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        由幾個錯誤看懂初中幾何解題

        2022-04-02 02:25:22黃志強
        中學(xué)生學(xué)習(xí)報 2022年12期
        關(guān)鍵詞:綜合法分析法

        黃志強

        摘要:學(xué)生的常見錯誤有以下幾個,一是對條件的分析不全面,二是不善于從全局出發(fā)處理條件,三是錯用濫用三角形全等。分析幾何題主要有兩種方法:綜合法,分析法。

        關(guān)鍵詞:條件分析;綜合法;分析法

        筆者執(zhí)教初三數(shù)學(xué)也有好幾年,久而久之也就明白了學(xué)生在解題方面有哪些困惑,讓我印象最深的是學(xué)生對幾何題的一籌莫展。有些同學(xué)由于學(xué)習(xí)不得法,甚至有放棄學(xué)習(xí)幾何的念頭,有些同學(xué)雖然能學(xué)得下去,但在解題時往往抓不住解題思路,胡寫亂寫。針對學(xué)生出現(xiàn)的問題,我總結(jié)了一套幾何題的解題策略?,F(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)幾何出現(xiàn)的問題進行分析并提出解題策略,希望能有拋磚引玉的作用。

        一、學(xué)生常出現(xiàn)的幾個錯誤

        案例分析:學(xué)生對條件逐個分析,是很多學(xué)生的選擇的方法,這里學(xué)生由第一個和第二個條件得出了DA=DC這一個關(guān)鍵結(jié)果,但是離證明四邊形AECD是菱形還差一步,就是證出四邊形AECD是平行四邊形。其實學(xué)生在處理條件是應(yīng)該統(tǒng)觀全局,在解題之前應(yīng)該先把題目全部看完,不要著急分析第一個條件,應(yīng)該在看完題目后觀察哪些條件可以聯(lián)合分析。比如在這道題中,可以先將AB∥DC, CE∥AD這兩個條件聯(lián)立分析,即可得出四邊形AECD是平行四邊形。

        (三)錯用濫用三角形全等

        案例三:如圖,AD是△ABC的角平分線,過點D作AC和AB的平行線,交AB于點E,交AC于點F。求證:四邊形AEDF是菱形。

        學(xué)生解答:

        ∵DE∥AC

        ∴∠EDA=∠FAD

        ∵DF∥AB

        ∴∠EAD=∠FDA

        ∵AD=AD

        ∴△ADE≌△ADF

        ∴AE=AF

        案例分析:在這道題中,學(xué)生試圖通過三角形全等證明AE=AF,但是AE與AF并不是對應(yīng)邊,所以AE≠AF,除了此處錯誤,學(xué)生還存在忽略條件的情況,忽略了AD是△ABC的角平分線,由這個條件,可得∠EAD=∠FAD,結(jié)合學(xué)生前面得到的∠EDA=∠FAD,可得∠EAD=∠EDA,則AE=DE,再通過DE∥AC,DF∥AB可以證出四邊形AEDF是平行四邊形,又由AE=DE即可得出平行四邊形AEDF是菱形。在這道題中,反映了學(xué)生在證等邊時過于依賴三角形全等這一知識點,其實證明兩條線段相等除了可以用三角形全等的性質(zhì),還可以用線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等。

        二、幾何題常見解題策略

        不可否認,幾何證明題是初中難度比較大的一種題型,其沒有一個固定的公式,題目也千變?nèi)f化,解法更是多種多樣,但是萬變不離其宗,以上學(xué)生出現(xiàn)的問題主要是對題目的分析不得法,分析幾何題主要有兩種方法和一個重要習(xí)慣。

        (一)綜合法

        從已知條件出發(fā),通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用,逐步向前推進,直到問題解決。

        案例:如圖,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O且與AD,BC分別相交于點E,F(xiàn).求證:OE=OF.(圖中∠1指∠EAO,∠2指∠FCO)

        (綜合法)分析過程:

        綜合法是學(xué)生比較常用的一種幾何題分析方法,但是在使用時要注意以下幾點,一是注意結(jié)論有效性。在這道題目中,ABCD可以推出很多結(jié)論,比如對邊相等且平行,對角相等,對角線互相平分等,但在后續(xù)的分析中可以發(fā)現(xiàn),對角相等和對邊相等對解題并沒有作用,應(yīng)該舍棄這兩個結(jié)論。二是注意多級推導(dǎo),比如從ABCD用這個條件分析到對邊平行,還應(yīng)由對邊平行分析到內(nèi)錯角相等。三是注意條件的全局處理。如在案例三中,應(yīng)該先將多個條件聯(lián)合分析排在優(yōu)先位置。

        (二)分析法

        分析法就是從命題的結(jié)論考慮,推敲使其成立需要具備的條件,然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事實為止。可見分析法實際上是運用逆向思維的過程。

        所謂的逆向思維,其實就是指人們在看待問題時,從與常規(guī)思維相反的角度進行思考和分析,從而找到問題解決的途徑,逆向思維模式可以很好地幫助學(xué)生打破原本傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維模式的局限。

        案例(同上):如圖,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O且與AD,BC分別相交于點E,F(xiàn).求證:OE=OF.(圖中∠1指∠EAO,∠2指∠FCO)

        (分析法)分析過程:

        在這道題目中,我們要證明的結(jié)論是OE=OF,觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn)OE和OF分別是△AOE和△COF中的兩條邊,因此我們聯(lián)想到證明這兩個三角形全等,再通過分析題目條件,可以由ABCD提供AO=CO,AD//BC。其中AD//BC可以推出∠EAO=∠FCO,

        再由∠AOE=∠COF,完全可以得到△AOE和△COF全等。至此,思路已經(jīng)出來了。

        分析法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,它從結(jié)果出發(fā),尋找使結(jié)果成立的條件,在解題中往往比綜合法更快捷,更有針對性。分析好之后還是要用綜合法的形式寫出過程。

        (三)解題習(xí)慣

        現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在解幾何題時會立刻寫解題過程,并沒有認真看完整道題,也沒有畫出思路圖。學(xué)生在讀題的時候發(fā)現(xiàn)的每個條件要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等,就用邊相等的符號來表示。有一些隱含的條件更加要標示出來,如對頂角相等。除此之外是要牢記題目給出的條件。題目的條件不僅要標記,還要記在腦海中,做到不看題,就可以把題目復(fù)述出來。

        尋找?guī)缀晤}的解題思路既可以用綜合法也可以用分析法,有時可能要兩種方法同時使用,兩種方法各有優(yōu)缺點,而且要有作標記的良好習(xí)慣。學(xué)生要學(xué)好幾何,不能一蹴而就,要大膽去練,去分析,去總結(jié),讓自己對兩種方法能夠應(yīng)用自如,學(xué)幾何也就會變成一件有趣的事情了。

        參考文獻:

        [1]魏堆付.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2021(14):142-143.

        [2]薛盛初.談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.

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