徐春生
圓錐曲線“三定”問題是指“定點(diǎn)問題、定直線的方程問題和定值問題”。這類試題是高考命題的熱點(diǎn),其難度較大,常以解答題的形式出現(xiàn),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。
一、定點(diǎn)問題
1.直線過定點(diǎn)問題
(1)求橢圓C的方程。
(2)設(shè)M為橢圓C的左頂點(diǎn),A,B是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn),直線MA,MB的傾斜設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1k2=1。
點(diǎn)評(píng):解決動(dòng)直線L過定,點(diǎn)問題的思路:
設(shè)動(dòng)直線L的方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y=k(x+m),故動(dòng)直線L過定,點(diǎn)(-m,0)。
2.曲線過定點(diǎn)問題
例2已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1)。
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程。
(2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)。
解析:(1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),解得p=2。
所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=1。
(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,-1),設(shè)直線L的方程為y=kx-1(k≠0)。
綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3)。
點(diǎn)評(píng):本題抓住圓的幾何特征“直徑所對(duì)的圓周角為90”,巧用向量DA·DB=0求得定,點(diǎn)坐標(biāo),學(xué)習(xí)中應(yīng)體會(huì)向量解題的工具性。
二、定直線的方程問題
例3已知拋物線C:x2=2py(p》0)
的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),AB|=8。
(1)求拋物線C的方程。
(2)過點(diǎn)D(1,2)的直線L交拋物線C于點(diǎn)M,N,點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn),QR⊥x軸交拋物線C于點(diǎn)R,且QR=RT。證明:動(dòng)點(diǎn)T在定直線上。
解析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。
則x1+x2=2衛(wèi),y1+y2=x1+x2+衛(wèi)=3衛(wèi)。
所以|AB|=y1+y2+p=4p=8,解得=2。
因此,拋物線C的方程為x2=4y。
(2)方法-:易知直線L的斜率存在,設(shè)
的方程為y=k(x-1)+2,Q(xo,y0),因?yàn)?k-2(k-2)-4=0,所以動(dòng)點(diǎn)T在定直線x-2y-4=0上。
設(shè)Q(x,y5),則直線MN的斜率k=
所以動(dòng)點(diǎn)T在定直線x-2y-4=0上。點(diǎn)評(píng):本題第二問給出了探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法:方法一是參數(shù)法,先利用題設(shè)條件探究出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)(包含參數(shù)),再消去參數(shù),即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上;方法二是相關(guān),點(diǎn)法,即先設(shè)出動(dòng),點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題設(shè)條件得到已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo),再將動(dòng),點(diǎn)R的坐標(biāo)代入已知的曲線方程,即得動(dòng),點(diǎn)T在定直線上。
三、定值問題
例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已
(2)試探究△POQ的面積S是否為定值,并說(shuō)明理由。
解析:(1)因?yàn)閗1,k2均存在,所以x1x2≠0。
綜合①②可知,△POQ的面積S為定值1。
點(diǎn)評(píng):圓錐曲線中的定值問題的常見類型:(1)證明代數(shù)式為定值,依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式,化簡(jiǎn)即可得出定值;(2)證明,點(diǎn)到直線的距離為定值,利用,點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得;(3)證明某線段長(zhǎng)度為定值,利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形求得。
(責(zé)任編輯 徐利杰)