曹滿霞, 黃 尉
(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,合肥230601)
壓縮感知的目的是通過欠定線性測量恢復未知信號,可以應用在圖像壓縮[1]和信號降噪[2]等方面,當沒有相位信息時則稱為相位恢復問題.相位恢復問題的應用遍布于工程物理及生物信息學的各個方面,主要有光學[3]、天文成像[4]、盲解卷積[5]等.一般情況下,相位恢復問題是通過觀測
y=|Ax|+e
來恢復未知信號,其中x∈n,觀測矩陣A=[a1,…,am]*∈m×n,|Ax|=[|〈a1,x〉|,…,|〈am,x〉|]*,觀測誤差e∈m.當x∈n為稀疏信號,測量矩陣A滿足強約束等距性時,可以通過解以下1最小化問題來保證信號穩(wěn)定恢復[6],即
min‖z‖1使得 ‖|Az|-y‖2≤ε,
(1)
文章主要考慮的是在已知部分支撐信息的情況下的相位恢復問題.為了結合先驗支撐信息,參考文獻[7]采用單一權重加權1最小化模型,并表明在無誤差情況下,得到k稀疏信號恢復的充要條件,即當測量矩陣滿足加權零空間性質.然而Needell等人在參考文獻[8]中表明,在壓縮感知問題中,用單一權重的加權1最小化模型來恢復信號沒有達到預期效果,繼而提出非一致權重的加權1最小化模型,因此在文章中將采用以下非一致權重的加權1最小化模型來求解相位恢復問題
min‖z‖1,w使得 ‖|Az|-y‖2≤ε
(2)
為了方便起見,這一部分主要介紹與文章有關的概念和引理.對于任意的信號x∈n,假設xk表示信號x的最佳k項逼近誤差.假設T0為xk的支撐集,即:T0=supp(xk),且|T0|≤k.同時設為x的支撐估計,其中對于每個i都有
定義1[9]若存在常數(shù)δk∈[0,1),使得對任意的k稀疏信號x∈n,都有
成立,則稱矩陣A滿足k階約束等距性質(RIP),其中常數(shù)δk稱為約束等距常數(shù).
定義2[10]設[m]={1,2,…,m},若對任意的k稀疏信號x∈n,都有
成立,則稱矩陣A滿足k階強約束等距性質(SRIP),其中θ-,θ+∈(0,2)是常數(shù).
首先介紹本文中非常有用的引理,該引理是[7]的引理1的擴展.
引理設x∈n,y=Ax+e∈m,其中‖e‖2≤ξ且η≥0.當t>d時,假設矩陣A滿足tk階的RIP條件,且其中
并且
其中
該引理的證明與[11]中定理3.1的證明類似,即在[11]中取d1=d2=…=dM=1時的特殊情形.
定理設x∈n,y=|Ax|+e∈m,其中‖e‖2≤ξ.假設矩陣A滿足參數(shù)為θ-,θ+∈(0,2)的tk階的SRIP條件,且
如果將索引集[m]={1,2,…,m}分成兩個子集
則可以得到
這里|T|≥m/2或者|Tc|≥m/2.如果|T|≥m/2,由于
那么有
因為矩陣A滿足參數(shù)為θ-,θ+的tk階的SRIP條件并且
因此,SRIP條件的定義表明AT滿足參數(shù)為
的tk階RIP條件.
因此,令引理中的η=0,有
相似地,如果|Tc|≥m/2,可以得到另一個相似的結果
致謝非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.