李如俞

（甘肅省通渭縣隴山學(xué)校，甘肅通渭 743318）

數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例主要是指符合命題條件，但是與命題結(jié)論相反的例子。反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢非常突出，不但具有說服力強(qiáng)的特點(diǎn)，而且可以幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、錯誤問題等建立深刻、具象的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生全面考慮問題的思維品質(zhì)。為此，教師應(yīng)該充分明晰反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值，努力將反例引入數(shù)學(xué)課程的各個環(huán)節(jié)，使單一的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容得到補(bǔ)充和拓展，訓(xùn)練和強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與綜合思維。下面我們就針對這個目標(biāo)展開簡單教學(xué)探析。

一、反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

要想提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，僅靠程式化的知識講授是難以實(shí)現(xiàn)的，教師需要抓好思維方面的訓(xùn)練，使學(xué)生從多個角度剖析理解數(shù)學(xué)知識。反例是一種科學(xué)有效的思維訓(xùn)練工具，無論在鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還是提升學(xué)生思維延展性上都發(fā)揮著舉足輕重的作用。經(jīng)過細(xì)致的分析研究，筆者將反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值歸納為以下三個方面：

第一，應(yīng)用反例可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念知識的理解。初中數(shù)學(xué)課程中涉及的基礎(chǔ)概念非常龐雜，且這些概念知識具有一定的相似性，學(xué)生在記憶和理解的過程中容易出現(xiàn)混淆現(xiàn)象，直接影響學(xué)生的后續(xù)運(yùn)用和學(xué)習(xí)效果。反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中最卓越的一項(xiàng)應(yīng)用價值就是可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念知識的理解，因此教師可以根據(jù)不同數(shù)學(xué)概念點(diǎn)之間的細(xì)微差別列舉恰當(dāng)?shù)姆蠢粌H能夠刷新學(xué)生對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的枯燥體驗(yàn)，也能鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識鏈，使學(xué)生在難以區(qū)分相似概念時能聯(lián)想到相關(guān)反例。這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)概念體系就不容易出現(xiàn)斷層，有利于學(xué)生開展其他高階數(shù)學(xué)探究活動。

第二，應(yīng)用反例有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。逆向思維能力不僅是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度之一，也是學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究必備的思維品質(zhì)，但是大部分初中生逆向思維能力都有待強(qiáng)化，教師必須著力開拓創(chuàng)新的思維培養(yǎng)方法。反例是與命題結(jié)論相矛盾的例子，應(yīng)用反例是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力行之有效的方法。因此，教師在數(shù)學(xué)推理論證活動中引入反例能夠幫助學(xué)生從正向和逆向兩個視角看待命題，促使學(xué)生經(jīng)歷思維發(fā)散的過程，又能基于理性思維和逆向思維去判定一個命題的真假，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三，應(yīng)用反例能夠降低學(xué)生的錯題率。長期以來，學(xué)生在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤無法避免，主要原因是數(shù)學(xué)題目求解需要運(yùn)用諸多概念、定理和公式，且某項(xiàng)條件發(fā)生變化會導(dǎo)致解題思路和結(jié)果大相徑庭。在學(xué)生解題思維不夠縝密、基礎(chǔ)知識運(yùn)用欠缺靈活性的情況下，同類錯誤是難以得到有效規(guī)避的。應(yīng)用反例教學(xué)的直觀性和說服力非常突出，而且反例對多種數(shù)學(xué)題型都具有適用性，教師借助反例帶領(lǐng)學(xué)生辨析數(shù)學(xué)解題錯誤，可以使學(xué)生對錯誤原因的印象更加深刻，同時能夠做到對知識結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)查缺補(bǔ)漏。這樣，學(xué)生的解題能力、自我糾錯和完善能力都可以得到良好發(fā)展。

二、反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）在概念教學(xué)中應(yīng)用反例，幫助學(xué)生輕松理解

上文我們談到，反例在提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解效率方面彰顯深刻價值，這主要得益于反例和命題事實(shí)相悖的特點(diǎn)，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理構(gòu)建反例可以引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念模型的生成過程，并激發(fā)學(xué)生的反思意識。這樣，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念遭遇思維障礙時就可以基于反例明確矛盾沖突，從而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深刻掌握和長時記憶。在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用反例的步驟和方法如下：

第一，了解學(xué)生的概念理解難點(diǎn)，列舉恰當(dāng)?shù)姆蠢右砸龑?dǎo)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用反例追求針對性和目的性，所以教師必須先了解學(xué)生對數(shù)學(xué)概念中的哪個要素認(rèn)知理解存在模糊，進(jìn)而選擇最恰當(dāng)?shù)姆蠢龑?shí)施教學(xué)。具體來說，可以鼓勵學(xué)生自由發(fā)言，闡述自身對數(shù)學(xué)概念的存疑之處，然后教師將這些疑難問題羅列在黑板上，留作后續(xù)的反例列舉依據(jù)。接下來，在選擇和列舉反例時，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的概念理解難點(diǎn)甄別采用基本形式反例、條件變化型反例或者是充分條件、必要條件假設(shè)判斷型反例。比如，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的生成條件認(rèn)知不夠透徹，這時教師就可以列舉條件變化型反例，直接攻破學(xué)生的理解障礙。

第二，出示反例，組織學(xué)生對數(shù)學(xué)概念自主構(gòu)建。教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況初步確定概念教學(xué)所用的反例之后，可以應(yīng)用多媒體投屏工具出示反例。比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)圖形概念遇到難點(diǎn)時，教師就可以結(jié)合圖形特征設(shè)計幾個符合圖形特征判定條件，但不符合概念結(jié)論的反例選項(xiàng)，同時在電子白板投屏上展示幾個直觀的圖形，讓學(xué)生分小組合作觀察圖形、思考和辨析反例。如果各小組對圖形概念存在爭議，教師還可以鼓勵組間開展辯論活動，引導(dǎo)各組學(xué)生應(yīng)用反例印證自身結(jié)論、說明理由并說服其他組員消除對圖形概念的錯誤認(rèn)識。這樣，學(xué)生就能夠順利借助反例實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的自主構(gòu)建和透徹掌握。

第三，對于學(xué)生容易混淆的數(shù)學(xué)概念，分別跟進(jìn)反例講解。隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的持續(xù)推進(jìn)，學(xué)生需要掌握的概念知識點(diǎn)越來越多，教師也發(fā)現(xiàn)學(xué)生對區(qū)分相似概念存在困難。針對這種現(xiàn)象，教師需要在日常教學(xué)中加以留心，把學(xué)生經(jīng)?；煜臄?shù)學(xué)概念歸集匯總起來，如有理數(shù)、無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的意義概念，矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)、判定條件以及三者的關(guān)系和區(qū)別等等。將這些相似概念整理成條分縷析的微課件，在每一組相似概念后方都標(biāo)注一個簡明恰當(dāng)?shù)姆蠢?，播放微課件鼓勵學(xué)生小組合作探討，還可以讓學(xué)生根據(jù)自己對相似概念的理解列舉更多反例，進(jìn)而準(zhǔn)確區(qū)分相似數(shù)學(xué)概念。

（二）在命題辯證中應(yīng)用反例，提高學(xué)生判定能力

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及很多真假命題的判定。對于真命題，大部分學(xué)生可以運(yùn)用正向思維或是正面例子加以判定，但是數(shù)學(xué)課程中也不乏假命題的存在，在學(xué)生正向思維形成定式的條件下命題辯證就會遭遇阻礙，影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維的和諧發(fā)展。反例在數(shù)學(xué)命題辯證中的實(shí)用性很強(qiáng)，尤其可以打破學(xué)生的思維定式，提高學(xué)生的命題判定能力和推理論證能力，使學(xué)生養(yǎng)成正向和逆向思維相結(jié)合的數(shù)學(xué)探究習(xí)慣。在初中數(shù)學(xué)命題辯證中應(yīng)用反例的具體步驟和策略如下：

第一，應(yīng)用反例引導(dǎo)學(xué)生明確并不是所有命題結(jié)論都是成立的。學(xué)生命題判定思維形成定式的最主要表現(xiàn)是接觸太多真命題，所以在命題辯證中總是習(xí)慣性地認(rèn)為命題結(jié)論成立，所以教師在應(yīng)用反例時應(yīng)該多引入一些假命題，出示假命題之后先留給學(xué)生幾分鐘合作思考和討論的時間，然后讓學(xué)生呈現(xiàn)討論結(jié)果。此時，學(xué)生的命題判定結(jié)論大多存在分歧，教師就可以適時出示反例。比如，在菱形和矩形特征判定的假命題中，教師就可以列舉“所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形”的反例，緊接著讓持不同意見的學(xué)生重新思考和判定命題，使學(xué)生逐步意識到命題結(jié)論不一定都成立，并掌握基于反例辯證判定命題的一般方法。

第二，向?qū)W生滲透應(yīng)用反例辯證命題的技巧。應(yīng)用反例辯證和判定命題的真?zhèn)?，其路徑和方法不是唯一的，教師在滲透技巧指導(dǎo)時可以應(yīng)用具體數(shù)值代入法和畫圖法。在應(yīng)用具體數(shù)值代入法時，教師可以向?qū)W生出示字母類命題，然后引導(dǎo)學(xué)生把命題中的字母替換成具體數(shù)字，檢驗(yàn)命題的結(jié)論是否成立，如果成立命題就是正確的，反之命題錯誤。教師還應(yīng)該重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生注意特殊值“0”，這是因?yàn)楹芏嘧帜该}代入“0”進(jìn)行計算，命題結(jié)論是否成立就可以一目了然。在應(yīng)用畫圖法時，教師可以出示幾何圖形類命題，引導(dǎo)學(xué)生合作觀察和分析命題，根據(jù)命題設(shè)置的內(nèi)容在演算紙上畫出具象直觀的圖示。比如，在關(guān)于“同位角相等、三角形全等”的命題判定中，畫出具體的圖示后，學(xué)生就可以對命題真?zhèn)巫龀鲅杆?、?zhǔn)確的辯證和判定。

（三）在解題教學(xué)中應(yīng)用反例，降低學(xué)生的出錯率

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的錯誤情況屢屢發(fā)生，教師要合理地利用反例開展教學(xué)活動，降低學(xué)生的出錯率，鍛煉學(xué)生的審題和解題能力，從而突出反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐價值。將反例引入初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的路徑和方法主要有以下兩條：

第一，在方程解題教學(xué)中運(yùn)用反例。方程在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中占據(jù)重要地位，但是由于一些學(xué)生對一元一次方程和一元二次方程的解題方法掌握不到位，容易出現(xiàn)解題錯誤。為此，教師可以先向?qū)W生講授兩類方程題的解題步驟和方法，然后再出示幾道經(jīng)典例題，讓學(xué)生分小組合作解題。各組學(xué)生初步求解之后，教師讓每組派代表將解題過程和結(jié)果呈現(xiàn)到黑板上，鼓勵學(xué)生詳細(xì)探討出錯的原因，讓學(xué)生自主分析對方程式解題定理運(yùn)用的薄弱點(diǎn)。這樣，學(xué)生就可以加深印象，有效規(guī)避常見錯誤。

第二，在應(yīng)用題審題分析中采用反例。數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題教學(xué)中的審題環(huán)節(jié)十分關(guān)鍵，教師可以根據(jù)應(yīng)用題給出的數(shù)量條件設(shè)計幾個條件改變型反例，把原始題目和反例同時出示給學(xué)生，讓學(xué)生分組觀察、分析、判斷條件變化后應(yīng)用題的求解結(jié)論是否還成立，鼓勵學(xué)生說出結(jié)論或其中存在的矛盾，并在演算紙上列出正確的數(shù)量條件和邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系反例思考和明晰題目求的到底是哪項(xiàng)條件、屬于哪類應(yīng)用類問題，比如路程、時間、植樹等等，最后再運(yùn)用對應(yīng)公式、代入具體的數(shù)量條件列式解題。這樣，即便是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的各項(xiàng)條件千變?nèi)f化，學(xué)生也能從反例的角度嚴(yán)謹(jǐn)審題、減少解題錯誤的發(fā)生。

（四）在知識鞏固中應(yīng)用反例，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)效果

初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個動態(tài)化過程，隨著學(xué)生吸納的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)和技能越來越多，教師也應(yīng)該著力跟進(jìn)復(fù)習(xí)和鞏固教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的增強(qiáng)。反例具有良好的教學(xué)輔助和補(bǔ)充作用，適合教師在數(shù)學(xué)知識鞏固中應(yīng)用。具體的反例應(yīng)用策略如下：

第一，應(yīng)用反例考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系中的疏漏點(diǎn)。教師可以根據(jù)學(xué)生以往學(xué)過的數(shù)學(xué)知識設(shè)計一組由正面例子和反例混合組成的命題組，然后讓他們互相問答判斷每個命題選項(xiàng)的正確性，邊判斷邊說出相關(guān)的概念、定理和公式依據(jù)。如果學(xué)生說不出判斷依據(jù)，則代表學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握不扎實(shí)，教師應(yīng)該把這些判斷錯誤的反例命題單獨(dú)提煉出來講解，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識正確區(qū)分正例和反例，使學(xué)生知識體系中的漏洞得到彌補(bǔ)。

第二，編制反例復(fù)習(xí)合集。在應(yīng)用反例鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)知識的過程中，教師還可以采用編制反例復(fù)習(xí)合集的方法將學(xué)生認(rèn)知理解模糊或是容易忽略的知識點(diǎn)整理出來，并在每個知識點(diǎn)后面列舉幾個反例。比如，在軸對稱、軸對稱圖形、中心對稱、中心對稱圖形的概念復(fù)習(xí)中，教師可以如法炮制編制反例合集，然后組織學(xué)生自主復(fù)習(xí)、自主研究反例，還可以把電子版反例合集下載到學(xué)習(xí)優(yōu)盤中，方便日后復(fù)習(xí)鞏固。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)勢必能得到長效強(qiáng)化。

（五）在拓展訓(xùn)練中應(yīng)用反例，強(qiáng)化學(xué)生逆向思維

拓展訓(xùn)練是初中數(shù)學(xué)課程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，以往教師在拓展訓(xùn)練中采用的例題，大多是題目條件和結(jié)論相一致的正例。這種教學(xué)模式對于訓(xùn)練學(xué)生逆向思維效果不夠明顯，因此要想真正實(shí)現(xiàn)具有拓展性和發(fā)散性的思維訓(xùn)練，教師采用反例教學(xué)法是十分必要的。在初中數(shù)學(xué)拓展訓(xùn)練中應(yīng)用反例的策略如下：

首先，教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)課程的具體訓(xùn)練目標(biāo)，先向?qū)W生提出一個命題判定問題，如判定命題“一組對角相等，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”的真?zhèn)危缓笞寣W(xué)生分組口頭交流，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)應(yīng)用尺規(guī)作圖，使學(xué)生從逆向思維出發(fā)利用圖示自主構(gòu)建反例，從而驗(yàn)證對命題真?zhèn)蔚牟孪牒驼摂?。在此基礎(chǔ)上，教師還可以鼓勵學(xué)生結(jié)合題設(shè)條件列舉同類反例，并針對每個反例編制一道簡單的練習(xí)題。學(xué)生能夠列舉一些反例和習(xí)題，就證明他們已經(jīng)養(yǎng)成良好的正向、逆向思維結(jié)合習(xí)慣，同時反例教學(xué)的實(shí)踐目的也就達(dá)到了。

三、結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例不但可以增強(qiáng)學(xué)生對概念、公式、定理的記憶，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，還能降低學(xué)生的出錯率。因此，教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)需求在概念教學(xué)、命題辯證、解題教學(xué)、知識鞏固以及拓展訓(xùn)練中引入反例，全方位完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系和思維品質(zhì)，避免學(xué)生陷入非理性的數(shù)學(xué)探索和思考誤區(qū)，從而真正達(dá)到去偽存真的教學(xué)效果。