南京師范大學(xué)附屬中學(xué) (210003) 孫風(fēng)建 孫居國(guó)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，僅關(guān)注事實(shí)性結(jié)論或解題技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，如果學(xué)生能學(xué)會(huì)對(duì)問題的深度思考，便可經(jīng)歷從猜測(cè)到驗(yàn)證、從局部到整體、從現(xiàn)象到本質(zhì)的思維過程，使碎片化的知識(shí)更加系統(tǒng)化.如何見微知著，形成邏輯嚴(yán)密的整體性思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度思考值得研究.本文以“數(shù)量積幾何意義”的探究經(jīng)歷示例說明.

1 “見”形，“知”數(shù)，“思”意義

圖1

引進(jìn)向量坐標(biāo)，用代數(shù)的方法即解析法解決幾何問題，這是解決向量問題的重要方法，但求解之后不禁要問：

2 “見”交點(diǎn)，“知”最值，“思”射影

提出問題相當(dāng)于啟動(dòng)了探索的新路徑，如果提出的問題有深度，就需要分步探究如何解決.因?yàn)閷?duì)結(jié)果的未知，嘗試的方案需要持續(xù)的試探、調(diào)整、論證甚至推翻重建, 但這是這樣一個(gè)迭代優(yōu)化的過程才讓火熱的思考發(fā)生，探究才會(huì)真正深入，思維才有可能達(dá)到新的高度.

對(duì)于問題1，易想到點(diǎn)P會(huì)不會(huì)是AB連線和直線OM的交點(diǎn)，但驗(yàn)證不成立.于是想到會(huì)不會(huì)與點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線OM上的射影點(diǎn)有關(guān)？

圖2

易得當(dāng)點(diǎn)A、B在直線OM同側(cè)時(shí)，結(jié)論依然成立(如圖3)從而推廣本題可以得到以下：

圖3

由此可得如下的結(jié)論：

3 “見”向量點(diǎn)乘，“知”幾何意義，“思”圓的性質(zhì)

探究2 如圖4，在上述問題中以AB為直徑作圓G，若圓G與直線OM相交，交點(diǎn)分別記為E、F點(diǎn)，則EF的中點(diǎn)即為CD的中點(diǎn).

圖4 圖5 圖6

有了上面這的結(jié)論，其幾何意義的已經(jīng)十分明朗了.

如圖6，以AB為直徑作圓G，交直線OM與E、F兩點(diǎn)，連BP延長(zhǎng)BP交圓G與點(diǎn)K，連AK，則AK⊥KB.

4 “見”結(jié)構(gòu)良好，“知”結(jié)構(gòu)不良，“思”一般結(jié)論

當(dāng)結(jié)構(gòu)良好的問題逐步解決后，是否可能變換已知條件，從而使已生成的結(jié)論部分成立，甚至不再成立，探究新條件下的解答會(huì)讓問題更具挑戰(zhàn)，簡(jiǎn)單的方法模仿或單一維度的思考已經(jīng)很難解決新問題，這也進(jìn)一步促進(jìn)了思考的深入.

拓展思考如果以AB為直徑的圓與直線OM沒有交點(diǎn)怎么辦？即如果點(diǎn)A、B在直線OM的同側(cè)，那么其幾何意義是什么？

圖7 圖8

這些結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.到此，通過歸納猜想、驗(yàn)證，圓滿地解決了平面上兩定點(diǎn)A、B與一條直線上動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)成的向量的數(shù)量積的最小值以及其幾何意義，當(dāng)讓點(diǎn)如果點(diǎn)A、B是定圓的動(dòng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，結(jié)論依然成立.

5 “見”直線，“知”曲線，“思”解析幾何

以上探究仍讓人有點(diǎn)意猶未盡的感覺，不僅心存疑惑.

如果點(diǎn)M不在定直線上運(yùn)動(dòng)，而在曲線上運(yùn)動(dòng)，如圓、或圓錐曲線上(或函數(shù)圖象)，又會(huì)有怎樣的結(jié)論？

圖9 圖10 圖11

其他位置關(guān)系，請(qǐng)讀者自行研究.

探究4 當(dāng)點(diǎn)P在橢圓和雙曲線以及拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖12—14，結(jié)論如下：

圖12 圖13 圖14

其它情形，大家可以自行研究.

6 “見”靜止，“知”運(yùn)動(dòng)，“思”軌跡

圖15 圖16 圖17

7 結(jié)語

整個(gè)探究，沿著“提出問題到取得最值的位置探究，再到幾何意義追尋，變換動(dòng)點(diǎn)的軌跡后再探幾何意義，最后回到直線，讓直線動(dòng)起來后探尋最值點(diǎn)的軌跡”這一思考路徑進(jìn)行.思維外顯便于師生更高層面的思維互動(dòng)，深化對(duì)數(shù)量積以及幾何意義、圓冪定理、軌跡方程等概念的理解，螺旋推進(jìn)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)問題本質(zhì)(定點(diǎn)AB中點(diǎn)G到動(dòng)點(diǎn)P所在直線或曲線的最近的點(diǎn))的探尋.

“見”形“知”數(shù)“思”軌跡，“見”結(jié)構(gòu)良好而“知”結(jié)構(gòu)不良，“思”一般結(jié)論的過程，依靠邏輯推理能力的支撐，學(xué)生逐步看清問題本質(zhì)、突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)深度探究，完成從特殊向一般的數(shù)學(xué)抽象,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).學(xué)生能關(guān)注知識(shí)廣度和深度的同時(shí)，充分理解知識(shí)間的關(guān)聯(lián)度， 清晰地感受知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，將碎片化的知識(shí)體系化, 提升數(shù)學(xué)“整體觀”.創(chuàng)造條件讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題的過程，真切感受“冰冷”的數(shù)學(xué)結(jié)論里所掩藏的“火熱”思考，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn) “四基”、“四能”向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.