汪亞洲

雙曲線(xiàn)的第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(xiàn)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作焦距。

常用結(jié)論：

1.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為b;

2.同支的焦點(diǎn)弦中最短的弦為通徑（過(guò)0）右支上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值α。

以下是五種常見(jiàn)的題型。

一、雙曲線(xiàn)的定義及其應(yīng)用

例1已知圓C1：（x+3）2+y2=1和

解析：（1）如圖1所示，

設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|。

因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2《6。由雙曲線(xiàn)的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。姚?1，c=3，則b2=8。

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則其軌跡方程

解析：設(shè)|F2A|=|F2B|=m。由雙曲線(xiàn)定義得，|F1A|=m-2a，|F1B|=m+2a。所以|AB|=|F1B-F1A=4a。

在Rt△F2HA中，由勾股定理得：

在Rt△F2HF1中，由勾股定理得：

二、求雙曲線(xiàn)的離心率

B》0）的左焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)4x-3y+20=0過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為P，O為原點(diǎn)，OP=OF，則雙曲線(xiàn)的離心率

解析：直線(xiàn)4x-3y+20=0與x軸的交點(diǎn)為F（-5，0），可知半焦距c=5。設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，根據(jù)OF1=OF且OP=OF可得，△PFF1為直角三角形。如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OA垂直于直線(xiàn)4x-3y+20=0，垂足為A，易知OA為△PFF1的中位線(xiàn)。又原點(diǎn)O到直線(xiàn)4x-3y+20=0的距離d=4，所以|PF1|=（a》0，b》0）在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，且FA⊥

FB，2|FA|≤|FB|≤4|FA|，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍是（）。

解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F1，∠AF1F

則雙曲線(xiàn)的離心率滿(mǎn)足：

三、中點(diǎn)與中點(diǎn)弦

（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）以P（1，2）為中點(diǎn)作雙曲線(xiàn)C的一條弦AB，求弦AB所在直線(xiàn)的方程。

解析：由已知可得雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）。

所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故弦AB所在的直線(xiàn)方程為

變式訓(xùn)練3：已知雙曲線(xiàn)

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程;

（2）已知直線(xiàn)x-y+m=0與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上，求m的值。

四、求弦長(zhǎng)和面積

例4若雙曲線(xiàn)

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程;

（2）已知雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)分別為

故雙曲線(xiàn)C的方程為

（2）由（1）知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），即直線(xiàn)AB的方程為y=-（x-2）。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。聯(lián)立由弦長(zhǎng)公式得

變式訓(xùn)練4：已知雙曲線(xiàn)

（α》0，b》0）的離心率為5，虛軸長(zhǎng)為4。

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）直線(xiàn)l：y=mx+1與雙曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的面積是2/2，求直線(xiàn)L的方程。

故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

O點(diǎn)到直線(xiàn)1的距離

故所求直線(xiàn)方程為

五、求定值和定點(diǎn)

例5已知雙曲線(xiàn)x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，動(dòng)直線(xiàn)1：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線(xiàn)左右兩支的交點(diǎn)分別為P，（x1，y1），P2（x2，y2）。記直線(xiàn)P1A1的斜率為k1，直線(xiàn)P2A2的斜率為2，那么，k1·k2是定值嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

解析：由直線(xiàn)1與圓x2+y2=1相切，可

變式訓(xùn)練5：已知雙曲線(xiàn)

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程。

（2）設(shè)斜率分別為k1，k2的兩條直線(xiàn)11，12均經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（2，1），且直線(xiàn)1，l2與雙曲線(xiàn)C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若k1+k2-1，試判斷直線(xiàn)AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

解析：（1）離心率為

所以雙曲線(xiàn)C的方程為

（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)A（x0，yo），B（xo，意，所以直線(xiàn)AB的斜率存在。不妨設(shè)直線(xiàn)AB的方程為

整理得t2+（2k-2）t-1+2k=0，即（t-1）（t+2k-1）=0，則t=1或t=1-2k。

當(dāng)t=1時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）;

當(dāng)t=1-2k時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-2）+1，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（2，1），不符合題意。

綜上，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（0，1）。

（責(zé)任編輯 徐利杰）