重慶市銅梁二中 (402560) 李 波

1 試題呈現(xiàn)與條件分析

(2021年11月綿陽一診理科題)在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，c=3，從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)：①btanC=(2a-b)tanB；②2ccosB=2a-b；③accosA+a2(cosC-1)=b2-c2，解答如下問題.

(2)若AB邊上的點(diǎn)P滿足AP=2PB，求線段CP的長度的最大值.

在結(jié)構(gòu)不良問題中，備選條件是從已有條件通向需解決問題的一座橋梁，因此，有必要先弄清楚備選條件究竟為問題的解決提供了什么條件或工具.下面逐個(gè)分析各備選條件.

根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)，合理利用正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化使問題迎刃而解.一般而言，等式中僅出現(xiàn)余弦與邊時(shí)，可采用余弦定理把余弦用邊表示；等式中的邊是齊次式時(shí)，可考慮用正弦定理把邊用角表示.同時(shí)，也要注意三角恒等變換，三角形固有的性質(zhì)(三角形內(nèi)角和為180°，三角形的射影定理等)的靈活使用.

2 解法探究

2.1 第(1)問的解答

2.2 第(2)問的解答

由于AP=2PB，AB=3，則PB=1.

評注：運(yùn)用第(1)問的結(jié)果，將CP2轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題求解.此解法中，第(2)問作為第(1)問的自然延續(xù)，符合問題串式的命題原則.

評注：由余弦定理得到CP2的關(guān)系式，結(jié)合這些等式將CP2用三角函數(shù)表示，其中用到的積化和差公式可能是學(xué)生比較生疏的知識點(diǎn).

圖1

評注：由于角C及其對邊c固定，聯(lián)想到外接圓模型，并巧妙地把所求線段放到三角形中構(gòu)造不等式求解.最后用余弦定理驗(yàn)證：當(dāng)P,O,C共線時(shí)，△ABC為銳角三角形.這是有必要的.

3 結(jié)語

廣義的結(jié)構(gòu)不良問題是現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究的內(nèi)容.數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)不良問題往往是指問題的起點(diǎn)和目標(biāo)明確，提供若干解決問題的途徑且預(yù)先不知道那種最優(yōu)，但都能達(dá)到目標(biāo)的一類題型，是近幾年高考中出現(xiàn)頻率較高的一種題型.這種結(jié)構(gòu)不良問題有利于展現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味性，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值，啟迪數(shù)學(xué)智慧，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這與高中數(shù)學(xué)課程的基本理念不謀而合.另一方面，對同一個(gè)問題變換不同的視角尋求不同的解決方案，可以開拓思維視野，提升思維品質(zhì)，將相關(guān)知識融合在一起，有利于學(xué)生從整體上把握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求.