劉少英

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線。定點(diǎn)F

叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線L叫作拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的定義是解決有關(guān)拋物線問題的重要工具。同學(xué)們巧用拋物線的定義解題時(shí)，應(yīng)該“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，可以化難為易，使思路簡捷，運(yùn)算簡便，提高解題的速度和解題的正確率，提升解題的質(zhì)量。

一、求參數(shù)問題

例1已知拋物線x2=4y上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)。

分析：利用拋物線的定義，把點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離求解。

解：拋物線x2=4y的焦點(diǎn)是F（0，1），準(zhǔn)線L的方程是y=-1。設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM，作MN⊥L于點(diǎn)N，則yN=-1。

由拋物線定義和題意，得|MN|=|MF=5。

因?yàn)镸N⊥I，所以|MN|=|yM-yNI=|yM-（-1）|=|yM+1|=5。

由拋物線x2=4y，得yM》0。

故yM+1=5，yM=4，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是4。點(diǎn)評(píng)：本題也可以列出方程組求解，但是應(yīng)用拋物線的定義解題，運(yùn)算比較簡易。

練習(xí)1：若拋物線y=4px上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為3，且xM=2，求p的值。

解：拋物線y2=4px的準(zhǔn)線1的方程是x=-p，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線L的距離。于是2-（-饣）=|MF|=3，解得衛(wèi)=1。

二、求最值問題

例2已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F的拋物線x2=4y上，點(diǎn)A（-2，6），求（|PA|+PF）mino

分析：PF等于點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線L的距離d，于是（|PA|+|PF|）mim=（|PA|+d）min。

解：過拋物線x2=4y上點(diǎn)P作其準(zhǔn)線I：y=-1的垂線，垂足為M，則yM=-1。

把點(diǎn)A（-2，6）的橫坐標(biāo)x=-2代入拋物線方程x2=4y，得y=1。

因?yàn)閥4=6》1，所以點(diǎn)A在拋物線的內(nèi)部。

由拋物線定義知，|PA+PF=IPA+IPM。

由三角形的三邊關(guān)系，得當(dāng)PA1時(shí)，即點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA+PM最小，且|PA|+|PM|=|AM|。

因|AM|=|yA-yM|=|6-（-1）|=7，故（|PA|+|PF|）min=7。

點(diǎn)評(píng)：此題是求距離之和的最值問題，采用函數(shù)的最值法難以得解，而利用拋物線定義，通過數(shù)形結(jié)合和三角形的三邊關(guān)系求解，思路清晰，運(yùn)算簡易。

練習(xí)2：已知點(diǎn)P（3，2）在拋物線y=4x的內(nèi)部，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn)M，使|MP|+|MF|最小，并求此最小值。

解：過M作準(zhǔn)線L的垂線，垂足為A。

則由拋物線的定義知MF=MA。

故|MP|+IMF|=|MP|+IMA。

顯然當(dāng)P，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，|MP|+|MF|最小，此時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）。故|MP|+|MF的最小值為4。

三、求面積問題

例3過拋物線y2=4x上一點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，且|PF|=9，求△APF的面積。

分析：由拋物線的定義得，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離|PA|。

解：設(shè)P（年）。

因拋物線y2=4x的準(zhǔn)線是x=-1，故IPF=1PA=+1=9，，=±4E。

所以S6：=2PA11=18/2。

點(diǎn)評(píng)：本題可以列出方程組求解，但是用拋物線的定義求解，運(yùn)算更加簡捷。

練習(xí)3：已知拋物線y2=2x（p》0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程是x=-1。設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFM的面積為

解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，則焦點(diǎn)為F（1，0），p=2，拋物線方程為y2=4x。

|MF|=xM+1=3，xM=2，所以yM=4xM=8，|yM|=2/2。

SAcr-F-2.

四、求拋物線焦點(diǎn)弦長的問題

例4設(shè)直線AB過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，求弦長|AB|的值。

分析：利用拋物線的定義和線段中點(diǎn)坐標(biāo)的公式求解，思路巧妙簡捷，運(yùn)算量少。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2xM=2X3=6。

拋物線y2=4x的準(zhǔn)線是1：x=-1，過點(diǎn)A作AP⊥L于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥L于點(diǎn)Q，可得xp=-1，xQ=-1。

由定義得弦長|AB|=|AF|+IBF|=AP+BQ=x1-xP+x2-xQ=x1+x2+2=8。

點(diǎn)評(píng)：若用平面上兩，點(diǎn)間的距離公式求|AB|，需設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組求解，運(yùn)算量較大，而用拋物線定義求解，思路簡捷，運(yùn)算簡單。

練習(xí)4：過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1+y2=4，則弦長|AB|的值為。

解：由拋物線定義及題意，得|AB|=y1+y2+2=4+2=6。

五、求軌跡問題

例5已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程

5/x2+y2=|3x+4y-12|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是

分析：由點(diǎn)到直線的距離公式和拋物線的定義，可直接判定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線。

解：由題意得，x2+y23x+4y-12，即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到直線/32+423x+4y-12=0的距離等于它到原點(diǎn)（0，0）的距離。

由拋物線定義可知：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)（0，0）為焦點(diǎn)，以直線3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線。

點(diǎn)評(píng)：這是非標(biāo)準(zhǔn)式的拋物線，若直接將方程兩邊平方后整理，不易分析軌跡類型，此解法體現(xiàn)出巧用拋物線定義的優(yōu)越性。

練習(xí)5：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M滿足方程5/（x-1）2+（y+1）2=|4x+3y-12|，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。

解：由點(diǎn)到直線的距離公式和拋物線的定義，可直接判定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)（1，-1）為焦點(diǎn)，以直線4x+3y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線。

以上五個(gè)方面闡述了拋物線定義的應(yīng)用，從這些例子中可以看出，在特定的條件下，巧用拋物線的定義解題，具有其特定的必要性和優(yōu)越性?！盎貧w定義”是數(shù)學(xué)解題最原始、最基本的方法，有時(shí)也是最有效、最巧妙的方法。在解決圓錐曲線問題時(shí)，特別要注意樹立“用定義解題”的意識(shí)，許多圓錐曲線的問題具有幾何意義，若能結(jié)合定義挖掘題中隱含的幾何意義，?？汕擅羁焖俳忸}。

（責(zé)任編輯 徐利杰）