程 成，謝少軍，譚玲娟，周瀟慶，許津銘，錢 強

（1. 南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇省 南京市 211106；2. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院,江蘇省 南京市 211106）

0 引言

并網(wǎng)逆變器作為分布式能源與電網(wǎng)的功率接口,其性能好壞直接影響到輸入電網(wǎng)的電能質(zhì)量［1-3］。在跟網(wǎng)型逆變器控制中,通常采用鎖相環(huán)來實現(xiàn)受控的并網(wǎng)電流與電網(wǎng)相位同步［4］。在強電網(wǎng)條件下,鎖相環(huán)輸入為獨立的電網(wǎng)電壓,鎖相環(huán)及并網(wǎng)逆變器之間為串聯(lián)結(jié)構(gòu),因此,可將兩者單獨進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。然而,隨著可再生能源發(fā)電的快速發(fā)展,以及考慮到配電網(wǎng)中較長線路、變壓器漏感等的影響,電網(wǎng)往往呈現(xiàn)出弱電網(wǎng)特性［5-6］。在弱電網(wǎng)情況下,鎖相環(huán)輸入通常為公共耦合點（point of common coupling,PCC）電壓或濾波器電容電壓［7-9］,由此造成了并網(wǎng)逆變器、鎖相環(huán)及電網(wǎng)之間的相互耦合,進而易引起低頻諧振及諧波穩(wěn)定性問題［10］。此外,由于鎖相環(huán)中的坐標(biāo)變換以及基準(zhǔn)生成環(huán)節(jié)存在著關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的三角函數(shù)運算,鎖相環(huán)具有較強的非線性特性,這使得弱電網(wǎng)下的跟網(wǎng)型逆變器研究更為復(fù)雜。因此,如何準(zhǔn)確模擬和分析弱電網(wǎng)下帶有非線性環(huán)節(jié)的并網(wǎng)逆變器是跟網(wǎng)型并網(wǎng)逆變器研究的重要課題［11-12］,也是并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)分析及設(shè)計的關(guān)鍵之一。

小信號模型被廣泛用于分析鎖相環(huán)的非線性問題,非線性鎖相環(huán)在靜態(tài)工作點處被線性化為易于處理的線性模型,并在此基礎(chǔ)上建立逆變器的輸出阻抗模型以支持阻抗穩(wěn)定性分析。文獻［13-15］以1/4 周期延遲的鎖相環(huán)為研究對象,采用了基于小信號模型的阻抗穩(wěn)定性分析方法,結(jié)果表明,鎖相環(huán)對兩倍鎖相環(huán)帶寬內(nèi)的逆變器系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有較大影響。為此,文獻［16-17］通過在鎖相環(huán)輸入端引入二階低通濾波器或復(fù)數(shù)濾波器以改善系統(tǒng)在弱電網(wǎng)下的魯棒性能。然而,文獻［11］指出上述鎖相環(huán)建模過于簡單地將α軸和β軸分量處理為一對完全正交的信號,并僅考慮鎖相環(huán)輸入輸出頻率一一映射。為建立更為準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型,文獻［18-19］在計及諧波耦合效應(yīng)的前提下,提出了基于諧波傳遞矩陣的并網(wǎng)逆變器多頻傳遞函數(shù)模型,并采用廣義奈氏曲線分析系統(tǒng)阻抗穩(wěn)定性,結(jié)果顯示該方法在預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)確性方面得到了較大的提高。然而,諧波傳遞矩陣方法同樣只適用于靜態(tài)工作點處的小范圍擾動情況,當(dāng)系統(tǒng)受到較大的暫態(tài)擾動時［20］,系統(tǒng)狀態(tài)將偏離靜態(tài)工作點,由此產(chǎn)生較大的線性化誤差使得所建模型精確度降低。

在跟網(wǎng)型逆變器的同步穩(wěn)定性問題中,文獻［21-24］將受控的逆變器等效為一個電流源,并通過非線性理論對弱電網(wǎng)下鎖相環(huán)的暫態(tài)同步穩(wěn)定進行分析。然而,弱電網(wǎng)下的鎖相環(huán)、逆變器及弱電網(wǎng)三者相互耦合,將逆變器通過等效為電流源分析的解耦并沒有得到定量的分析,因此,基于解耦前提的非線性建模及分析方法存在嚴(yán)謹(jǐn)性問題,需要進一步研究更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目紤]逆變器系統(tǒng)全局穩(wěn)定的非線性分析。

鑒于以上討論,本文將采用非線性理論方法研究弱電網(wǎng)背景下的跟網(wǎng)型逆變器系統(tǒng)。首先,建立了并網(wǎng)逆變器的整體非線性狀態(tài)空間模型,其中非線性部分的有界條件通過計算獲得。為得出全局穩(wěn)定條件,通過建立二次Lyapunov 函數(shù),并引入松弛因子,將非線性的有界條件代入系統(tǒng)全局穩(wěn)定條件的推導(dǎo)中。借助MATLAB 軟件對系統(tǒng)參數(shù)進行逐點分析,以明晰在非線性判據(jù)下系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。最后,通過一系列暫態(tài)實驗證實了本文所提非線性建模及分析方法的正確性及有效性。

1 跟網(wǎng)型逆變器的非線性建模

弱電網(wǎng)下的LCL 型單相并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)如圖1所示。圖中：SPWM 表示正弦脈寬調(diào)制；L1、L2為濾波器電感；C為濾波電容；Lg為電網(wǎng)阻抗,考慮到電網(wǎng)阻抗的阻性部分有利于系統(tǒng)穩(wěn)定,電網(wǎng)阻抗在這里考慮為純感性以表示最惡劣的情況；vdc為直流源電壓；vin為逆變器輸出電壓；ic為電容電流；ig為被控的并網(wǎng)電流；vp為PCC 電壓；vg為理想的電網(wǎng)電壓；電流控制器中采用了常見的電容電流反饋來實現(xiàn)對LCL 濾波器諧振的阻尼,并使用比例-積分（PI）電流調(diào)節(jié)器及PCC 電壓單位前饋策略來減少基波跟蹤誤差并實現(xiàn)較好的動態(tài)性能。與PCC 電壓同步的電流參考幅值iref通過鎖相環(huán)模塊產(chǎn)生；kad為有源阻尼反饋系數(shù)；e-τs表示數(shù)字計算延遲,其中τ為延遲時間。為簡化計算,圖1 中控制信號至逆變器輸出的等效增益kpwm被設(shè)置為1［25］。

圖1 單相并網(wǎng)逆變器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of single-phase grid-connected inverter

將圖1 簡化為圖2,能夠直觀地觀察出鎖相環(huán)、受控的逆變器以及電網(wǎng)之間相互耦合。

圖2 并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)Fig.2 Equivalent structure of grid-connected inverter system

1.1 鎖相環(huán)的非線性模型

考慮到二階廣義積分器對輸入具有一定的濾波功能,可以適應(yīng)小范圍的電網(wǎng)頻率變化,應(yīng)用于并網(wǎng)逆變器時性能優(yōu)良。如圖3 所示,本文針對基于二階廣義積分器的鎖相環(huán)進行建模。圖中,PCC 電壓經(jīng)過二階廣義積分器產(chǎn)生一對正交信號uα和uβ,通過非線性的Park 變換產(chǎn)生相位誤差信號ud,PI 調(diào)節(jié)器將ud調(diào)節(jié)至0 以實現(xiàn)對PCC 電壓的相位跟蹤,后經(jīng)過積分環(huán)節(jié)獲得相角θ,電流參考則進一步通過對相角的正弦運算獲得,其中i*為電流參考幅值,kpl和kil為鎖相環(huán)中的PI 參數(shù)。需要指出的是,應(yīng)用于逆變器的鎖相環(huán)的輸出側(cè)通常采用cos(·)運算,本文為了能夠得出非線性函數(shù)的有界不等式,在鎖相環(huán)中采用sin(·)運算,并將PI 調(diào)節(jié)器的輸入改為ud以實現(xiàn)同步。

圖3 基于二階廣義積分器的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)Fig.3 Phase-locked loop structure based on secondorder generalized integrator

鎖相環(huán)輸入端的二階廣義積分器的Laplace 域表達(dá)式為：

為便于后續(xù)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,定義鎖相環(huán)環(huán)節(jié)的狀態(tài)向量為：

1.2 逆變器系統(tǒng)模型

根據(jù)圖1 中的LCL 型濾波逆變器電路結(jié)構(gòu),可得如下連續(xù)狀態(tài)空間模型：

根據(jù)基爾霍夫定律可得：

矩陣A中的N=[0,1-l,0,0,0]。

2 全局穩(wěn)定性判據(jù)

2.1 非線性項的處理

為推導(dǎo)穩(wěn)定性判據(jù),需要找到非線性f（θ）與系統(tǒng)狀態(tài)x之間的不等式關(guān)系。

首先,對于Park 變換中的非線性函數(shù)g（θ）,可得如下不等式：

式中：I為適維的單位矩陣。

電流參考生成環(huán)節(jié)中的非線性函數(shù)ρ（θ）則可以重新表達(dá)為ρ(θ)=k(θ)θ,其中k(θ)=(θ-sinθ)/θ。圖4 展示了k（θ）函數(shù)曲線,可以看出k(θ)為關(guān)于θ的有界函數(shù),其范圍為k(θ)∈[0,1.217 3]。因此,可得如下不等式：

圖4 k(θ)函數(shù)曲線Fig.4 Curve of function k(θ)

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的不等式條件

選擇Lyapunov 函數(shù)為V[x]=xTPx,其中P為正定矩陣。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性判據(jù)可知,若使得系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,則需dV[x]/dt ＜0。實際上,對于并網(wǎng)逆變器狀態(tài)空間模型（式（21））,若存在正定矩陣P以及正實數(shù)ε1、ε2,使得矩陣不等式（25）成立,則系統(tǒng)（式（21））在有界條件（式（23）、式（24））的約束下滿足dV[x]/dt＜0,即整個并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)能夠漸進穩(wěn)定（證明過程如附錄A 所示）。

式中：E1=diag{1,0}；E2=diag{0,1}；

3 穩(wěn)定域分析

為進一步分析鎖相環(huán)及電網(wǎng)阻抗對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響,本章將通過MATLAB 軟件對各個參數(shù)進行逐點驗證,系統(tǒng)分析中的固定參數(shù)如附錄B 表B1所示。將各個待驗證的控制參數(shù)（即kp和ki）代入矩陣A、Df時,不等式（25）為一個線性矩陣不等式,通過MATLAB 軟件中的LMI 工具箱求解不等式（25）,若可解,則所代入的控制參數(shù)滿足穩(wěn)定條件。具體驗證過程如圖5 所示,其中參數(shù)所驗證的區(qū)間為kp∈[kp,min,kp,max],ki∈[ki,min,ki,max],下標(biāo)min 和max 分別表示最小值和最大值。

圖5 穩(wěn)定域的驗證流程圖Fig.5 Flow chart of stability region verification

3.1 電網(wǎng)阻抗對穩(wěn)定域的影響

通過使用如圖5 所示的逐點驗證方法,并設(shè)kp,min=ki,min=0,kp,max=24,ki,max=40 000,imax=jmax=200。不同電網(wǎng)阻抗下的參數(shù)穩(wěn)定域如附錄B圖B1 所示,可以看出,隨著電網(wǎng)阻抗的增加,系統(tǒng)PI 參數(shù)的穩(wěn)定域縮小。此外需要指出的是,現(xiàn)有基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性分析中,通常將電網(wǎng)阻抗的不確定區(qū)間通過Polytopic 型不確定模型引入穩(wěn)定條件的推導(dǎo)。但在實際的弱電網(wǎng)情況下,電網(wǎng)阻抗的不確定范圍較大,這種區(qū)間推導(dǎo)方法將使得分析結(jié)果具有極大的保守性,甚至可能導(dǎo)致條件失效而得不到穩(wěn)定域,在文獻［26-28］中,所研究的電網(wǎng)阻抗范圍僅為0～1 mH。本節(jié)對不確定的電網(wǎng)阻抗進行逐點驗證,這使得穩(wěn)定性分析能夠面向更寬范圍的電網(wǎng)阻抗變化。

3.2 電流參考幅值對穩(wěn)定域的影響

附錄B 圖B2 給出了強/弱電網(wǎng)背景下,iref分別為1 p.u.和0.5 p.u.時的穩(wěn)定域范圍。從圖B2（a）中可以看出,在強電網(wǎng)下,電流參考幅值的設(shè)置對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響,這是由于鎖相環(huán)輸入為獨立的電網(wǎng)電壓,這使得鎖相環(huán)與逆變器為相互獨立的子系統(tǒng)。從圖B2（b）中可以看出,電流參考幅值的增大減小了系統(tǒng)的穩(wěn)定域,這是由于iref的增大等效增加了整個系統(tǒng)的環(huán)路增益,使得穩(wěn)定裕度降低。

4 實驗驗證

為驗證所提出的穩(wěn)定性分析方法的有效性,搭建了單相T 形中點鉗位型并網(wǎng)逆變器系統(tǒng),逆變器參數(shù)如附錄B 表B1 所示,逆變器采樣及控制均由DSP TMS320F28335 實現(xiàn)。電網(wǎng)阻抗則通過在逆變器輸出側(cè)串聯(lián)的電感模擬。出于安全考慮,以下實驗在較低的電壓等級下進行,逆變器輸出通過可調(diào)變壓器與市電相連。

4.1 基于非線性模型分析的穩(wěn)定域驗證

實際上,在PI 控制器中,比例參數(shù)kp越大,系統(tǒng)響應(yīng)速度越快且低頻的環(huán)路增益越高；積分參數(shù)ki越大,穩(wěn)態(tài)誤差越小但動態(tài)性能越差［29］。為權(quán)衡系統(tǒng)性能并留有一定的穩(wěn)定裕度,選取Lg∈[0,6]mH條件下系統(tǒng)穩(wěn)定域內(nèi)的PI 參數(shù)kp=6,ki=5 000 作為逆變器的控制參數(shù)（記為“例1”,如附錄B 圖B1 所示）。由于傳統(tǒng)的鎖相環(huán)建模采用的是在靜態(tài)工作點處線性化的小信號模型,在小擾動情況下并沒有明顯的偏差。因此,本節(jié)將在各種暫態(tài)事件（包括電流參考幅值突變、電網(wǎng)阻抗突變以及電網(wǎng)電壓驟降）下進行實驗測試。

當(dāng)Lg分別為3 mH 和6 mH 且iref在0.5 p.u.與1 p.u.之間突變時的暫態(tài)實驗波形如附錄B 圖B3 所示。從圖中可以看出,在所分析的電網(wǎng)環(huán)境下,系統(tǒng)是暫態(tài)穩(wěn)定的。從穩(wěn)態(tài)時的并網(wǎng)電流性能來看：較大的電網(wǎng)阻抗會導(dǎo)致較大的并網(wǎng)電流總諧波畸變率（THD）值；較大的電流基準(zhǔn)時THD 值較小,這是由于電網(wǎng)電壓擾動相對變小。

為模擬電網(wǎng)阻抗突變的暫態(tài)情況,電網(wǎng)阻抗通過2 個3 mH 的電感串聯(lián)模擬,并在其中一個電感上并聯(lián)一個可控開關(guān)。開關(guān)從閉合切換至斷開時電網(wǎng)阻抗從3 mH 突增至6 mH；開關(guān)從斷開切換至閉合時電網(wǎng)阻抗從6 mH 突降至3 mH。附錄B 圖B4 給出了在iref=1 p.u.下,電網(wǎng)阻抗突增和突降時的暫態(tài)實驗波形。從圖中可以看出,在電網(wǎng)阻抗突變的暫態(tài)事件下系統(tǒng)依舊穩(wěn)定。

此外,通過調(diào)節(jié)逆變器與市電相連的變壓器,進一步模擬了電網(wǎng)電壓驟降的暫態(tài)情況。附錄B圖B5（a）給出了iref=1 p.u.、Lg=6 mH 時電網(wǎng)電壓從1 p.u.快速降落至0.5 p.u.的暫態(tài)實驗波形,從圖中可以看出,系統(tǒng)在電網(wǎng)電壓快速下降的暫態(tài)事件下能夠穩(wěn)定運行。在相同的條件下,通過仿真軟件Simulink 測試了電網(wǎng)電壓突降時的暫態(tài)波形,如圖B5（b）所示,從中可以看出,系統(tǒng)依舊能夠穩(wěn)定運行。

從以上3 個暫態(tài)事例的實驗測試結(jié)果可以看出,系統(tǒng)在參數(shù)“例1”下能夠保持暫態(tài)穩(wěn)定,這與上一節(jié)的穩(wěn)定域分析的結(jié)果一致。

4.2 非線性模型與小信號模型的對比

將變流器的PI 控制參數(shù)改為kp=6、ki=7 000（即附錄B 圖B1 中的“例2”）,從圖B1 中可以看出,基于本文建立的非線性模型及分析方法,當(dāng)iref=1 p.u.、Lg=6 mH 時,預(yù)測系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但從附錄B 圖B6 可以看出,基于鎖相環(huán)小信號模型而推導(dǎo)的阻抗比的Nyquist 曲線未穿過(-1,0)點,這意味著根據(jù)線性化模型及傳統(tǒng)分析方法預(yù)測系統(tǒng)是穩(wěn)定的。附錄B 圖B7給出了在參數(shù)“例2”下,iref從0.5 p.u.突增至1 p.u.的暫態(tài)實驗波形。從圖中可以清晰地看出,當(dāng)iref突增時系統(tǒng)立即失穩(wěn),并在半個周期之后觸發(fā)保護。此外,圖B7 還給出了當(dāng)iref=1 p.u.時,參數(shù)“例2”下的穩(wěn)態(tài)實驗波形,波形顯示系統(tǒng)在此情況下是穩(wěn)定的。因此,圖B7 的暫態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象是由于暫態(tài)擾動造成的,這充分說明了傳統(tǒng)的小信號分析并不能準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定。這是因為小信號模型是在穩(wěn)態(tài)工作點處線性化推導(dǎo)而來的,當(dāng)系統(tǒng)受到暫態(tài)擾動時,模型存在較大的誤差,繼而導(dǎo)致分析結(jié)果不準(zhǔn)確。這也證明,相比于傳統(tǒng)的小信號模型和穩(wěn)定性分析方法,本文提出的非線性穩(wěn)定性分析方法更為準(zhǔn)確,且適用于暫態(tài)穩(wěn)定性分析。

5 結(jié)語

針對弱電網(wǎng)背景下的跟網(wǎng)型逆變器,計及鎖相環(huán)非線性特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,建立了一種非線性狀態(tài)空間模型,并基于非線性系統(tǒng)理論提出了滿足全局穩(wěn)定的不等式判據(jù)及穩(wěn)定性分析方法。

基于本文提出的跟網(wǎng)逆變器非線性模型和穩(wěn)定性分析方法,可以得出逆變器在不同電網(wǎng)阻抗、進網(wǎng)電流下的穩(wěn)定域。與基于小信號模型的研究結(jié)論一致,基于非線性模型的穩(wěn)定性分析同樣表明了電網(wǎng)阻抗以及電流參考幅值的增大不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。同時,暫態(tài)實驗表明,由于線性化誤差的存在,傳統(tǒng)的小信號模型并不能準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性,而本文提出的非線性模型和分析方法可以準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

此外,需要指出的是,由于鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)的特殊性,非線性狀態(tài)空間模型及矩陣不等式穩(wěn)定條件的推導(dǎo)較為復(fù)雜,系統(tǒng)不穩(wěn)定機制不夠直觀。因此,無法像阻抗分析法那樣能夠作為系統(tǒng)設(shè)計的重要依據(jù)。雖然提出的方法能夠給出絕對嚴(yán)格的穩(wěn)定域,但結(jié)果也具有一定的保守性。因此,降低穩(wěn)定條件的保守性以及力求提供直觀的非線性分析方法將是需要進一步開展的工作。

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