耿志超 趙紀(jì)坤
(鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450066)
高等數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的大學(xué)基礎(chǔ)課程。物理、化學(xué)、機(jī)械、建筑及人工智能等理工學(xué)科,都需有高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)才能夠進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和研究。人文社會(huì)科學(xué)也需要借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換視角、融入理性思考,從而帶來(lái)新發(fā)現(xiàn)。然而,高等數(shù)學(xué)具有高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性等特點(diǎn)。這使得許多大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常常感到晦澀難懂、因而缺乏興趣,甚至懼怕。作為承擔(dān)高等數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的一線教師,要保證教學(xué)效果需要在“夯實(shí)專(zhuān)業(yè)素質(zhì)”和“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情”兩個(gè)方面下功夫。
在專(zhuān)業(yè)素質(zhì)上,要做到“實(shí)力過(guò)硬”。具體表現(xiàn)為,一方面,要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí),并不斷地充實(shí)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)庫(kù)。另一方面,要清楚地了解涵蓋小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)以及研究生階段的完整數(shù)學(xué)體系,了解各個(gè)階段的學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)能力要求。特別是,隨著中學(xué)教育改革的深入以及高等教育的普及化,高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的界限逐漸模糊,中學(xué)教材中逐漸出現(xiàn)一些高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)[1]。這就要求教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,適時(shí)地從高等數(shù)學(xué)的角度重新審視一些中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣既能提高教學(xué)效果,又能與學(xué)生產(chǎn)生共鳴。比如,關(guān)于不等式的證明,中學(xué)多用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、分析法以及導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性等方法[2];而高等數(shù)學(xué)中除了用導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性外,還常用微分中值定理、泰勒展開(kāi)式以及利用柯西不等式、伯努利不等式等特殊不等式的結(jié)論來(lái)證明不等式。
在激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情上,作者認(rèn)為可以考慮以下幾個(gè)方面。
課堂是教師傳授知識(shí)的最重要場(chǎng)所,高效的課堂教學(xué)是保證教學(xué)質(zhì)量的必要條件。講課對(duì)教師而言是一門(mén)藝術(shù),講課技巧和藝術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教師而言尤為重要。如何才能將枯燥深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)生動(dòng)形象地講出來(lái),是對(duì)數(shù)學(xué)教師的最高要求。
筆者認(rèn)為,講課要做到“生動(dòng)”:首先,需要注意語(yǔ)言表達(dá)。盡量用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言講解數(shù)學(xué)定義、公式及定理等,忌諱語(yǔ)言表達(dá)啰唆、詞不達(dá)意。經(jīng)常有這樣的情況發(fā)生,教師已經(jīng)花了很長(zhǎng)時(shí)間講解某個(gè)知識(shí)點(diǎn),學(xué)生仍一頭霧水。究其原因在于,教師可能對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有深層次的理解或無(wú)法用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行表述。前者需進(jìn)一步修煉“內(nèi)功”,后者需提升“外力”。筆者的經(jīng)驗(yàn)是,每當(dāng)講到較難的知識(shí)點(diǎn)時(shí),會(huì)有意識(shí)地觀察學(xué)生的神情變化。一旦發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生的臉上呈現(xiàn)困惑之意,就會(huì)提醒自己此處沒(méi)有講透徹,要及時(shí)改用更簡(jiǎn)單的語(yǔ)言來(lái)表述,并在課后重新審視對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解是否真正抓住了本質(zhì)。比如,在講泰勒公式時(shí),曾經(jīng)有學(xué)生問(wèn)道,泰勒公式形式如此復(fù)雜,到底是要揭示什么現(xiàn)象。筆者突然意識(shí)到,可能自己過(guò)于注重公式本身地講解了,而沒(méi)明確指出“泰勒公式實(shí)質(zhì)是用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)近似相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)”。
其次,需要注意語(yǔ)調(diào)語(yǔ)速的變化。盡管給大學(xué)生講課不必像給小學(xué)生講課那樣聲情并茂,但適當(dāng)?shù)刈兓Z(yǔ)調(diào)語(yǔ)速還是必要的,這樣有助于調(diào)節(jié)課堂氛圍。如果教師整節(jié)課始終保持不變的平和語(yǔ)調(diào)語(yǔ)速,可能會(huì)使學(xué)生感覺(jué)平淡,甚至可能“催眠”一些學(xué)生。筆者的做法是,當(dāng)看到有學(xué)生注意力不集中時(shí),就故意提高嗓門(mén)用以提醒;當(dāng)講解到重要知識(shí)點(diǎn)時(shí),又故意降低語(yǔ)速拉長(zhǎng)聲音用以引起學(xué)生的重視。
筆者認(rèn)為,講課要做到“形象”:需要注意將數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活相結(jié)合,多用生活例子來(lái)打比方。這樣可以使學(xué)生輕松理解相關(guān)數(shù)學(xué)原理。比如,在講復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t和不定積分的湊微分法則時(shí),筆者常用收到朋友送的生日禮物和為朋友準(zhǔn)備生日禮物來(lái)打比方。求復(fù)合函數(shù)y=f[u(x)]的導(dǎo)數(shù),如同收到朋友送的生日禮物后,迫不及待地打開(kāi)盒子——對(duì)外函數(shù)求導(dǎo)數(shù)f'[u(x)],卻發(fā)現(xiàn)里面還有個(gè)小盒子,接著打開(kāi)小盒子——對(duì)內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)u'(x),終于精美的禮品展現(xiàn)在了面前,很是感動(dòng)!而計(jì)算不定積分∫f(u(x))u'(x)dx,又如同為朋友準(zhǔn)備生日禮物,先用小盒子裝起來(lái)∫f(u(x))du(x),因擔(dān)心在運(yùn)送的過(guò)程中禮物受損,再把小盒子裝進(jìn)了一個(gè)大盒子中。再比如,在講到格林公式時(shí),筆者常用外表與內(nèi)心之間的關(guān)系來(lái)打比方。格林公式的左端是沿曲線封閉曲線L進(jìn)行積分,如同人的外表;格林公式的右端是對(duì)L包圍的平面區(qū)域D進(jìn)行積分,如同人的內(nèi)心。格林公式連接了L上的曲線積分與D內(nèi)的二重積分,這就如同一個(gè)人的外表與內(nèi)心是相伴相隨的。既擁有美麗的外表,又擁有善良的內(nèi)心,是每個(gè)人的愿望。但是,當(dāng)父母沒(méi)有給自己帶來(lái)美麗的外表時(shí),也要時(shí)刻保持一顆善良的心。
課后輔導(dǎo)是輔助課堂教學(xué)的有效手段。教師課后輔導(dǎo)可以采取批改作業(yè)、答疑、與學(xué)生談心等多種方式。但筆者認(rèn)為,最有效的方式是,借助一些典型題目叫學(xué)生發(fā)表不同意見(jiàn),定期進(jìn)行討論,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情。這盡管會(huì)占用教師的部分業(yè)余時(shí)間,但對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果很有作用。筆者的做法是,專(zhuān)門(mén)建立了班級(jí)微信群,定期圍繞相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行討論。比如,在初學(xué)用精確定義(∈-N說(shuō)法)證明數(shù)列極限問(wèn)題時(shí),學(xué)生常常無(wú)法準(zhǔn)確地確定N的值。針對(duì)此種情況,筆者精選了一道題目[3]:用定義證明數(shù)列}的極限等于1,供學(xué)生討論。 許多學(xué)生給出了自己的證明方法,其中一種有代表性的錯(cuò)誤證法如下:
這種證法表面上看起來(lái)沒(méi)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是錯(cuò)誤的。因?yàn)?,?dāng)ε≤1時(shí),上面選擇的沒(méi)有意義。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的原因是,證明過(guò)程中不恰當(dāng)?shù)姆糯?,?dǎo)致放大后的量的極限不再等于零了,自然地不會(huì)再恒小于∈了。 通過(guò)討論,學(xué)生普遍認(rèn)識(shí)到了,在利用定義證明數(shù)列極限時(shí),鑒于N的值的不唯一性,為了更容易地確定N的值,可以在保證數(shù)列通項(xiàng)與極限值之差的絕對(duì)值的極限是無(wú)窮小量的前提下進(jìn)行適當(dāng)放大。
再比如,在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),一般的思路是:先分別利用定義求出該點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),再驗(yàn)證左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)是否相等,從而確定函數(shù)在該點(diǎn)處的可導(dǎo)性。不過(guò)曾經(jīng)就有同學(xué)對(duì)此提出了不同意見(jiàn),他認(rèn)為還有其他更有效的求導(dǎo)數(shù)方法。筆者首先肯定了該同學(xué)的探究精神,然后在班級(jí)微信群里給出了如下題目[4]:
筆者的評(píng)價(jià)是,這道題采用上面這種方法來(lái)求解是正確的,但是它不具有通用性。這種方法是基于導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的極限之間的關(guān)系進(jìn)行了。事實(shí)上,可以證明右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限之間存在如下關(guān)系:
同樣地,左導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的左極限之間也存在類(lèi)似關(guān)系。但是上面的結(jié)論的逆命題不正確。
通過(guò)課后的討論,調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性,也培養(yǎng)了學(xué)生的探索研究精神。
數(shù)學(xué)文化是高等數(shù)學(xué)密不可分的組成部分。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入諸如名人故事、人文風(fēng)情、典故悖論等數(shù)學(xué)文化以及人生哲理,不僅可以使枯燥乏味的高等數(shù)學(xué)課變得妙趣橫生,也能傳承數(shù)學(xué)文化價(jià)值,進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)乃至文化素養(yǎng)。比如,在講到費(fèi)馬原理時(shí),筆者曾向?qū)W生講到,費(fèi)馬被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。他的職業(yè)是律師,數(shù)學(xué)研究是業(yè)余愛(ài)好。費(fèi)馬在解析幾何、概率論、微積分、光學(xué)等領(lǐng)域都做出了很大貢獻(xiàn)。費(fèi)馬最大貢獻(xiàn)是開(kāi)辟了數(shù)學(xué)分支-數(shù)論。他在數(shù)論方面的成果是巨大的,其中費(fèi)馬大定理、費(fèi)馬小定理影響深遠(yuǎn)。此外,筆者還提到,費(fèi)馬有句名言“我確信已找到了一個(gè)極佳的證明,但書(shū)的空白太窄,寫(xiě)不下”。在介紹完費(fèi)馬的生平后,筆者看到許多學(xué)生的臉上洋溢著喜悅之情,熱情高漲。再比如,在講解定積分時(shí),筆者融入了人生哲理[5]:一個(gè)函數(shù)在給定閉區(qū)間上的定積分,就如同人的一生,一個(gè)人由生到死的積分就是他的總價(jià)值,人的一生怎樣度過(guò)才有意義?無(wú)非就是延伸“生命的長(zhǎng)度”或增大“生命的寬度”。所有的生命從起點(diǎn)到終點(diǎn)的積分都為零,所以不要在意結(jié)果如何,生命的意義在于過(guò)程。保持平和積極心態(tài),看淡世事滄桑。
作為基礎(chǔ)學(xué)科,數(shù)學(xué)往往不能在短期內(nèi)產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)價(jià)值,這使得人們對(duì)其應(yīng)用性往往認(rèn)識(shí)不足。許多大學(xué)生在接觸高等數(shù)學(xué)這門(mén)課時(shí),也常常提出疑問(wèn)“高等數(shù)學(xué)在將來(lái)工作中能用上嗎?”。改變這種狀況,需要教師在課堂教學(xué)中不能僅停留在講授理論知識(shí)上,還要對(duì)高等數(shù)學(xué)廣闊應(yīng)用前景進(jìn)行介紹,使大學(xué)生全面地認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。然而,如果教師只是泛泛地講“數(shù)學(xué)無(wú)處不在,滲透到日常生活的方方面面”等,學(xué)生沒(méi)有直觀感受,效果不佳。首先,借助具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明,常常會(huì)產(chǎn)生良好效果。筆者曾在課堂上舉過(guò)下面的例子,華為公司當(dāng)年用高出俄羅斯公司5倍的價(jià)格,聘請(qǐng)了俄羅斯的一位非常優(yōu)秀的年輕數(shù)學(xué)家。平時(shí),這位數(shù)學(xué)家就是自己埋頭琢磨自己的事情,也沒(méi)有太多的交流,就這樣默默無(wú)聞干了10幾年,也沒(méi)有做出什么成果。在所有人都要絕望時(shí),突然一天,這位年輕數(shù)學(xué)家拿出來(lái)一套自己的算法,用在當(dāng)時(shí)剛出現(xiàn)的3G通信上。華為公司立刻拿到上海去測(cè)試,大獲成功。其次,組織、引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。筆者的經(jīng)驗(yàn)是,在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,結(jié)合實(shí)際教學(xué)內(nèi)容,為學(xué)生提供或設(shè)置一些與其他學(xué)科及生產(chǎn)生活密切相關(guān)的開(kāi)放性題目,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型,找到解決實(shí)際問(wèn)題的方法和對(duì)策。通過(guò)這樣的活動(dòng),學(xué)生能夠切身體驗(yàn)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。
本文從課堂教學(xué)、課后輔導(dǎo)、融入數(shù)學(xué)文化和全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性四個(gè)方面,結(jié)合個(gè)人工作經(jīng)驗(yàn),探討了如何激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情,從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。然而,教育是一個(gè)綜合系統(tǒng)工程。教書(shū)與育人是教育工作的核心要義和永恒主題,二者密不可分。筆者認(rèn)為,在高等數(shù)學(xué)教學(xué)上,“教書(shū)”即如何有效傳授數(shù)學(xué)知識(shí),提高教學(xué)效果,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力及探究創(chuàng)新能力;而“育人”則是要給予學(xué)生正能量,引導(dǎo)其形成正確的價(jià)值觀、積極自信的人生態(tài)度以及強(qiáng)烈的家國(guó)情懷。