識的教學研究意義重大，這也是老師們最容易進行論文寫作的“領域”，圍繞基礎知識進行教學研究的文章“接地氣”，發(fā)表的概率也比較大.

2 數學概念教學問題

在數學教學中，教師必須向學生講清楚概念，讓學生明確概念的內涵和外延.學生能否把握概念的本質決定數學教學的效果.對數學概念教學的研究“永無止境”.

教師要明確數學概念的內涵與外延，掌握概念的本質，首先應“宏觀”把握數學概念的分類、概念之間的關系及概念的定義方式，然后才能“微觀”地進行具體數學概念的教學.

數學概念教學問題是廣大一線教師教學過程中經常遇到的問題，也是數學教育教學研究專家研究的基礎問題，隨便打開一本數學教育教學雜志都能見到關于數學概念教學的文章.我們多年來重視對數學概念教學問題的思考與研究，發(fā)表了大量的研究成果.

這些成果中既有關于數學概念教學的理論性研究，如數學概念的分類、數學概念之間的關系、定義方式等，代表作有《論數學概念之間的關系》發(fā)表在《山東教育》2007年第6期，《淺談數學概念的定義方式》發(fā)表在《山東教育》2007年第11期，《數學概念教學中的若干問題》發(fā)表在《山東教育》2008年第3期，同年被人大《初中數學教與學》第7期全文轉載，《再談數學概念教學中的若干問題》發(fā)表在《中學數學》(湖北)2011年第11期.也有關于具體概念教學的問題，如《研究新教材，教好函數概念》發(fā)表在《中學數學雜志》2006年第5期，《一元一次方程教學研究》發(fā)表在《中學數學雜志》2007年第6期，等等.

案例1數學概念教學中的若干問題.

為幫助教師更好地進行數學概念教學、教學研究以及論文寫作，現(xiàn)把概念教學的一些核心觀點簡述如下.

2.1 正確認識數學概念教學的現(xiàn)狀

我國數學教育界歷來都十分重視數學概念課的教學，但由于受傳統(tǒng)教育思想的影響，使得在進行數學概念教學過程中存在這樣或那樣的問題，直接影響著教育教學質量的提高.目前概念教學中存在的問題，主要有以下兩種傾向：

一是在概念教學中過分重視定義的敘述，對定義是字字推敲、處處斟酌，不厭其煩地舉正、反兩方面的例子，并且要求學生熟讀定義，熟記定義.

二是在概念教學中，不注意揭示概念的形成過程，只注重概念的應用.對于數學概念的引入過程重視不夠，沒有按照“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程展開，而是按照“定義+例題”的教學模式強“塞給”學生.這種教學導致學生不能理解和領悟結論的實質.長期接受這樣訓練的學生是沒有創(chuàng)造性的.

2.2 明確數學概念的定義方式

數學概念是用定義來敘述的，定義是揭示概念內涵的邏輯方法.任何定義都由被定義項(Ds)、定義項(DP)和定義聯(lián)項(是，叫做等)組成.如“兩腰相等的梯形叫做等腰梯形”的被定義項是“等腰梯形”、定義項是“兩腰相等的梯形”，這兩項由“叫做”聯(lián)在一起就構成了“等腰梯形”的上述定義.一個定義在撇開具體內容后所剩下的邏輯框架或結構模式，通常稱為定義方式.熟悉不同概念的定義方式，是學習和研究數學的一個必備條件.在初中常用的定義方式有以下幾種：

(1)屬加種差定義.

給概念下定義，所采取的最常見、最直觀和最基本的方式就是屬加種差定義法.因為這種方式符合人們的認識規(guī)律，我們認識客觀世界都是遵循從已知到未知，用已知解釋未知，進而把未知變?yōu)橐阎@樣一個往復循環(huán)，逐步深入的規(guī)律.另外，概念之間的屬種關系是實際存在的.因此，如果屬概念和其他概念是已知的，那么利用已知的屬概念和其他已知的可用來表述種差的有關概念，來解釋未知的種概念便成為可能.所以我們說屬加種差定義是數學概念最普遍和最常用的一種定義方式.屬加種差定義可以用下列公式表示：

鄰近的屬+種差=Ds.

(2)發(fā)生定義和派生定義.

發(fā)生定義是一種常見的特殊的屬加種差定義方式.它是用一類事物產生或形成情況作為種差所作出的定義，即沒有直接說明種差，而是把其放在一個動態(tài)的過程中，即發(fā)生定義是以概念的發(fā)生或形成的本質屬性作為種差的定義.

派生定義也是一種特殊的屬加種差定義方式，它既不像典型的屬加種差定義，對被定義概念的內涵采取直接陳述的方式進行揭示，也不像發(fā)生定義那樣把被定義概念的種差寓于被定義概念的“發(fā)生”或“形成”狀況之中，而是采取這樣一種模式：假設被定義概念存在典型的屬加種差定義，那么將這個典型的屬加種差定義所揭示出來被定義概念的內涵，用一個或幾個由其導出且與之等價的屬性取而代之所形成的定義，就是派生定義.

(3)關系定義.

關系定義是以概念的關系作為種差的定義.它指出的這種關系是被定義概念所具有而任何其他概念所不具有的特性.

從本質上講，發(fā)生定義、派生定義及關系定義都屬于屬加種差定義的范疇，只是它們所選用的屬概念和對種差的表述，采用了自己特定的形態(tài)，將種差寓于被定義概念的產生、形成以及與其他概念的相互關系之中.

(4)外延定義.

把屬概念劃分為它的種概念，這種揭示概念外延的邏輯方法，叫做對概念作分類.也可以說，概念的分類就是把概念所包含的所有單獨概念，按照某個標準分別歸屬，從而弄清概念的適用范圍的邏輯手段.通過對概念分類，列舉出概念外延包括的全部對象，也可以間接揭示概念的內涵.從這個意義上講，我們把揭示概念外延的分類結果，等價地叫做概念的外延定義，是合乎邏輯的.這就是說，相對于內涵定義方式，數學概念還存在它的外延定義方式，即外延定義法.

外延定義是通過列舉概念的全部對象來下的定義.一般來說，如果某個屬概念劃分后所得的各個種概念都是已知的，那么可以用這些種概念來給這一屬概念下外延定義.在外延定義中，Ds是屬，而DP是Ds的諸鄰近種概念的總和.

(5)否定式定義.

否定式定義就是用否定一個概念或其本質屬性的方法來給另一個概念下定義.例如，平行線就是用否定式給出的：“在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.”教材中用否定式定義的概念并不多，但這種方式也是比較典型的定義方式.

(6)描述性定義和公理定義.

描述性定義就是采用直觀地描述或與其他概念相類比的方法來闡述概念的意義.例如，對于“空間與圖形”中最基本的概念——點、線、面、體，教材就是采用實物描述的方式給出的：天上一顆顆閃爍的星星給我們以“點”的形象；劃過夜空的流星給我們以“點動成線”的形象；打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，給我們以“線動成面”的形象；當賓館的旋轉門轉動時，給我們以“面動成體”的形象.再如，對于線段也是采用實物描述的方式給出的“拔河時，拉直的繩子，給我們一條線段的形象”.像這些沒有屬概念的數學原始概念，我們找不到能夠用來定義它們的已有概念，因而是不能按照“屬概念+種差”的基本公式給其以定義的概念，也叫做無定義概念.初中教材中涉及到的無定義概念還有數、量、自然數、值、運算、點、線段、直線、圖形、平面、變換等.

公理定義方式，就是用公理來描述被定義概念的本質屬性的定義方式.通過揭示關于無定義概念的公理，讓學生從公理中細細琢磨體會概念所包含的意義，這種方式比較抽象，在初中一般不直接采用.在某些情況下，將其作為描述性定義的引申和輔助，也是有益的.例如，關于“直線”的公理“兩點確定一條直線”對幫助學生體會直線的本質是有意義的.

(7)形式定義.

數學概念除去內涵定義和外延定義，還存在一類形式定義的方式.

例如，“函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，且a≠0)叫做二次函數”就是形式定義.這樣的定義雖然能從其中分解出概念的內涵，按規(guī)則作外延分類，但又不是從內涵或外延出發(fā)而構造相應的模式，它的著眼點在于被定義概念的本質結構.

以上所述的各種定義方式，是從初中數學教材的實際出發(fā)，按照不同的分類標準，分別加以總結的.這些定義方式在外延上并不都是并列關系，所以對于同一個數學概念的定義在這些定義方式中的“座位”也不可能是唯一的.例如，“一元二次方程”這個概念可用屬加種差的方式定義，也可用形式定義方式來定義.

2.3 把握數學概念教學的宏觀策略

數學概念是一大類基礎知識，對概念的教學，要明確概念教學的宏觀策略：

(1)在思想上高度重視概念教學；

(2)注重數學概念的過程教學；

(3)在數學教學的各個環(huán)節(jié)都要“凸顯”概念；

(4)明確概念教學的微觀做法.

對于一個具體的數學概念，教學中要突出下面三個環(huán)節(jié)：

(1)概念的引入.

概念引入的常用方法有四種：

①用實際事例或實物、模型進行介紹；

②在學生原有的基礎上引入新概念；

③從數學本身內在需要引入概念；

④采用類比的方式.

(2)概念的形成.

數學概念是人們在長期的生產實踐中，從事物的本質出發(fā)總結出來的.學生通過概念引入階段的學習已經對概念有了比較淺顯的感性認識；通過概念形成階段的學習，在學生透徹理解概念本質屬性的基礎上，用數學語言給出概念的定義.

①剖析概念的本質；

②講清概念的定義；

③掌握概念的符號.

(3)概念的鞏固和發(fā)展.

①鞏固新概念；

②通過反例加深對概念的理解認識；

③加深概念之間的相互聯(lián)系.

由于數學概念的種類繁多，關系復雜，其本質屬性又各有千秋，從而形成了較多的定義方式.而對于用不同定義方式揭示其本質屬性的數學概念，其教學的“程序”又不一樣.

3 數學定理教學問題

教師們對數學定理、數學論證教學的研究下功夫較多，發(fā)表的成果也多.這方面的選題很多，可以是關于數學定理教學的“大”問題，如為促進學生推理能力的提高，從而不斷提升學生的數學核心素養(yǎng)，筆者發(fā)表了下面一些關于加強數學推理訓練的理論文章：

(1)《合情推理的教學與研究》發(fā)表于《教書育人》2003年第8期；

(2)《應重視合情推理的教學與研究》發(fā)表于《中學數學研究》2003年第9期;

(3)《推理及常用的基本推理形式》《數學推理中的分析法》發(fā)表于《山東教育》2001年第3期；

(4)《數學定理的教學應分三個階段進行》發(fā)表在《中學數學雜志》2001年第6期；

(5)《深入研究課程標準，加強推理能力的訓練》發(fā)表在《中學數學雜志》2010年第6期.

對于定理的教學，我們面對的往往是關于一個具體定理的教學問題，例如，筆者發(fā)表在核心期刊《中學數學教學參考》1998年的第11期上的關于《圓冪定理的教學設想》就是典型的代表.

案例2圓冪定理教學設想.

我們在“和圓有關的比例線段”這一節(jié)中 ,學習了相交弦定理、切割線定理及其推論(可稱為割線定理).這三個定理常稱為圓冪定理.圓冪定理的教學教師要突出以下三點.

3.1 讓學生明確切割線是統(tǒng)一的

圖1

我們知道圓的割線是與圓有兩個交點的一條直線，而圓的切線是與圓只有一個交點的一條直線.如圖1，直線PAB就是一條割線，PT就是一條切線.

在圖1中，當割線PAB按箭頭方向繞P點旋轉(教師一定要設法演示這一過程)時，只要這條直線與圓有兩個交點，它就仍然是一條割線.例如圖1中的PA1B1還是一條割線.當旋轉到A，B兩點重合時，直線與圓就只有一個交點了.這時直線的“質”發(fā)生了變化：由割線變成了切線.所以我們說圓的切線是割線的一種特殊情況.

這種設計的目的是讓學生體會“切割線”的關系：切線是割線的一種特殊情況，在割線的運動過程中，一旦與圓的交點由“兩個”變?yōu)橐粋€，直線的“性質”就發(fā)生了變化.讓學生感悟到量變能引起質變的規(guī)律.

3.2 從相交弦定理出發(fā)，用運動的觀點來統(tǒng)一認知定理

圓冪三個定理之間的關系如圖2所示.

圖2

在教學中，要通過直觀演示引導學生認識上述三個定理的“統(tǒng)一性”.

3.3 啟發(fā)學生理解定理的實質

啟發(fā)學生回答點與圓的三種位置關系，然后針對每一種情況分別討論定理的實質，最后將其統(tǒng)一敘述為：

若過定點P作一動直線與定圓⊙O(其半徑是R)交于A，B兩點，設定點P到圓心O的距離為d，則PA·PB=|d2-R2|，常數|d2-R2|叫作定點P對定圓O的冪，這個結論就是圓冪定理.

4 數學命題教學問題

近年來，關于數學概念和數學論證的研究較多，而對數學命題討論的則比較少，因此對數學命題教學進行探究意義重大.中學數學命題教學的基本要求是：使學生深刻理解數學命題的意義，明確其推導過程與適用范圍，并靈活運用數學命題解決有關問題.

案例3數學命題教學宜分三步進行.

筆者的《數學命題教學宜分三步進行》發(fā)表在為數不多的數學核心期刊《數學通報》2003年第10期上.目前很多老師覺得在核心期刊上發(fā)表文章難，筆者的觀點是“只要下了功夫，就不難”.《數學命題教學宜分三步進行》的主要觀點如下：

4.1 合理引入數學命題

(1)發(fā)現(xiàn)式實踐引入；

(2)用觀察、歸納的方法引入；

(3)根據實際的需要引入；

(4)由“矛盾”引入命題.

4.2 正確理解和證明命題

命題引入后，教學的重點應轉向引導學生對命題的條件、結論進行剖析，探討其證明思路.在教學中主要搞清楚以下三個問題：

(1)切實分清命題的已知條件和結論；

(2)正確分析命題的證明思路，讓學生掌握證明的方法；

(3)注意命題的多種證法.

4.3 加強命題的應用教學

數學中的定理、公式、法則等都是包攝程度較高的命題，應用它們可以解決眾多的數學問題.命題的應用教學是命題教學中必不可缺少的重要一環(huán).

5 數學解題教學問題

數學教學中，解題是一個重要部分，關于數學解題教學的問題，老師們最有發(fā)言權，可以寫很多文章.例如，筆者寫的《初中數學中常用的解題策略》就發(fā)表在《中學數學雜志》2002年第1期，后被人大2002年第10期全文轉載.

案例4初中數學中常用的解題策略.

著名的數學教育家波利亞曾指出：“掌握數學就意味著解題.”數學教學的一個很重要的任務，就是教學生學習如何解數學題，教學生學會“數學思維.”學數學，就要解數學題，數學解題學習對學生鞏固知識、培養(yǎng)素質、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義.數學教學必須教給學生一定的常用的解題策略.初中學生常用的解題策略有：

(1)枚舉法；(2)模式識別法；(3)變更問題法；(4)中途點法；(5)以退求進法；(6)先進再退法；(7)正難則反法；(8)從整體看問題法.

數學習題的解題策略，遠不止以上八種，這里介紹的僅是學習中常用的策略.另外，各種策略之間也不是完全孤立的，而是相互關聯(lián).因此，在學習中，要指導同學們學會綜合、合理地運用它們，以達迅速、準確解題的目的.實踐證明，在教學中，指導學生加強對解題策略的研究、總結，有利于提高學生分析問題、解決問題的能力，能促進學生的數學認知結構不斷優(yōu)化與發(fā)展，這對于促進學生素質的提高具有重要的理論價值和實踐意義.Z