張靈修,張廣明,歐陽(yáng)慧珉
(南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院,南京 211816)
與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比,磁軸承具有無(wú)機(jī)械摩擦、使用壽命長(zhǎng)以及動(dòng)力損失小等優(yōu)勢(shì),在飛輪儲(chǔ)能、超高速金屬切削加工和高速透平機(jī)械等領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用前景[1]。
轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡會(huì)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生大小與轉(zhuǎn)速平方成正比、方向隨時(shí)間變化的同頻擾動(dòng),是系統(tǒng)中主要的擾動(dòng)來(lái)源[2]。由于直接對(duì)轉(zhuǎn)子的不平衡參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量存在較大難度,在運(yùn)行中對(duì)同頻擾動(dòng)觀測(cè)和抑制更為可行。對(duì)此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了廣泛的研究,主要包括:基于變步長(zhǎng)迭代搜尋的方法[3]、基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法[4]、基于干擾觀測(cè)器的擾動(dòng)補(bǔ)償方法[5]以及基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的擾動(dòng)估計(jì)和補(bǔ)償方法[6]。在現(xiàn)有研究成果中,雖然能夠在低轉(zhuǎn)速下對(duì)同頻擾動(dòng)抑制取得不錯(cuò)的效果,但大多采用了分散控制策略,并采用線性化的方式對(duì)電磁鐵模型進(jìn)行處理。由于線性化僅在工作點(diǎn)附近很小范圍內(nèi)準(zhǔn)確,因而在定轉(zhuǎn)子接觸、磁通飽和等極限情況下,采用線性化電磁鐵模型設(shè)計(jì)的控制器存在難以達(dá)到預(yù)期控制性能的問(wèn)題。另一方面,由于將自由度之間的耦合作用內(nèi)?;⒓{入控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的考慮范圍,在高轉(zhuǎn)速工況下H∞魯棒控制[7]等集中控制策略比分散控制策略具有更好的適用性,但存在計(jì)算資源需求量大和難以實(shí)現(xiàn)寬轉(zhuǎn)速范圍抗擾等問(wèn)題。
針對(duì)上述問(wèn)題,本文研究了以電磁力作為控制量的可行性,將擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器與集中控制策略相結(jié)合,提出了一種以電磁力為控制量的四自由度狀態(tài)反饋擾動(dòng)抑制算法,并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。本文的結(jié)構(gòu)如下:
(1) 建立考慮轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)變化和軸承動(dòng)、靜不平衡作用力的磁軸承動(dòng)力學(xué)模型。
(2) 以電磁力為控制量,從系統(tǒng)總能量角度出發(fā)設(shè)計(jì)了考慮耦合作用模型和外部擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)募惺剿淖杂啥葼顟B(tài)反饋控制器,并證明了其穩(wěn)定性。
(3) 設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)對(duì)同頻擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè),并通過(guò)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行抑制。
(4) 利用Matlab進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真,對(duì)所提出的控制算法進(jìn)行驗(yàn)證。
忽略軸向自由度和徑向自由度之間的耦合,并假設(shè)轉(zhuǎn)子工作在剛性模態(tài)下[8],建立如圖1所示的坐標(biāo)系統(tǒng)。
圖1 轉(zhuǎn)子空間運(yùn)動(dòng)示意圖
其中o-xy為質(zhì)心坐標(biāo)系,o1-x1y1為左側(cè)的軸承坐標(biāo)系,o2-x2y2為右側(cè)的軸承坐標(biāo)系;l和n分別為左側(cè)和右側(cè)軸承距離質(zhì)心的距離;θx和θy分別為轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。
根據(jù)牛頓第二定律,當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離平衡位置xg和yg時(shí),有
(1)
式中,m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量,g為重力加速度,ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速;轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jx和Jy;左側(cè)和右側(cè)磁軸承作用在轉(zhuǎn)子上的控制力分別為fLx、fLy、fRx和fRy;不平衡力和力矩分別為fex、fey、Tεx和Tεy。
式(1)的矩陣形式
(2)
其中
當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí),不平衡力和力矩在質(zhì)心坐標(biāo)下可表示為[2]
(3)
式中,δ為轉(zhuǎn)子實(shí)際的質(zhì)量中心和幾何中心之間的偏差;ε為實(shí)際的慣性軸與幾何軸之間的夾角;φ為不平衡力和力矩的初始相位。
記xL和yL分別為x1和y1方向上的位移距離,xR和yR分別為x2和y2方向上的位移距離。根據(jù)軸承坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)之間的近似變換關(guān)系,可得
(4)
定義誤差向量為
(5)
(6)
將式(5)和式(6)代入式(2)中,可得轉(zhuǎn)子在軸承坐標(biāo)系下的以偏差量表示的運(yùn)動(dòng)方程
(7)
進(jìn)一步對(duì)式(7)進(jìn)行移項(xiàng)和變換,可得
(8)
其中
(9)
為不平衡擾動(dòng)產(chǎn)生的加速度向量。比較式(3)和式(9),可得
(10)
差動(dòng)式電磁鐵的數(shù)學(xué)模型可以表示為如下的非線性的形式
(11)
式中,x為軸承坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子偏離平衡點(diǎn)的距離;i為差動(dòng)控制電流;s0為平衡點(diǎn)處轉(zhuǎn)子與電磁鐵之間氣隙的長(zhǎng)度;i0為平衡點(diǎn)電流;k為與磁軸承及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有關(guān)的綜合性參數(shù)。
在式(11)所給出的電磁鐵模型及約束條件下,不難驗(yàn)證i(t)可由f(t)和x(t)唯一地反向計(jì)算得到。因此以f(t)作為待設(shè)計(jì)控制量與以i(t)作為控制量并無(wú)本質(zhì)區(qū)別[9],但能在控制器設(shè)計(jì)中使用更為精確的電磁鐵模型。
對(duì)式(7)進(jìn)行等價(jià)變形,可得
(12)
構(gòu)建如下的非負(fù)能量函數(shù)
(13)
其中Kp為正定矩陣。
對(duì)式(13)求導(dǎo),可得
(14)
將式(12)代入式(14),有
(15)
如果Funb是已知的,構(gòu)造如下反饋控制器
(16)
式中,Kd為正定矩陣。
將式(16)代入式(15),化簡(jiǎn)后可得
(17)
由于式(16)所給出的控制律是在Funb已知的假設(shè)下得到的,但對(duì)于實(shí)際轉(zhuǎn)子往往難以得到δ和ε的準(zhǔn)確數(shù)值,因而需要通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)Funb進(jìn)行估計(jì)。
為了估計(jì)Funb的各個(gè)分量,現(xiàn)在以其第一個(gè)分量為例說(shuō)明本文所提出的擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。
由式(8)得左側(cè)x軸方向下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為
(18)
(19)
在式(19)的基礎(chǔ)上將擾動(dòng)力產(chǎn)生的加速度w1擴(kuò)張為新的狀態(tài)量x3,并通過(guò)構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量進(jìn)行觀測(cè)[10]。ESO的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示
圖2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖
其中u為觀測(cè)器的輸入信號(hào),y為系統(tǒng)的輸出信號(hào),z1、z2和z3分別為狀態(tài)量x1、x2和x3的觀測(cè)值。設(shè)置觀測(cè)器為如下線性形式
(20)
式中,b為輸入增益,β01為位移反饋增益,β02為速度反饋增益,β03為擾動(dòng)反饋增益。
當(dāng)系統(tǒng)中的耦合關(guān)系模型比較準(zhǔn)確且擾動(dòng)有限時(shí),為了降低觀測(cè)器需要估計(jì)的總擾動(dòng)范圍,進(jìn)而平滑輸出曲線并降低對(duì)噪聲的敏感[11],可將u取為如下形式
(21)
通過(guò)類似方法在其他坐標(biāo)系方向分別設(shè)置上述狀態(tài)觀測(cè)器,可得
(22)
將式(22)代入式(10),有
(23)
即得到了反饋控制器所需的Funb的觀測(cè)值。
通過(guò)搭建磁軸承系統(tǒng)Matlab/Simulink模型,驗(yàn)證本文所述控制器對(duì)于同頻擾動(dòng)的抑制效果。磁軸承系統(tǒng)參數(shù)及給定的動(dòng)、靜不平衡參數(shù)如表1所示。
表1 系統(tǒng)參數(shù)
在進(jìn)行對(duì)比的控制器中,兩個(gè)控制器的Kp和Kd參數(shù)保持一致,各坐標(biāo)系不同方向下的LESO參數(shù)通過(guò)帶寬概念分別進(jìn)行整定。根據(jù)控制器穩(wěn)定條件,可將Kp和Kd取為如下形式
Kp=diag(kp1,kp2,kp3,kp4)
Kd=diag(kd1,kd2,kd3,kd4)
狀態(tài)反饋控制器及LESO的參數(shù)如下表所示。
表2 控制器參數(shù)
轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化曲線如圖3所示。
圖3 轉(zhuǎn)速ω變化曲線
在0 s至1 s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不斷上升,達(dá)到30000 r/min后保持勻速。
圖4為左側(cè)x軸處LESO對(duì)于不平衡擾動(dòng)加速度w1的觀測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比,圖中虛線為擾動(dòng)加速度的觀測(cè)值,實(shí)線為擾動(dòng)加速度的實(shí)際值。由圖可見(jiàn),觀測(cè)器能夠快速且準(zhǔn)確地跟蹤擾動(dòng)信號(hào)。
圖4 左側(cè)x軸處w1觀測(cè)值與實(shí)際值的比較
圖5為左、右軸承處轉(zhuǎn)子的位移波動(dòng)情況對(duì)比。圖中實(shí)線為未采取擾動(dòng)補(bǔ)償措施的位移波動(dòng),虛線為擾動(dòng)補(bǔ)償后的位移波動(dòng)。由圖可見(jiàn)采取擾動(dòng)補(bǔ)償措施后,轉(zhuǎn)子位移波動(dòng)幅值在不同轉(zhuǎn)速下均有明顯下降。
圖5 左、右軸承處轉(zhuǎn)子位移波動(dòng)對(duì)比
為量化分析擾動(dòng)補(bǔ)償對(duì)于轉(zhuǎn)子加速階段和勻速階段的擾動(dòng)抑制效果,從圖中取三個(gè)不同轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子的位移波動(dòng)幅值情況進(jìn)行定量分析,如表3、表4和表5所示。
表3 干擾抑制特性比較(10000 r/min)
表4 干擾抑制特性比較(20000 r/min)
表5 干擾抑制特性比較(30000 r/min)
由表3和表5可以看出,在加速初始階段以及勻速階段位移波動(dòng)幅值可降低80%以上;而在轉(zhuǎn)速上加速度較快階段,如表4所示,抑制效果依然能夠維持在70%以上。
本文通過(guò)對(duì)磁軸承轉(zhuǎn)子在運(yùn)行中的空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行建模和分析,從系統(tǒng)能量角度設(shè)計(jì)了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制器,并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析;控制器以電磁力作為系統(tǒng)控制量,使其對(duì)于更為精確的非線性電磁鐵模型具有更好的適用性;通過(guò)Matlab仿真,驗(yàn)證了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制算法的可行性和LESO對(duì)于同頻擾動(dòng)的觀測(cè)及補(bǔ)償效果,仿真結(jié)果表明本文所提出的組合控制器能夠在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對(duì)轉(zhuǎn)子同頻擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和主動(dòng)抑制,轉(zhuǎn)子運(yùn)行精度提升顯著。