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        基于精確子域模型的雙定子磁通反向電機(jī)磁場(chǎng)解析計(jì)算

        2022-03-30 04:41:16鄒定琛曹江華
        微電機(jī) 2022年2期
        關(guān)鍵詞:子域磁通永磁體

        鄒定琛,曹江華

        (華南理工大學(xué) 電力學(xué)院,廣州 510641)

        0 引 言

        磁通反向電機(jī)(FRM)由雙凸極永磁電機(jī)發(fā)展而來(lái),其繞組中的磁鏈呈雙極性變化,相較于磁鏈單極性變化的雙凸極永磁電機(jī),磁通反向電機(jī)的功率密度更大;但相較于傳統(tǒng)永磁電機(jī),磁通反向電機(jī)的永磁體和繞組都放置在同一個(gè)定子上,定子空間更加擁擠,限制了其功率密度的提升[1]。為了進(jìn)一步提升磁通反向電機(jī)的功率密度,文獻(xiàn)[1]提出了雙定子磁通反向電機(jī)(DS-FRM),該電機(jī)將永磁體與繞組分開(kāi)放置在內(nèi)外定子上,相較于傳統(tǒng)磁通反向電機(jī),雙定子的拓?fù)淠軌蚪獬来朋w和繞組的空間沖突問(wèn)題,同時(shí)能夠在永磁體用量更少的情況下提升轉(zhuǎn)矩,此外,永磁體與繞組分開(kāi)放置也進(jìn)一步提升了永磁電機(jī)的內(nèi)腔利用率以及方便永磁體的散熱[1-2]。

        永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)計(jì)算是電機(jī)電磁設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化的基礎(chǔ),目前,針對(duì)永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算方法主要有等效磁路法、解析法和有限元法,然而等效磁路法過(guò)分依賴于經(jīng)驗(yàn)系數(shù)對(duì)結(jié)果的修正[3-5],而修正系數(shù)與電機(jī)眾多形狀參數(shù)有關(guān),使得修正系數(shù)難以準(zhǔn)確得到,最終求出的氣隙磁密也不夠精確;有限元法計(jì)算精度高,且能夠計(jì)算任意復(fù)雜邊界條件下的磁場(chǎng)分布,但是其建模和計(jì)算的時(shí)間太過(guò)冗長(zhǎng),在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中并不方便[6];相比之下,解析法物理概念清晰,求解速度快、計(jì)算量小、參數(shù)調(diào)整方便,且有利于電機(jī)各方面性能的分析和改進(jìn)[7]。

        在電機(jī)解析模型的分析中,隨著電機(jī)邊界條件的復(fù)雜度提升,其解析求解的復(fù)雜度也隨之提升。文獻(xiàn)[8]最早提出在極坐標(biāo)系下采用標(biāo)量磁位求解無(wú)槽表貼式徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。定子或轉(zhuǎn)子電樞開(kāi)槽后,會(huì)使磁場(chǎng)求解域邊界變得更加復(fù)雜,針對(duì)電樞開(kāi)槽后的氣隙磁場(chǎng)求解問(wèn)題,文獻(xiàn)[9]采用保角變換,求得電樞開(kāi)槽時(shí)的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù),并與無(wú)槽時(shí)的氣隙磁場(chǎng)相乘,可以得出開(kāi)槽后的氣隙磁場(chǎng)分布,但該方法只能求解開(kāi)槽后的徑向磁場(chǎng)分布,而無(wú)法求出開(kāi)槽切向磁場(chǎng)分布,從而無(wú)法準(zhǔn)確求出電磁轉(zhuǎn)矩;文獻(xiàn)[10]引入復(fù)磁導(dǎo)函數(shù),能夠準(zhǔn)確求出開(kāi)槽效果對(duì)氣隙磁場(chǎng)徑向和切向的影響,但是該復(fù)數(shù)磁導(dǎo)函數(shù)為一非線性復(fù)函數(shù),求解過(guò)程復(fù)雜,且采用的是無(wú)限槽深單槽模型,無(wú)法考慮槽與槽之間的影響;文獻(xiàn)[11]采用子域模型法,將電機(jī)氣隙磁場(chǎng)求解域劃分為永磁體域、氣隙域和槽域,分別求解各個(gè)子域的拉普拉斯方程或泊松方程,并利用傅里葉級(jí)數(shù)將不同求解域的邊界條件耦合起來(lái),該方法能夠考慮槽深對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響。文獻(xiàn)[12]提出了針對(duì)磁齒輪氣隙磁場(chǎng)的矢量磁位子域模型,相較于傳統(tǒng)電機(jī),磁齒輪的轉(zhuǎn)子是由鏤空的調(diào)制塊組成,且具有內(nèi)外兩層氣隙,其邊界條件更加復(fù)雜,增加了求解復(fù)雜度,但是該模型未考慮實(shí)際的永磁體回復(fù)磁導(dǎo)率。

        雙定子磁通反向電機(jī)的邊界條件十分復(fù)雜,其具有磁齒輪的轉(zhuǎn)子調(diào)制塊結(jié)構(gòu),同時(shí)定子電樞上又開(kāi)有齒槽,傳統(tǒng)計(jì)及齒槽效果的保角變換法已經(jīng)不再適用。本文將建立雙定子磁通反向電機(jī)的精確子域模型,考慮其轉(zhuǎn)子調(diào)制塊以及外定子開(kāi)槽的雙重效果對(duì)內(nèi)外氣隙磁場(chǎng)的影響,同時(shí)考慮永磁體的相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率,將求解域劃分為永磁體、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙、外氣隙和外定子槽共5個(gè)求解子域,在每個(gè)子域分別求解矢量拉普拉斯方程或泊松方程,并根據(jù)邊界條件耦合各個(gè)子域磁矢位方程,采用直接解析法求解出空載氣隙磁場(chǎng)分布。以一臺(tái)12/10極的雙定子磁通反向電機(jī)模型作為算例,進(jìn)行磁場(chǎng)求解,并與有限元結(jié)果相比較,驗(yàn)證了本文模型推導(dǎo)的正確性與該方法的準(zhǔn)確性。

        1 DS-FRM的磁場(chǎng)解析模型

        本文以12/10極的雙定子磁通反向電機(jī)為例進(jìn)行磁場(chǎng)解析計(jì)算,其二維截面圖如圖1所示。磁通反向電機(jī)屬于磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)[13]的一種,通過(guò)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的旋轉(zhuǎn),對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行調(diào)制,對(duì)于不同類型的磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī),都具有共同的運(yùn)行規(guī)則[1]:

        θe=Q·θm

        (1)

        (2)

        式中,θe和θm分別為轉(zhuǎn)子位置的電角度和機(jī)械角度,Q為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊個(gè)數(shù),n為轉(zhuǎn)速,f為頻率。

        1.1 基本假設(shè)

        為了便于分析,做出如下假設(shè):

        1)內(nèi)、外定子和轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大;

        2)永磁體的相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率取其實(shí)際回復(fù)磁導(dǎo)率值;

        3)定子槽為徑向直槽,槽內(nèi)無(wú)電流;

        4)計(jì)算場(chǎng)域?yàn)槎S場(chǎng),忽略端部效應(yīng)。

        圖1 雙定子磁通反向電機(jī)橫截面示意圖

        在空氣區(qū)域,

        (3)

        在永磁體區(qū)域,

        (4)

        極坐標(biāo)下,磁感應(yīng)強(qiáng)度為

        (5)

        (6)

        式中,A為矢量磁位。

        將二維極坐標(biāo)(r,θ)固定到定子上,以第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙和第z個(gè)外定子槽的中心作為模型的初始位置,則第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙和第z個(gè)外定子槽的的初始位置定義為

        (7)

        (8)

        式中,θr0為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的初始位置,θz0為外定子槽的初始位置。

        為了便于各子域通解的表達(dá)和積分常數(shù)的求解,定義兩個(gè)函數(shù)[13]:

        (9)

        (10)

        雙定子磁通反向電機(jī)的磁場(chǎng)求解域可劃分為5個(gè)求解子域:永磁體、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙、外氣隙、外定子槽。以矢量磁位A作為二維偏微分方程在極坐標(biāo)下的求解變量,則有:

        (11)

        (12)

        (13)

        (14)

        (15)

        1.2 永磁體子域通解

        永磁體子域的泊松方程如下:

        (16)

        式中,Mr為永磁體徑向極化強(qiáng)度,Mθ為永磁體切向極化強(qiáng)度。

        對(duì)于徑向充磁的永磁體來(lái)說(shuō):

        (17)

        其中,

        (18)

        式中,Br為永磁體剩磁密度,p為永磁體極對(duì)數(shù),φi為永磁體N極中心位置角。

        永磁體子域的邊界條件為

        (19)

        由邊界條件可得,永磁體子域的泊松方程的通解為[14]

        (20)

        式中,a1(n)、c1(n)為永磁體子域的積分常數(shù);n為永磁體子域磁場(chǎng)諧波次數(shù);Xr(n)為與永磁體子域泊松方程特解相關(guān)的級(jí)數(shù)項(xiàng),由永磁體極化強(qiáng)度決定,Xr(n)可表示為

        (21)

        其中,

        (22)

        1.3 內(nèi)、外氣隙子域通解

        內(nèi)氣隙子域的拉普拉斯方程如下:

        (23)

        內(nèi)氣隙子域邊界條件為

        (24)

        其中,

        (25)

        由邊界條件可得,內(nèi)氣隙子域的通解為

        (26)

        式中,a2(n)、c2(n)、b2(n)、d2(n)為內(nèi)氣隙子域的積分常數(shù);n為內(nèi)氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

        外氣隙子域拉普拉斯方程如下:

        (27)

        外氣隙子域邊界條件為

        (28)

        其中,

        (29)

        (30)

        由邊界條件可得,外氣隙子域的通解為

        (31)

        式中,a3(n)、c3(n)為外氣隙子域的積分常數(shù);n為外氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

        1.4 轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域通解

        對(duì)第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域,如圖2所示,其子域拉普拉斯方程為

        (32)

        其邊界條件為

        (33)

        由邊界條件可得,第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙的子域通解為

        (34)

        圖2 第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙及其邊界條件

        其中,a0(i)、b0(i)、si(k)、ti(k)為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域的諧波系數(shù),k為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

        1.5 外定子槽子域通解

        對(duì)于外定子槽子域,如圖3所示,外定子槽子域的拉普拉斯方程為

        (35)

        其邊界條件為

        (36)

        由邊界條件可得,第z個(gè)外定子槽子域的通解為

        (37)

        式中,u0(z)、uz(k)為外定子槽子域的諧波系數(shù),k為外定子槽子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

        圖3 第z個(gè)外定子槽及其邊界條件

        2 積分常數(shù)的確定

        在得到5個(gè)子域通解的情況下,可以根據(jù)相關(guān)邊界條件得出積分常數(shù)。

        2.1 永磁體子域積分常數(shù)的確定

        根據(jù)邊界條件(19),結(jié)合式(20)、式(26)可得:

        (38)

        (39)

        2.2 內(nèi)氣隙子域積分常數(shù)的確定

        根據(jù)邊界條件(24),結(jié)合式(20)、式(26)可得:

        (40)

        (41)

        (42)

        (43)

        2.3 轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域積分常數(shù)的確定

        根據(jù)邊界條件(33),結(jié)合式(34)、式(36)可得:

        (44)

        (45)

        (46)

        (47)

        2.4 外氣隙子域積分常數(shù)的確定

        根據(jù)邊界條件(28),結(jié)合式(31)、式(34)可得:

        (48)

        (49)

        (50)

        (51)

        2.5 外定子槽子域積分常數(shù)的確定

        根據(jù)邊界條件(36),結(jié)合式(37)、式(31)可得:

        (52)

        (53)

        積分常數(shù)的推導(dǎo)和求解過(guò)程見(jiàn)附錄A。

        3 磁場(chǎng)計(jì)算和有限元驗(yàn)證

        3.1 樣機(jī)參數(shù)

        本文以一臺(tái)徑向充磁雙定子磁通反向電機(jī)為例,樣機(jī)參數(shù)如表1所示。

        表1 雙定子磁通反向電機(jī)樣機(jī)參數(shù)

        3.2 氣隙磁密分布

        根據(jù)附錄A的計(jì)算結(jié)果,可以得到內(nèi)外氣隙的磁矢位系數(shù)。取內(nèi)氣隙計(jì)算半徑rig=26.25mm,則由式(5)、式(6)和式(31)可得,內(nèi)氣隙的徑向磁密和切向磁密分別為

        (54)

        (55)

        同理,取外氣隙計(jì)算半徑rog=30.75 mm,可由式(5)、式(6)和式(31)可得,外氣隙的徑向磁密和切向磁密分別為:

        (56)

        (57)

        圖4和圖5分別給出了雙定子磁通反向電機(jī)的內(nèi)氣隙和外氣隙磁密分布,可以觀察到對(duì)于內(nèi)外兩層氣隙,解析結(jié)果和有限元結(jié)果幾乎完全吻合。

        圖4 內(nèi)層磁密分布

        圖5 外層磁密分布

        3.3 齒槽轉(zhuǎn)矩

        根據(jù)文獻(xiàn)[14],麥克斯韋張量法是計(jì)算電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的有效方法,其基本思路是在磁場(chǎng)中把一定體積上的體積力轉(zhuǎn)換為一組在體表面的張力進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子和定子相對(duì)靜止時(shí),系統(tǒng)處于一個(gè)平衡狀態(tài),而當(dāng)兩者的相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí),平衡被破壞,轉(zhuǎn)子將受到趨于保持在原平衡位置的切向磁拉力的影響,形成一個(gè)永磁體與鐵心相互作用的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩,即所謂的齒槽轉(zhuǎn)矩:

        (58)

        式中,L為電機(jī)的軸向長(zhǎng)度,rig、rog為內(nèi)外氣隙磁場(chǎng)的測(cè)量半徑,B2r、B2t和B3r、B3t分別為內(nèi)外氣隙測(cè)量半徑處的徑向磁密和切向磁密。

        齒槽轉(zhuǎn)矩在整個(gè)周期內(nèi)的波動(dòng)次數(shù)為

        T=LCD(2p,Q)

        (59)

        對(duì)于12/10的雙定子磁通反向電機(jī)來(lái)說(shuō),由式可以計(jì)算出其齒槽轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)次數(shù)T=60,因此,在一個(gè)電周期內(nèi),其齒槽轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)次數(shù)為T/Q=6次。

        圖6給出了雙定子磁通反向電機(jī)在一個(gè)電周期內(nèi)的齒槽轉(zhuǎn)矩分布,可以看出解析結(jié)果和有限元結(jié)果吻合度較高且波動(dòng)次數(shù)與計(jì)算結(jié)果一致,子域模型法求得的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為334 mNm,有限元法求得的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為347 mNm,誤差為3.7%,進(jìn)一步驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。

        圖6 齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

        4 結(jié) 論

        本文基于精確子域模型法建立了一種求解具有雙層氣隙、復(fù)雜邊界條件的雙定子磁通反向電機(jī)的空載磁場(chǎng)解析方法,通過(guò)解析計(jì)算其空載磁場(chǎng)的氣隙磁密分布,并與有限元結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了該解析方法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上,采用麥克斯韋張量法進(jìn)行齒槽轉(zhuǎn)矩的解析求解,與有限元法的結(jié)果吻合較好,從而為雙定子磁通反向電機(jī)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化奠定了良好的基礎(chǔ)。

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