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        構造齊次式巧解解幾中的斜率之和(積)問題

        2022-04-11 10:15:14江蘇省如皋中學226500曹春茂
        中學數(shù)學研究(江西) 2022年4期
        關鍵詞:直角坐標原點定值

        江蘇省如皋中學 (226500) 曹春茂

        分析、解決直線與圓錐曲線交匯中,具有公共點的兩條直線的斜率之和或斜率之積問題時,我們經(jīng)常采用的就是“設而不求”技巧,對字母形式的代數(shù)運算以及推理能力的要求較高.為了簡化運算,優(yōu)化解題思維過程,現(xiàn)給出一種具有創(chuàng)新性的方法——在適當建立新的平面直角坐標系的基礎上,借助“構造齊次式”,可巧妙處理此類問題.這種創(chuàng)新方法能夠引導我們不斷探索新穎別致的解法,培養(yǎng)探索精神,同時可幫助我們提升數(shù)學核心素養(yǎng).

        典型問題已知P是平面內的一個定點,圓錐曲線C上有兩動點A,B,證明:直線PA與PB斜率之和(或積)為定值.

        解題步驟:(1)在公共點P處建立新的平面直角坐標系(橫軸與原來的橫軸平行或重合,正方向相同;縱軸與原來的縱軸平行或重合,正方向相同),則可將原問題等價轉化為在新系下,證明直線PA與PB斜率之和(或積)為定值.

        特別注意:若給定直線PA與PB斜率之和(或積)為定值,證明直線AB恒過定點.需要先在新系下,證明直線AB恒過定點;再在原坐標系下,具體分析定點的坐標.

        圖1

        (2)當直線PQ經(jīng)過坐標原點時,易知直線AP與AQ斜率之和為2.

        圖2

        在新系下,設直線PQ的方程為mx+ny=1,則根據(jù)直線PQ經(jīng)過點(1,2)可得m+2n=1.

        (1)求C的方程;(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.

        (2)先分析直線l不經(jīng)過坐標原點的情形.

        圖3

        評注:第(2)問巧解,首先是在新坐標系下,通過“構造齊次式”,結合題設得到參數(shù)m,n滿足的關系式2m-2n=1,進而得到直線l過定點(2,-2);然后回歸到原坐標系下,即可順利獲得直線l過定點(2,-1).

        (1)求拋物線的方程;(2)已知C(0,-2),若直線y=kx+2與拋物線交于A,B兩點,記直線CA,CB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2+k2為定值.

        解析:(1)易得拋物線方程為x2=2y(過程略).

        圖4

        (2)如圖4,在點C處建立新的直角坐標系x′Cy,則在新系下拋物線方程為x2=2(y-2).易知直線AB不經(jīng)過坐標原點.

        (1)求直線AB的斜率;(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.

        解析:(1)直線AB的斜率為1(過程略).

        若直線AB經(jīng)過坐標原點,則易知A與B的坐標分別為(0,0),(4,4),又因為點M(2,1),所以易檢驗知此時AM⊥BM不成立,從而必有直線AB不經(jīng)過坐標原點.

        圖5

        在新系下,設直線AB的方程為mx+ny=1.

        評注:一般地,若在點(a,b)處建立新的平面直角坐標系,則原來的拋物線x2=2py,在新系下拋物線的方程為(x+a)2=2p(y+b);新系下的曲線方程f(x,y)=0,在xOy坐標系下曲線方程變?yōu)閒(x-a,y-b)=0.

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