?山東沂南四中 李樹臣

1 引言

任何數(shù)學(xué)知識(shí)都可以邏輯地分解為三大部分：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證.整個(gè)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容可以分為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證三大部分，數(shù)學(xué)教學(xué)在本質(zhì)上也就是關(guān)于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證的教學(xué).

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式；數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、性質(zhì)、法則、定理都是數(shù)學(xué)命題.這些都是用推理方法判斷命題真假的依據(jù)；數(shù)學(xué)證明是在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)中，根據(jù)一定的規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn)，由公理和定理推導(dǎo)出某些命題的過程.

數(shù)學(xué)教育教學(xué)最為基礎(chǔ)的問題就是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)論證的教學(xué).對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)研究意義重大，這也是老師們最容易進(jìn)行論文寫作的“領(lǐng)域”，圍繞基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)研究的文章“接地氣”，發(fā)表的概率也比較大.

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)問題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須向?qū)W生講清楚概念，讓學(xué)生明確概念的內(nèi)涵和外延.學(xué)生能否把握概念的本質(zhì)決定數(shù)學(xué)教學(xué)的效果.對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究“永無止境”.

教師要明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，掌握概念的本質(zhì)，首先應(yīng)“宏觀”把握數(shù)學(xué)概念的分類、概念之間的關(guān)系及概念的定義方式，然后才能“微觀”地進(jìn)行具體數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

數(shù)學(xué)概念教學(xué)問題是廣大一線教師教學(xué)過程中經(jīng)常遇到的問題，也是數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究專家研究的基礎(chǔ)問題，隨便打開一本數(shù)學(xué)教育教學(xué)雜志都能見到關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的文章.我們多年來重視對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)問題的思考與研究，發(fā)表了大量的研究成果.

這些成果中既有關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論性研究，如數(shù)學(xué)概念的分類、數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系、定義方式等，代表作有《論數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系》發(fā)表在《山東教育》2007年第6期，《淺談數(shù)學(xué)概念的定義方式》發(fā)表在《山東教育》2007年第11期，《數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的若干問題》發(fā)表在《山東教育》2008年第3期，同年被人大《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第7期全文轉(zhuǎn)載，《再談數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的若干問題》發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)》(湖北)2011年第11期.也有關(guān)于具體概念教學(xué)的問題，如《研究新教材，教好函數(shù)概念》發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2006年第5期，《一元一次方程教學(xué)研究》發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2007年第6期，等等.

案例1數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的若干問題.

為幫助教師更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)、教學(xué)研究以及論文寫作，現(xiàn)把概念教學(xué)的一些核心觀點(diǎn)簡(jiǎn)述如下.

2.1 正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀

我國數(shù)學(xué)教育界歷來都十分重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，但由于受傳統(tǒng)教育思想的影響，使得在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中存在這樣或那樣的問題，直接影響著教育教學(xué)質(zhì)量的提高.目前概念教學(xué)中存在的問題，主要有以下兩種傾向：

一是在概念教學(xué)中過分重視定義的敘述，對(duì)定義是字字推敲、處處斟酌，不厭其煩地舉正、反兩方面的例子，并且要求學(xué)生熟讀定義，熟記定義.

二是在概念教學(xué)中，不注意揭示概念的形成過程，只注重概念的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)學(xué)概念的引入過程重視不夠，沒有按照“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程展開，而是按照“定義+例題”的教學(xué)模式強(qiáng)“塞給”學(xué)生.這種教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生不能理解和領(lǐng)悟結(jié)論的實(shí)質(zhì).長期接受這樣訓(xùn)練的學(xué)生是沒有創(chuàng)造性的.

2.2 明確數(shù)學(xué)概念的定義方式

數(shù)學(xué)概念是用定義來敘述的，定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法.任何定義都由被定義項(xiàng)(Ds)、定義項(xiàng)(DP)和定義聯(lián)項(xiàng)(是，叫做等)組成.如“兩腰相等的梯形叫做等腰梯形”的被定義項(xiàng)是“等腰梯形”、定義項(xiàng)是“兩腰相等的梯形”，這兩項(xiàng)由“叫做”聯(lián)在一起就構(gòu)成了“等腰梯形”的上述定義.一個(gè)定義在撇開具體內(nèi)容后所剩下的邏輯框架或結(jié)構(gòu)模式，通常稱為定義方式.熟悉不同概念的定義方式，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個(gè)必備條件.在初中常用的定義方式有以下幾種：

(1)屬加種差定義.

給概念下定義，所采取的最常見、最直觀和最基本的方式就是屬加種差定義法.因?yàn)檫@種方式符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，我們認(rèn)識(shí)客觀世界都是遵循從已知到未知，用已知解釋未知，進(jìn)而把未知變?yōu)橐阎@樣一個(gè)往復(fù)循環(huán)，逐步深入的規(guī)律.另外，概念之間的屬種關(guān)系是實(shí)際存在的.因此，如果屬概念和其他概念是已知的，那么利用已知的屬概念和其他已知的可用來表述種差的有關(guān)概念，來解釋未知的種概念便成為可能.所以我們說屬加種差定義是數(shù)學(xué)概念最普遍和最常用的一種定義方式.屬加種差定義可以用下列公式表示：

鄰近的屬+種差=Ds.

(2)發(fā)生定義和派生定義.

發(fā)生定義是一種常見的特殊的屬加種差定義方式.它是用一類事物產(chǎn)生或形成情況作為種差所作出的定義，即沒有直接說明種差，而是把其放在一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中，即發(fā)生定義是以概念的發(fā)生或形成的本質(zhì)屬性作為種差的定義.

派生定義也是一種特殊的屬加種差定義方式，它既不像典型的屬加種差定義，對(duì)被定義概念的內(nèi)涵采取直接陳述的方式進(jìn)行揭示，也不像發(fā)生定義那樣把被定義概念的種差寓于被定義概念的“發(fā)生”或“形成”狀況之中，而是采取這樣一種模式：假設(shè)被定義概念存在典型的屬加種差定義，那么將這個(gè)典型的屬加種差定義所揭示出來被定義概念的內(nèi)涵，用一個(gè)或幾個(gè)由其導(dǎo)出且與之等價(jià)的屬性取而代之所形成的定義，就是派生定義.

(3)關(guān)系定義.

關(guān)系定義是以概念的關(guān)系作為種差的定義.它指出的這種關(guān)系是被定義概念所具有而任何其他概念所不具有的特性.

從本質(zhì)上講，發(fā)生定義、派生定義及關(guān)系定義都屬于屬加種差定義的范疇，只是它們所選用的屬概念和對(duì)種差的表述，采用了自己特定的形態(tài)，將種差寓于被定義概念的產(chǎn)生、形成以及與其他概念的相互關(guān)系之中.

(4)外延定義.

把屬概念劃分為它的種概念，這種揭示概念外延的邏輯方法，叫做對(duì)概念作分類.也可以說，概念的分類就是把概念所包含的所有單獨(dú)概念，按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分別歸屬，從而弄清概念的適用范圍的邏輯手段.通過對(duì)概念分類，列舉出概念外延包括的全部對(duì)象，也可以間接揭示概念的內(nèi)涵.從這個(gè)意義上講，我們把揭示概念外延的分類結(jié)果，等價(jià)地叫做概念的外延定義，是合乎邏輯的.這就是說，相對(duì)于內(nèi)涵定義方式，數(shù)學(xué)概念還存在它的外延定義方式，即外延定義法.

外延定義是通過列舉概念的全部對(duì)象來下的定義.一般來說，如果某個(gè)屬概念劃分后所得的各個(gè)種概念都是已知的，那么可以用這些種概念來給這一屬概念下外延定義.在外延定義中，Ds是屬，而DP是Ds的諸鄰近種概念的總和.

(5)否定式定義.

否定式定義就是用否定一個(gè)概念或其本質(zhì)屬性的方法來給另一個(gè)概念下定義.例如，平行線就是用否定式給出的：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.”教材中用否定式定義的概念并不多，但這種方式也是比較典型的定義方式.

(6)描述性定義和公理定義.

描述性定義就是采用直觀地描述或與其他概念相類比的方法來闡述概念的意義.例如，對(duì)于“空間與圖形”中最基本的概念——點(diǎn)、線、面、體，教材就是采用實(shí)物描述的方式給出的：天上一顆顆閃爍的星星給我們以“點(diǎn)”的形象；劃過夜空的流星給我們以“點(diǎn)動(dòng)成線”的形象；打開折扇時(shí)，隨著扇骨的移動(dòng)形成一個(gè)扇面，給我們以“線動(dòng)成面”的形象；當(dāng)賓館的旋轉(zhuǎn)門轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，給我們以“面動(dòng)成體”的形象.再如，對(duì)于線段也是采用實(shí)物描述的方式給出的“拔河時(shí)，拉直的繩子，給我們一條線段的形象”.像這些沒有屬概念的數(shù)學(xué)原始概念，我們找不到能夠用來定義它們的已有概念，因而是不能按照“屬概念+種差”的基本公式給其以定義的概念，也叫做無定義概念.初中教材中涉及到的無定義概念還有數(shù)、量、自然數(shù)、值、運(yùn)算、點(diǎn)、線段、直線、圖形、平面、變換等.

公理定義方式，就是用公理來描述被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方式.通過揭示關(guān)于無定義概念的公理，讓學(xué)生從公理中細(xì)細(xì)琢磨體會(huì)概念所包含的意義，這種方式比較抽象，在初中一般不直接采用.在某些情況下，將其作為描述性定義的引申和輔助，也是有益的.例如，關(guān)于“直線”的公理“兩點(diǎn)確定一條直線”對(duì)幫助學(xué)生體會(huì)直線的本質(zhì)是有意義的.

(7)形式定義.

數(shù)學(xué)概念除去內(nèi)涵定義和外延定義，還存在一類形式定義的方式.

例如，“函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)叫做二次函數(shù)”就是形式定義.這樣的定義雖然能從其中分解出概念的內(nèi)涵，按規(guī)則作外延分類，但又不是從內(nèi)涵或外延出發(fā)而構(gòu)造相應(yīng)的模式，它的著眼點(diǎn)在于被定義概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu).

以上所述的各種定義方式，是從初中數(shù)學(xué)教材的實(shí)際出發(fā)，按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，分別加以總結(jié)的.這些定義方式在外延上并不都是并列關(guān)系，所以對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義在這些定義方式中的“座位”也不可能是唯一的.例如，“一元二次方程”這個(gè)概念可用屬加種差的方式定義，也可用形式定義方式來定義.

2.3 把握數(shù)學(xué)概念教學(xué)的宏觀策略

數(shù)學(xué)概念是一大類基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)概念的教學(xué)，要明確概念教學(xué)的宏觀策略：

(1)在思想上高度重視概念教學(xué)；

(2)注重?cái)?shù)學(xué)概念的過程教學(xué)；

(3)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)都要“凸顯”概念；

(4)明確概念教學(xué)的微觀做法.

對(duì)于一個(gè)具體的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)中要突出下面三個(gè)環(huán)節(jié)：

(1)概念的引入.

概念引入的常用方法有四種：

①用實(shí)際事例或?qū)嵨?、模型進(jìn)行介紹；

②在學(xué)生原有的基礎(chǔ)上引入新概念；

③從數(shù)學(xué)本身內(nèi)在需要引入概念；

④采用類比的方式.

(2)概念的形成.

數(shù)學(xué)概念是人們?cè)陂L期的生產(chǎn)實(shí)踐中，從事物的本質(zhì)出發(fā)總結(jié)出來的.學(xué)生通過概念引入階段的學(xué)習(xí)已經(jīng)對(duì)概念有了比較淺顯的感性認(rèn)識(shí)；通過概念形成階段的學(xué)習(xí)，在學(xué)生透徹理解概念本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語言給出概念的定義.

①剖析概念的本質(zhì)；

②講清概念的定義；

③掌握概念的符號(hào).

(3)概念的鞏固和發(fā)展.

①鞏固新概念；

②通過反例加深對(duì)概念的理解認(rèn)識(shí)；

③加深概念之間的相互聯(lián)系.

由于數(shù)學(xué)概念的種類繁多，關(guān)系復(fù)雜，其本質(zhì)屬性又各有千秋，從而形成了較多的定義方式.而對(duì)于用不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念，其教學(xué)的“程序”又不一樣.

3 數(shù)學(xué)定理教學(xué)問題

教師們對(duì)數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)論證教學(xué)的研究下功夫較多，發(fā)表的成果也多.這方面的選題很多，可以是關(guān)于數(shù)學(xué)定理教學(xué)的“大”問題，如為促進(jìn)學(xué)生推理能力的提高，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，筆者發(fā)表了下面一些關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)推理訓(xùn)練的理論文章：

(1)《合情推理的教學(xué)與研究》發(fā)表于《教書育人》2003年第8期；

(2)《應(yīng)重視合情推理的教學(xué)與研究》發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2003年第9期;

(3)《推理及常用的基本推理形式》《數(shù)學(xué)推理中的分析法》發(fā)表于《山東教育》2001年第3期；

(4)《數(shù)學(xué)定理的教學(xué)應(yīng)分三個(gè)階段進(jìn)行》發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2001年第6期；

(5)《深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練》發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2010年第6期.

對(duì)于定理的教學(xué)，我們面對(duì)的往往是關(guān)于一個(gè)具體定理的教學(xué)問題，例如，筆者發(fā)表在核心期刊《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》1998年的第11期上的關(guān)于《圓冪定理的教學(xué)設(shè)想》就是典型的代表.

案例2圓冪定理教學(xué)設(shè)想.

我們?cè)凇昂蛨A有關(guān)的比例線段”這一節(jié)中 ,學(xué)習(xí)了相交弦定理、切割線定理及其推論(可稱為割線定理).這三個(gè)定理常稱為圓冪定理.圓冪定理的教學(xué)教師要突出以下三點(diǎn).

3.1 讓學(xué)生明確切割線是統(tǒng)一的

圖1

我們知道圓的割線是與圓有兩個(gè)交點(diǎn)的一條直線，而圓的切線是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的一條直線.如圖1，直線PAB就是一條割線，PT就是一條切線.

在圖1中，當(dāng)割線PAB按箭頭方向繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(教師一定要設(shè)法演示這一過程)時(shí)，只要這條直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它就仍然是一條割線.例如圖1中的PA1B1還是一條割線.當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，直線與圓就只有一個(gè)交點(diǎn)了.這時(shí)直線的“質(zhì)”發(fā)生了變化：由割線變成了切線.所以我們說圓的切線是割線的一種特殊情況.

這種設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生體會(huì)“切割線”的關(guān)系：切線是割線的一種特殊情況，在割線的運(yùn)動(dòng)過程中，一旦與圓的交點(diǎn)由“兩個(gè)”變?yōu)橐粋€(gè)，直線的“性質(zhì)”就發(fā)生了變化.讓學(xué)生感悟到量變能引起質(zhì)變的規(guī)律.

3.2 從相交弦定理出發(fā)，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來統(tǒng)一認(rèn)知定理

圓冪三個(gè)定理之間的關(guān)系如圖2所示.

圖2

在教學(xué)中，要通過直觀演示引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)上述三個(gè)定理的“統(tǒng)一性”.

3.3 啟發(fā)學(xué)生理解定理的實(shí)質(zhì)

啟發(fā)學(xué)生回答點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，然后針對(duì)每一種情況分別討論定理的實(shí)質(zhì)，最后將其統(tǒng)一敘述為：

若過定點(diǎn)P作一動(dòng)直線與定圓⊙O(其半徑是R)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則PA·PB=|d2-R2|，常數(shù)|d2-R2|叫作定點(diǎn)P對(duì)定圓O的冪，這個(gè)結(jié)論就是圓冪定理.

4 數(shù)學(xué)命題教學(xué)問題

近年來，關(guān)于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)論證的研究較多，而對(duì)數(shù)學(xué)命題討論的則比較少，因此對(duì)數(shù)學(xué)命題教學(xué)進(jìn)行探究意義重大.中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的基本要求是：使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)命題的意義，明確其推導(dǎo)過程與適用范圍，并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決有關(guān)問題.

案例3數(shù)學(xué)命題教學(xué)宜分三步進(jìn)行.

筆者的《數(shù)學(xué)命題教學(xué)宜分三步進(jìn)行》發(fā)表在為數(shù)不多的數(shù)學(xué)核心期刊《數(shù)學(xué)通報(bào)》2003年第10期上.目前很多老師覺得在核心期刊上發(fā)表文章難，筆者的觀點(diǎn)是“只要下了功夫，就不難”.《數(shù)學(xué)命題教學(xué)宜分三步進(jìn)行》的主要觀點(diǎn)如下：

4.1 合理引入數(shù)學(xué)命題

(1)發(fā)現(xiàn)式實(shí)踐引入；

(2)用觀察、歸納的方法引入；

(3)根據(jù)實(shí)際的需要引入；

(4)由“矛盾”引入命題.

4.2 正確理解和證明命題

命題引入后，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題的條件、結(jié)論進(jìn)行剖析，探討其證明思路.在教學(xué)中主要搞清楚以下三個(gè)問題：

(1)切實(shí)分清命題的已知條件和結(jié)論；

(2)正確分析命題的證明思路，讓學(xué)生掌握證明的方法；

(3)注意命題的多種證法.

4.3 加強(qiáng)命題的應(yīng)用教學(xué)

數(shù)學(xué)中的定理、公式、法則等都是包攝程度較高的命題，應(yīng)用它們可以解決眾多的數(shù)學(xué)問題.命題的應(yīng)用教學(xué)是命題教學(xué)中必不可缺少的重要一環(huán).

5 數(shù)學(xué)解題教學(xué)問題

數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是一個(gè)重要部分，關(guān)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的問題，老師們最有發(fā)言權(quán)，可以寫很多文章.例如，筆者寫的《初中數(shù)學(xué)中常用的解題策略》就發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2002年第1期，后被人大2002年第10期全文轉(zhuǎn)載.

案例4初中數(shù)學(xué)中常用的解題策略.

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.”數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思維.”學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義.數(shù)學(xué)教學(xué)必須教給學(xué)生一定的常用的解題策略.初中學(xué)生常用的解題策略有：

(1)枚舉法；(2)模式識(shí)別法；(3)變更問題法；(4)中途點(diǎn)法；(5)以退求進(jìn)法；(6)先進(jìn)再退法；(7)正難則反法；(8)從整體看問題法.

數(shù)學(xué)習(xí)題的解題策略，遠(yuǎn)不止以上八種，這里介紹的僅是學(xué)習(xí)中常用的策略.另外，各種策略之間也不是完全孤立的，而是相互關(guān)聯(lián).因此，在學(xué)習(xí)中，要指導(dǎo)同學(xué)們學(xué)會(huì)綜合、合理地運(yùn)用它們，以達(dá)迅速、準(zhǔn)確解題的目的.實(shí)踐證明，在教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)解題策略的研究、總結(jié)，有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化與發(fā)展，這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的提高具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義.Z