吳潤文

(廣東省廣州市真光中學(xué),510380)

“深度學(xué)習(xí)”是觸及學(xué)生心靈的教學(xué),如何引起學(xué)生的理智興趣,使學(xué)習(xí)成為一件富有吸引力的事情,如何激發(fā)學(xué)生全身心地投入有思想、有情感、有創(chuàng)造力的活動.本文以2019年人教版新教材必修第一冊第四章“4.5.1函數(shù)的零點與方程的解”教學(xué)為例,探討如何發(fā)揮教師主導(dǎo)作用使學(xué)生主動積極的深度學(xué)習(xí)．

一、案例呈現(xiàn)

1.從具體函數(shù)引入概念

師:給出二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3.觀察它的圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)以及方程x2-2x-3=0的根有什么關(guān)系(圖1)?

生:二次函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)是-1和3,它們是方程x2-2x-3=0的根,即方程x2-2x-3=0的實數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．

師:與二次函數(shù)的零點一樣,對于一般函數(shù)f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.請同學(xué)們思考:函數(shù)y=f(x)的零點、方程f(x)=0的根、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間有何聯(lián)系?

生:函數(shù)的零點就是方程的根,也是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．

師:這就從兩個角度刻畫了函數(shù)y=f(x)的零點的特征．從代數(shù)方面而言,函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根;從幾何方面而言,函數(shù)y=f(x)的零點是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．這也是解決函數(shù)零點問題的兩種思路．

設(shè)計意圖新教材已經(jīng)在之前介紹過二次函數(shù)的零點的概念,是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,從觀察具體函數(shù)到總結(jié)一般規(guī)律,符合學(xué)生認(rèn)知水平．

2.探究新知環(huán)節(jié)

師:請同學(xué)們利用函數(shù)零點的概念解決以下問題.

練習(xí)1求下列函數(shù)的零點:

(1)f(x)=x+1；

(2)f(x)=x2-4x+3.

(3)f(x)=2x-4；

(4)f(x)=log2x-1.

練習(xí)2函數(shù)

的零點是______．

生1:通過解方程f(x)=0求出方程的根就是函數(shù)零點．

生2:也可以畫圖,函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)零點．

師:同學(xué)們用代數(shù)法解方程,或者用幾何法求圖象交點,都可較好地解決函數(shù)零點問題．如lnx+2x-6=0這樣不能用公式求解的方程,要研究其相應(yīng)函數(shù)的零點問題怎么辦呢?思考:函數(shù)f(x)=lnx+2x-6是否有零點?

生1:可以研究函數(shù)的圖象．函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖象與x軸有交點,就代表函數(shù)有零點(如圖2)．

生2:方程lnx+2x-6=0可以改寫為lnx=-2x+6,所以作出兩個圖象,它們也有一個交點(如圖3)．

師:兩位同學(xué)都是用幾何法作出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象找出零點.大家能總結(jié)一下這兩種畫圖的方法嗎?

生:方法1直接作出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).方法2由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個圖象公共點的個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點的個數(shù).

師:通過幾何法可知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6有零點,有幾個呢?為什么?

生:有一個.因為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以它只有一個零點．

師:對于這個問題,不妨還是從具體函數(shù)f(x)=x2-2x-3出發(fā),觀察它的圖象,發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2,4]上有零點．這時,函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?

生:可以發(fā)現(xiàn),在零點附近,函數(shù)圖象“穿過”x軸．

師:函數(shù)在端點x=2和x=4的取值有什么規(guī)律?

生:取值異號．

師:在區(qū)間[-2,0]上是否也有這種關(guān)系?你認(rèn)為應(yīng)如何利用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系?

生:因為f(2)f(4)<0,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(2,4)內(nèi)有零點x=3.同樣地,f(-2)f(0)<0,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(-2,0)內(nèi)有零點x=-1.

師:請同學(xué)們把結(jié)論推廣到一般函數(shù)．

在教師的引導(dǎo)下,通過小組合作歸納,得到函數(shù)零點的存在性定理(定理略).

師:根據(jù)存在性定理,應(yīng)如何解決函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在(1,3)上是否有零點?

生:因為f(1)f(3)<0,由函數(shù)零點的存在性定理可知,函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在(1,3)上至少有一個零點．函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以它只有一個零點．

設(shè)計意圖通過提供恰當(dāng)?shù)摹敖虒W(xué)材料”,幫助學(xué)生“親身”經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與構(gòu)建過程,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體．

3.鞏固拓展，深度學(xué)習(xí)

(1)定理理解

練習(xí)1若f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點． ( )

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,則f(a)f(b)<0． ( )

若f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點． ( )

(2)定理運用

練習(xí)2判斷函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點所在區(qū)間( )

(A)(-1,0) (B)(0,1)

(C)(1,2) (D)(2,3)

例1已知f(x)=2|x-1|+x-a,若函數(shù)有且僅有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生小組合作探究得到幾何和代數(shù)兩種方法(解題過程略).

(3) 深度學(xué)習(xí)

設(shè)計意圖在有難度、有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)任務(wù)面前,學(xué)生感到自己是活動的主體,能夠獨立操作這些內(nèi)容,從而引發(fā)學(xué)生積極主動地深度學(xué)習(xí)．

二、教學(xué)思考及建議

1.確定促進(jìn)學(xué)生自覺發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”

要確定最近發(fā)展區(qū),前提是要確定學(xué)生現(xiàn)在知道什么、能做什么、對什么有興趣,能夠操作什么內(nèi)容、能夠以什么方式完成什么樣的活動，等等．以本節(jié)課為例,學(xué)生首先學(xué)習(xí)二次函數(shù)的零點概念,但對概念產(chǎn)生的原因以及作用都不清楚,理解停留在淺層學(xué)習(xí)上．故設(shè)計具體的二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3,讓學(xué)生觀察它的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)與方程x2-2x-3=0的根有什么關(guān)系.從具體到一般,學(xué)生很容易接受函數(shù)零點概念的兩個特征,一是從代數(shù)方面:函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根;二是從幾何方面:函數(shù)y=f(x)的零點是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)．然后拋出具有難度有挑戰(zhàn)性的問題:函數(shù)f(x)=lnx+2x-6是否有零點?激發(fā)學(xué)生的求知欲．這就體現(xiàn)教師的作用在于幫助學(xué)生作為主體去挑戰(zhàn)困難、克服困難,從現(xiàn)有水平主動積極地走向未來水平．

2.幫助學(xué)生真正成為教學(xué)主體

教師的作用在于幫助學(xué)生“親身”經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程,使學(xué)生成為教學(xué)主體．以本節(jié)課為例,教學(xué)設(shè)計還是從具體函數(shù)f(x)=x2-2x-3出發(fā),觀察它的圖象,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2,4]上有零點,接著追問:函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?函數(shù)在端點x=2和x=4的取值有什么規(guī)律?然后通過小組合作探索并歸納總結(jié)出函數(shù)零點的存在性定理．無論從學(xué)生的經(jīng)驗積累以及認(rèn)知能力看,蘊藏在概念與原理背后的思想幾乎不可能依靠學(xué)生去獨立發(fā)現(xiàn),時間也不允許．?dāng)?shù)學(xué)課堂上,教師如同向?qū)б粯?很多時候更象是帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)王國里一邊欣賞風(fēng)景一邊做解說,學(xué)生需要聚精會神緊跟著教師的思路往前走,而當(dāng)教師將隱藏在概念與原理背后的思想展露無遺后,學(xué)生應(yīng)該能夠水到渠成地完成歸納與總結(jié),得出最后的結(jié)論．

3.挖掘?qū)W生的智慧潛能,引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的任務(wù)是讓學(xué)生達(dá)到未來的水平,這個未來的水平比學(xué)生現(xiàn)有水平要高得多．要達(dá)到這樣的水平,就必須學(xué)習(xí)有困難的內(nèi)容、完成有挑戰(zhàn)的任務(wù),即維果茨基所說的“教學(xué)要走在發(fā)展的前面”,具體表現(xiàn)為贊科夫所表述的“高難度進(jìn)行的教學(xué)”．本節(jié)課設(shè)計的兩個問題，例題1和2就是這樣具有挑戰(zhàn)有難度的學(xué)習(xí)任務(wù)．學(xué)生伴隨著與老師、同學(xué)的交流、溝通、合作、啟發(fā)、競爭等活動,深入積極的探討學(xué)習(xí),成功地完成學(xué)習(xí)任務(wù)．事實證明,只要方法得當(dāng),每個學(xué)生都能夠從低級知識出發(fā)走向高級知識的學(xué)習(xí)．要做到這樣的深度學(xué)習(xí),離不開教師的主導(dǎo)作用,教師應(yīng)當(dāng)做到與學(xué)生進(jìn)行順暢的溝通與交流,營造民主、平等的教學(xué)氛圍,關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),及時調(diào)整教學(xué)進(jìn)度及策略,以期更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展．