邱鈺童 嚴(yán)亞強(qiáng)

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,215006)

數(shù)學(xué)閱讀理解題作為考查學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的“新題型”,注重通性通法的提煉,促進(jìn)學(xué)生閱讀自學(xué),體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性,必將在新高考的考查中發(fā)揮不可替代的作用．由此可見有針對(duì)性地編擬與教材配套的數(shù)學(xué)閱讀理解題的工作迫在眉睫．配套習(xí)題的使用,可以消除學(xué)生對(duì)于此類題型的陌生感,在熟悉“閱讀理解”模式的同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué),做好“思維的體操”．本文對(duì)此進(jìn)行探討.

一、閱讀理解題的內(nèi)涵、價(jià)值和編擬現(xiàn)狀

1.內(nèi)涵與價(jià)值

馬云鵬等人指出:“數(shù)學(xué)閱讀理解題是指在閱讀一段數(shù)學(xué)描述之后,按照某一指定要求進(jìn)行作答、側(cè)重考查分析理解能力的一種題型”[1].閱讀理解的過程是建立在分析材料基礎(chǔ)上對(duì)問題的理解與知識(shí)的遷移,一方面考查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和應(yīng)用,又能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高[2].經(jīng)過有效的閱讀理解題練習(xí),數(shù)學(xué)閱讀理解題可以發(fā)展為一種自適應(yīng)學(xué)習(xí),它們或是滲透某些數(shù)學(xué)方法,或體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想,或提供某些重要結(jié)論,對(duì)提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、概括遷移能力、邏輯推理和歸納分析能力有著重要的積極作用,所以,深入研究閱讀理解具有現(xiàn)代教育意義．

2.編擬現(xiàn)狀

編擬數(shù)學(xué)閱讀理解題常用的技巧很多,一般認(rèn)為，以過程檢查的方式編擬、以方法遷移的方式編擬和以定義新運(yùn)算、新概念的方式編擬是最常用、最有效的三種方法．本研究在此基礎(chǔ)上增加以課本習(xí)題改編的方式編擬、以數(shù)學(xué)文化再創(chuàng)造的方式編擬兩種方法．另外進(jìn)行習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí),為了有效地幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)與技能,考慮到題目的專題性、模仿性、集中性,還應(yīng)該有一定的重復(fù)性．同時(shí)發(fā)揮習(xí)題的知識(shí)、育人與評(píng)價(jià)功能．

二、數(shù)學(xué)閱讀理解題編擬的常用方式

1.以過程檢查的方式編擬

習(xí)題1在學(xué)習(xí)了集合的基本運(yùn)算后,老師要求同學(xué)解決如下問題:設(shè)A={x|x2-x-6=0},B={x|2ax+1=0},若A∩B=B,求符合條件的a有多少個(gè)?

一個(gè)學(xué)生給出的解法如下:

請(qǐng)指出該解法的錯(cuò)誤之處,并給出正確解法.

評(píng)析本題與人教A版必修一第1章“集合與常用的邏輯用語”配套,主要考查學(xué)生對(duì)于集合知識(shí)點(diǎn)的掌握程度,考查學(xué)生的批判性思維．這類改錯(cuò)題常常涉及錯(cuò)誤樣例的識(shí)別與改正．Tennyson Cocchiarella以及Bransford和Schwartz的研究發(fā)現(xiàn),錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)是非常有效的[3].GroBe和Renkl研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),正、誤樣例的學(xué)習(xí)才對(duì)遷移成績(jī)有積極的作用[4].編擬這一類閱讀理解題，一方面可增加后續(xù)正確解法的可能性;另一方面降低錯(cuò)誤解法的可能性,提高學(xué)習(xí)的效果．

2.以方法遷移的方式編擬

習(xí)題2互為反函數(shù)的指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;而所有偶函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱．現(xiàn)在我們定義:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,即已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,?x∈D,若y=f(x),x=f(y)也成立,則稱函數(shù)f(x)為“自反函數(shù)”．顯然斜率為-1的直線所確定的一次函數(shù)都是“自反函數(shù)”,它們都為單調(diào)遞減的函數(shù)．請(qǐng)舉出一種自反函數(shù),并說出它的基本性質(zhì)．

評(píng)析本題與人教A版必修一第4章“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”配套，要求學(xué)生考慮函數(shù)及其反函數(shù)性質(zhì)的同時(shí),需要抓住反函數(shù)的基本性質(zhì)——?x∈D,若y=f(x),則x=f(y),篩選一些已經(jīng)學(xué)習(xí)過的初等函數(shù)．此類題著重考查學(xué)生的概括遷移能力和分析歸納能力．?dāng)?shù)學(xué)中“遷移”的核心是類比,通過類比被模仿對(duì)象解決問題．TIMSS報(bào)告揭示,許多學(xué)生不能以類比進(jìn)行推理,他們看不見數(shù)學(xué)思想之間的結(jié)合與聯(lián)系,不能用已有的理解去把握新情境．因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行方法遷移非常重要,是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本過程．

3.以定義新運(yùn)算、新概念的方式編擬

習(xí)題3已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={(x，y)|x∈A,y∈A,x，y∈A},則集合B中所含元素的個(gè)數(shù)為______.

評(píng)析本題與人教A版必修一第1章“集合與常用的邏輯用語”配套．定義一個(gè)新運(yùn)算,或定義一個(gè)新概念,然后解決一個(gè)與之相匹配的數(shù)學(xué)問題,采用這一方法編制的閱讀理解題,是考查學(xué)生理解能力的有效方式．但應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是,所要定義的新運(yùn)算、新概念應(yīng)當(dāng)是中學(xué)生能夠理解的,不能將大學(xué)中的高等數(shù)學(xué)知識(shí)作簡(jiǎn)單下移式處理就來編題．與上題類似的,高考中常常以集合與命題知識(shí)為依托,既能考查學(xué)生的理解、遷移知識(shí)的能力,又能考查學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力．

4.以課本習(xí)題改編的方式編擬

習(xí)題4函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x圖象的對(duì)稱中心;

(2)類比寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論；

(3)試寫出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對(duì)稱的充要條件.

評(píng)析本題知識(shí)源自人教A版第3章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的拓廣探索第13題.學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性時(shí),書中并沒有直接展示這一定理,本習(xí)題以閱讀材料的形式開宗明義,滲透已學(xué)奇偶性中有關(guān)對(duì)稱性的一般化結(jié)論．第(3)題進(jìn)一步把一個(gè)函數(shù)本身的中心對(duì)稱問題推廣到兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步積極思考、主動(dòng)探索,從而得出結(jié)論．而此類題更是給學(xué)生提高一般化的研究思路與方法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分析問題,解決問題．

5.以數(shù)學(xué)文化再創(chuàng)造的方式編擬

(1)如圖2,在斜邊上內(nèi)接正方形(弦上容方),請(qǐng)計(jì)算內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)y；

(2)比較兩種方式,在直角三角形內(nèi),哪一種內(nèi)接正方形面積最大?

評(píng)析本習(xí)題基于人教A版第2章“一元二次函數(shù)、方程與不等式”的內(nèi)容，進(jìn)行“基本不等式”的知識(shí)考查.基本不等式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,關(guān)系深刻,在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位．以上借助“勾股容方”問題設(shè)計(jì)分層問題,一是數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南；二是在基本不等式的教學(xué)中,配套習(xí)題多為常規(guī)的應(yīng)用題,簡(jiǎn)單的證明題,使用有數(shù)學(xué)史料的習(xí)題,可加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解,幫助學(xué)生對(duì)比古今思想方法,拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí),進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的再創(chuàng)造．

三、小結(jié)與反思

1.不必片面追求“大容量”練習(xí)

作為新題型的一種,數(shù)學(xué)閱讀理解題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種形式,往往在表述上有較大的閱讀量,很多教師為了迎合當(dāng)下命題趨勢(shì),在命題上常常對(duì)“一手閱讀材料”簡(jiǎn)單下移式處理,視覺上顯現(xiàn)“大容量”,形式上貌似“大手筆”,這是風(fēng)格的堅(jiān)守還是命題的八股呢?正如章建躍教授所言:真正的數(shù)學(xué)題應(yīng)該滿足一些基本條件,例如，反映數(shù)學(xué)本質(zhì),與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),不糾纏于細(xì)枝末節(jié),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有發(fā)展性,表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等特點(diǎn)．在編擬習(xí)題時(shí),一方面堅(jiān)決落實(shí)知識(shí)、能力的考查需求,另一方面需要因題而異,因知識(shí)點(diǎn)而異,對(duì)細(xì)枝末節(jié)進(jìn)行適當(dāng)?shù)男藜簦槐乜桃庵魂P(guān)注理解能力考查,理解能力的考查也不必只體現(xiàn)在文字閱讀量及其理解上．

2.注重教學(xué)導(dǎo)向

編擬配套課本的數(shù)學(xué)閱讀理解題,不僅僅是為了讓學(xué)生適應(yīng)“材料——閱讀”的模式,更應(yīng)該借助由教師的精心設(shè)計(jì)將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”．可以是利用“材料”設(shè)計(jì)問題鏈形式,深挖變式,鞏固知識(shí),也可以是利用閱讀理解題引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué),帶著數(shù)學(xué)的眼光,學(xué)會(huì)一種思路,學(xué)習(xí)一種方法．“教師不應(yīng)是教課本而是用課本去教”,充分發(fā)揮課本練習(xí)的功能,在教學(xué)上狠下功夫,提升學(xué)生關(guān)鍵能力．要?jiǎng)?chuàng)造條件,給學(xué)生閱讀空間．四基四能的核心在于活動(dòng)平臺(tái),在觀念上改變過度(刻意挖掘深度)的機(jī)械訓(xùn)練;另外，還要重視學(xué)生基本綜合能力,從閱讀的知識(shí)遷移到創(chuàng)新層面進(jìn)行能力培養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生的思維再上更高的臺(tái)階．

3.辯證理解“新”與“舊”

新題型中的“新”是一個(gè)相對(duì)概念,幾年后也許不能再稱為“新”了．這些題型有什么教育教學(xué)價(jià)值?這些題型如何設(shè)計(jì)?如何教學(xué)?如何評(píng)價(jià)?……從這個(gè)角度看,傳統(tǒng)題型教育教學(xué)有太多的優(yōu)勢(shì),而新題型教育教學(xué)又有太多的不足,但這條路總應(yīng)該有人去開拓、去探路,愿做探索之路上一塊小小的路標(biāo)．從某種意義上說，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)題型教育教學(xué)的優(yōu)勢(shì)之處也就是它相對(duì)的劣勢(shì)之處,新題型教育教學(xué)的成功之處也就是它相對(duì)的不足之處.可以斷言兩者的有機(jī)結(jié)合一定會(huì)超越任何一方,是更適應(yīng)當(dāng)代社會(huì)需求的教與學(xué)[6].