曹滿霞， 黃 尉

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，合肥230601)

1 引 言

壓縮感知的目的是通過欠定線性測量恢復未知信號，可以應用在圖像壓縮[1]和信號降噪[2]等方面，當沒有相位信息時則稱為相位恢復問題.相位恢復問題的應用遍布于工程物理及生物信息學的各個方面，主要有光學[3]、天文成像[4]、盲解卷積[5]等.一般情況下，相位恢復問題是通過觀測

y=|Ax|+e

來恢復未知信號，其中x∈n，觀測矩陣A=[a1，…，am]*∈m×n，|Ax|=[|〈a1，x〉|，…，|〈am，x〉|]*，觀測誤差e∈m.當x∈n為稀疏信號，測量矩陣A滿足強約束等距性時，可以通過解以下1最小化問題來保證信號穩(wěn)定恢復[6]，即

min‖z‖1使得 ‖|Az|-y‖2≤ε，

(1)

文章主要考慮的是在已知部分支撐信息的情況下的相位恢復問題.為了結合先驗支撐信息，參考文獻[7]采用單一權重加權1最小化模型，并表明在無誤差情況下，得到k稀疏信號恢復的充要條件，即當測量矩陣滿足加權零空間性質.然而Needell等人在參考文獻[8]中表明，在壓縮感知問題中，用單一權重的加權1最小化模型來恢復信號沒有達到預期效果，繼而提出非一致權重的加權1最小化模型，因此在文章中將采用以下非一致權重的加權1最小化模型來求解相位恢復問題

min‖z‖1，w使得 ‖|Az|-y‖2≤ε

(2)

2 預備知識

為了方便起見，這一部分主要介紹與文章有關的概念和引理.對于任意的信號x∈n，假設xk表示信號x的最佳k項逼近誤差.假設T0為xk的支撐集，即：T0=supp(xk)，且|T0|≤k.同時設為x的支撐估計，其中對于每個i都有

定義1[9]若存在常數(shù)δk∈[0，1)，使得對任意的k稀疏信號x∈n，都有

成立，則稱矩陣A滿足k階約束等距性質(RIP)，其中常數(shù)δk稱為約束等距常數(shù).

定義2[10]設[m]={1，2，…，m}，若對任意的k稀疏信號x∈n，都有

成立，則稱矩陣A滿足k階強約束等距性質(SRIP)，其中θ-，θ+∈(0，2)是常數(shù).

3 主要結果

首先介紹本文中非常有用的引理，該引理是[7]的引理1的擴展.

引理設x∈n，y=Ax+e∈m，其中‖e‖2≤ξ且η≥0.當t>d時，假設矩陣A滿足tk階的RIP條件，且其中

并且

其中

該引理的證明與[11]中定理3.1的證明類似，即在[11]中取d1=d2=…=dM=1時的特殊情形.

定理設x∈n，y=|Ax|+e∈m，其中‖e‖2≤ξ.假設矩陣A滿足參數(shù)為θ-，θ+∈(0，2)的tk階的SRIP條件，且

如果將索引集[m]={1，2，…，m}分成兩個子集

則可以得到

這里|T|≥m/2或者|Tc|≥m/2.如果|T|≥m/2，由于

那么有

因為矩陣A滿足參數(shù)為θ-，θ+的tk階的SRIP條件并且

因此，SRIP條件的定義表明AT滿足參數(shù)為

的tk階RIP條件.

因此，令引理中的η=0，有

相似地，如果|Tc|≥m/2，可以得到另一個相似的結果

4 結 論

致謝非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.