宋建輝

(福建省福州格致中學 350001)

2021年高考數(shù)學全國乙卷理科第9題源自魏晉時期我國數(shù)學家劉徽的著作《海島算經(jīng)》，試題敘述簡潔，閱讀順暢，在考查學生綜合運用知識解決問題能力的同時，既宣揚了我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和古代數(shù)學的輝煌成就，又讓學生充分感悟到我國古代數(shù)學家的聰明才智，彰顯了立德樹人導向.

1 試題評析

題目 魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高.如圖，點

E

,

H

,

G

在水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，

EG

稱為“表距”，

GC

和

EH

都稱為“表目距”，

GC

與

EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB

=( ).

表高

表高

表距

表距

背景分析：《海島算經(jīng)》是中國最早的一部運用幾何理論解決各種測量難題的數(shù)學專著.首題原文如下：

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？

答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步.

術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之.所得加表高，即得島高.求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法.除之，得島去表數(shù).

文中給出的測量算法(術曰部分)公式用白話文可表述為：

島高表高，島去

結合圖形，上述結論“翻譯”如下：

①，

②.

可以看出，原文給的是確切的已知數(shù)，高考試題把已知條件用字母表示，求的是島高的表達式，屬于客觀性中等難度試題.筆者了解到大量考生對于本題的基本反應集中于：題目的文字固然簡短，但對“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”等理解不到位，又基于試題所處的特殊位置及考場的氛圍而引發(fā)的應試心理狀態(tài)，部分考生出現(xiàn)了臨場思維受阻現(xiàn)象，一時難以將個體認知結構中儲備的各種“解題工具”進行有效提取，未能找到合適的比較與化歸的突破口，從而使得本題的準確解答率較低，不少考生只能依靠連猜帶蒙的方式胡亂選擇一個答案，從而影響了本題考查目標的落實.

2 解法探究

我們知道，數(shù)學語言可分為抽象性數(shù)學語言和直觀性數(shù)學語言，又可歸結為文字語言、符號語言、圖形語言三類.因此，在解決問題時，應首先將題目提供的文字語言，結合題目圖形轉化為符號語言，符號語言指意簡明，書寫方便，且集中表達數(shù)學內容，有助思維，有益于問題解決.因此，應結合圖形，首先將題目中的“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”等條件轉換為符號語言，其次再探究解決問題的方法.

設海島的高

AB

=

h.

記表高

DE

=

FG

=

d

，表距

EG

=

t

，表目距

GC

=

m

，

EH

=

n

，表目距的差

s

=

m

-

n.

解法1 針對問題及選項的數(shù)學結構特征，自然想到應用平面幾何有關知識加以解決.

因為

AB

∥

DE

，

AB

∥

FG

，所以即所以又

AC

-

AH

=

HC

=

HG

+

GC

=

EG

-

EH

+

GC

=

t

+

s

，

所以即所以表高，選A.

評析 我們看到，所使用的工具都是利用垂直關系所連接起來的測竿(表高)，其數(shù)據(jù)來自利用兩次或多次測望所得，推算過程僅涉及到初中平面幾何知識：平行線分線段成比例定理，在用符號語言表述后，試題解決流暢、自然.

基于解法1僅涉及初中平面幾何知識，根據(jù)選項的結構特征，亦可考慮利用面積思想來解決問題，于是便有以下的“創(chuàng)新”解法.

解法2 面積思想

如下圖，把原圖補充成矩形，得到四塊不同的區(qū)域，其面積分別記為

S

,

S

,

S

,

S

.

根據(jù)矩形的對角線平分面積，可得

所以表高，選A.

評析 雖然該解法有點“標新立異”，但是解法不落俗套，體現(xiàn)了思維的靈活性，展示了“數(shù)學建?！钡暮诵乃仞B(yǎng).

我們知道，在中學數(shù)學教材中，測量不可及物高度與距離問題是解三角形的常見實際問題類型之一.本題的測海島的高與人教A版必修第二冊第50頁例10源出一轍，應用三角函數(shù)及解三角形知識也能快速便捷地解決問題.

解法3 三角法

如圖，連結

DF

交

AB

于

M

，則

AB

=

AM

+

BM.

記∠

BDM

=

α

,∠

BFM

=

β

，則而所以從而所以表高.

評析 三角函數(shù)是溝通邊角關系的一座橋梁，解法3充分體現(xiàn)了測量問題中三角函數(shù)相關知識的巨大作用.劉徽時代還沒有出現(xiàn)三角函數(shù)理論，三角學傳入中國已是17世紀的事了，前后相差約1400年，因此劉徽建立不可及物高度與距離的測量算法公式，展現(xiàn)出他高超的數(shù)學智慧.

3 反思

劉徽及其數(shù)學著作是中國古代數(shù)學成就的杰出代表，我國著名數(shù)學家吳文俊先生在《〈九章算術〉及其劉徽注研究》序中指出：“肇始于我國的這種機械化(算法)體系，在經(jīng)過明代以來近幾百年的相對消沉后，由于計算機的出現(xiàn)，已越來越為數(shù)學家所認識與重視，勢將重新登上歷史舞臺”.海島高度的測量算法(術)充分體現(xiàn)了《九章算術》的宗旨“析理以辭，解題用圖”，該宗旨促進了我國數(shù)學機械化算法體系的構建，這與當今計算數(shù)學的一個重點研究方向“找到高效算法”高度吻合，因此該題的考查意義與教育價值不言而喻，而上述3種解法就是在探索“不可及物高度的測量”算法，其中解法3更具有普適性，是一種高效算法.

近年來在高考中出現(xiàn)了大量關注傳統(tǒng)文化的優(yōu)秀試題，它對“數(shù)學文化融入課程內容”起到了正確導向的作用，指導著我們在教學活動中，要善于挖掘、提煉傳統(tǒng)文化資源，“潤物細無聲”般地在教與學中感受傳統(tǒng)文化的價值，喚醒隱藏心底的數(shù)學文化意識，進而增進學生學習數(shù)學的情感，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的全面提升.