吳奇　夏梓祥　楊如艷

[摘 要] 線性代數(shù)因知識(shí)點(diǎn)抽象難懂、掛科率較高，一直是本科公共課教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。隨著學(xué)分制改革的推進(jìn)，不同院校對(duì)該門課程的總學(xué)時(shí)進(jìn)行了不同程度的壓縮。在這一新的形勢(shì)下，通過一學(xué)期兩輪的漸進(jìn)式教學(xué)、設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)慕課、在課堂上合理穿插趣味教學(xué)法、利用線上教學(xué)平臺(tái)加強(qiáng)學(xué)習(xí)痕跡管理、多方面考核學(xué)生學(xué)習(xí)情況等一系列教學(xué)模式和方法的組合應(yīng)用，保證了在總學(xué)時(shí)縮減的情況下對(duì)大綱規(guī)定教學(xué)內(nèi)容的講授，提升了教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞] 線性代數(shù);學(xué)分制;兩輪漸進(jìn)式教學(xué);趣味教學(xué)

[基金項(xiàng)目] 2017年度云南農(nóng)業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)學(xué)困生的形成原因與轉(zhuǎn)化策略研究”（2017YAUJY075）;2017年度云南農(nóng)業(yè)大學(xué)示范課程“高等數(shù)學(xué)”（2017YAUKC09D）;2021年度云南農(nóng)業(yè)大學(xué)課程思政示范項(xiàng)目“線性代數(shù)”

[作者簡(jiǎn)介] 吳 奇（1983—），男，云南紅河人，博士，云南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究;夏梓祥（1979—），女，云南大理人，博士，云南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院副教授，主要從事微觀金融研究;楊如艷（1978—），女，云南保山人，碩士，云南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事高等代數(shù)研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2022）04-0095-04 [收稿日期] 2021-05-26

按照專業(yè)培養(yǎng)方案，線性代數(shù)為理工科和農(nóng)林經(jīng)濟(jì)類部分專業(yè)的公共必修課。該門課程的教學(xué)質(zhì)量，關(guān)系到學(xué)生后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)[1]、學(xué)業(yè)的完成乃至考研成績(jī)。云南農(nóng)業(yè)大學(xué)自2019級(jí)起，對(duì)本科生教育進(jìn)行完全學(xué)分制和大類招生改革。在學(xué)分制改革之前，該課程為4學(xué)分64學(xué)時(shí)，改革之后調(diào)整為2學(xué)分，32課堂學(xué)時(shí)加10課外學(xué)時(shí)，總課時(shí)與國(guó)內(nèi)大部分工科院校的學(xué)時(shí)相當(dāng)[2]。其中，10個(gè)課外學(xué)時(shí)的教學(xué)開展形式由教學(xué)團(tuán)隊(duì)和任課教師討論決定。為適應(yīng)新形勢(shì)下的公共課教學(xué)要求，在保質(zhì)保量完成教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，盡可能地提升教學(xué)效果，防止學(xué)生出現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)類課程的厭學(xué)現(xiàn)象，我們對(duì)學(xué)分制改革背景下線性代數(shù)的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)方法進(jìn)行了一些改革嘗試。

一、教學(xué)過程中存在的問題

數(shù)學(xué)類課程一直是本科教育中的一個(gè)痛點(diǎn)所在。高等數(shù)學(xué)中極限、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)已在中學(xué)階段有所涉及，線性代數(shù)對(duì)于絕大部分學(xué)生則是一門全新的數(shù)學(xué)課程，且大部分概念和性質(zhì)更加晦澀和抽象[3]。其教學(xué)過程中存在的一些問題和困難是數(shù)學(xué)教師無(wú)法回避的。

（一）部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類課程的恐懼心理影響了學(xué)習(xí)效果

受數(shù)學(xué)類課程特點(diǎn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的影響，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類課程表現(xiàn)出截然不同的學(xué)習(xí)態(tài)度和熱情。再加上對(duì)不同教師授課方式和風(fēng)格的接受度，他們對(duì)該門課程的主觀偏見和恐懼心理一旦形成，會(huì)嚴(yán)重影響后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，使得部分學(xué)生逐漸產(chǎn)生厭學(xué)情緒，最終導(dǎo)致線性代數(shù)出現(xiàn)較高的掛科率。若第一次學(xué)習(xí)期末掛科，則可能使得少數(shù)學(xué)生出現(xiàn)在大學(xué)畢業(yè)前每年、每個(gè)學(xué)期、每天都在重修線性代數(shù)的惡性循環(huán)，這對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)甚至畢業(yè)、升學(xué)和求職，造成極為不利的影響。

（二）線性代數(shù)獨(dú)特的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度

該門課程通過引入行列式、矩陣等概念及針對(duì)它們所特有的計(jì)算規(guī)則，形成一門獨(dú)具特色的學(xué)科。與高等數(shù)學(xué)中極限、導(dǎo)數(shù)、積分求解方法和技巧的千變?nèi)f化不同，線性代數(shù)中行列式的計(jì)算、矩陣的運(yùn)算、向量組的線性關(guān)系、線性方程組以及矩陣的特征值特征向量等問題的求解和討論，均有相對(duì)固定的解題方法和步驟，其難點(diǎn)不在于計(jì)算而在于對(duì)概念和性質(zhì)的理解與掌握。

（三）學(xué)分制改革對(duì)線性代數(shù)教學(xué)帶來(lái)了新挑戰(zhàn)

從以上可以看出，線性代數(shù)的教學(xué)開展本身就面臨著不小的挑戰(zhàn)。然而，學(xué)分制改革在減少課程總學(xué)時(shí)數(shù)的同時(shí)，卻未對(duì)教學(xué)內(nèi)容做大的刪減，這對(duì)任課教師如何安排教學(xué)計(jì)劃、組織教學(xué)活動(dòng)，在保質(zhì)保量完成教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，盡可能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)效果，提出了更高的要求。

二、線性代數(shù)教學(xué)改革

針對(duì)線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題，為更好地適應(yīng)學(xué)分制改革對(duì)課程教學(xué)提出的新挑戰(zhàn)，我們主要從以下幾個(gè)方面對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)和開展進(jìn)行改革嘗試。

（一）教學(xué)模式

針對(duì)學(xué)分制改革后線性代數(shù)32課堂學(xué)時(shí)加10課外學(xué)時(shí)的配比，綜合采用傳遞—接受、自學(xué)—輔導(dǎo)、探索—發(fā)現(xiàn)和示范—模仿等教學(xué)模式，在一學(xué)期內(nèi)完成所學(xué)內(nèi)容的兩輪教學(xué)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握教學(xué)大綱所要求的知識(shí)點(diǎn)與解題技巧。

1.第一輪教學(xué)。此輪教學(xué)中的32課堂學(xué)時(shí)以傳遞—接受模式為主，講授基本定義、定理和性質(zhì)，配以典型例題。同時(shí)，針對(duì)一些較為抽象而難以理解掌握的知識(shí)點(diǎn)，穿插運(yùn)用自學(xué)—輔導(dǎo)、探索—發(fā)現(xiàn)教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化解教學(xué)難點(diǎn)。

2.第二輪教學(xué)。10課外學(xué)時(shí)則以示范—模仿模式為主，時(shí)間上安排在第一輪課堂教學(xué)完成之后臨近期末考試之前。首先，利用線上直播平臺(tái)按章節(jié)或?qū)ｎ}對(duì)重點(diǎn)題型和解題方法技巧進(jìn)行復(fù)習(xí)強(qiáng)化，之后通過智慧樹在線教育平臺(tái)進(jìn)行單元測(cè)試，并依據(jù)測(cè)試成績(jī)分析教學(xué)效果再次進(jìn)行針對(duì)性講解，掃清學(xué)習(xí)障礙，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練和針對(duì)性復(fù)習(xí)的效果。

（二）教學(xué)方法與手段

1.利用慕課預(yù)習(xí)、組間討論等教學(xué)手段化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。根據(jù)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和與學(xué)生的交流反饋，可以發(fā)現(xiàn)，n階行列式的定義、矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性和矩陣的初等變換是線性代數(shù)教學(xué)過程中較難的知識(shí)點(diǎn)，以向量組的線性相關(guān)性為最。

針對(duì)n階行列式的定義，可以在課堂教學(xué)中組織學(xué)生開展分組討論，從三階行列式的展開式的特征和細(xì)節(jié)入手，總結(jié)其中的規(guī)律，并將其推廣到n階行列式的展開計(jì)算。這樣的學(xué)習(xí)方式與教師直接給出結(jié)論相比，有利于鼓勵(lì)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，更好地掌握和記憶知識(shí)點(diǎn)。

對(duì)于矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性和矩陣的初等變換，則通過設(shè)置問題，如矩陣的秩要求滿足哪些條件，線性組合、線性表示、線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)四個(gè)定義間的區(qū)別，初等矩陣和初等變換間的關(guān)系等，要求學(xué)生在課前提問的引導(dǎo)下完成相關(guān)慕課或熱門網(wǎng)絡(luò)教學(xué)視頻的學(xué)習(xí)，并記錄下自學(xué)過程中對(duì)課前提問的解答、新產(chǎn)生的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，之后在課堂教學(xué)中進(jìn)行求證和解決。這在解決教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生形成課前預(yù)習(xí)、課后針對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

從線性相關(guān)性的有關(guān)定理和性質(zhì)來(lái)看，它們的理解和證明都是圍繞線性組合、線性表示、線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)四個(gè)定義來(lái)展開的。這四個(gè)定義既容易混淆又抽象晦澀，學(xué)生普遍反映此處是線性代數(shù)中最難理解和掌握的知識(shí)點(diǎn)之一。因此，在相應(yīng)的課堂教學(xué)中，可對(duì)上述四個(gè)定義進(jìn)行課堂默寫和同桌相互檢查，在理順這四個(gè)抽象且容易混淆的定義的同時(shí)，也為后續(xù)相關(guān)性質(zhì)定理的講解做了鋪墊。

2.穿插趣味教學(xué)法化解厭學(xué)情緒，活躍課堂氣氛。線性代數(shù)中的很多知識(shí)點(diǎn)是較為抽象的，如上面提到的矩陣和向量組的秩、向量組的線性相關(guān)性等。如果在教學(xué)過程中一味地灌輸式講授，容易使得課堂氛圍較為沉悶，從而使學(xué)生產(chǎn)生疲勞感，降低學(xué)習(xí)興趣。因此，在課堂教學(xué)中，針對(duì)一些較難的知識(shí)點(diǎn)和題型，通過編寫口訣、諧音字和數(shù)學(xué)小故事等趣味教學(xué)手段，以達(dá)到活躍課堂氣氛、吸引學(xué)生的目的，避免因長(zhǎng)時(shí)間的理論教學(xué)降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類課程的學(xué)習(xí)興趣[4-6]。這里列舉幾個(gè)案例。

例1：n階行列式的定義。

通過組織學(xué)生課堂分組討論總結(jié)三階行列式的規(guī)律，并推廣至n階行列式后。

將n階行列式的展開計(jì)算總結(jié)為三個(gè)步驟、一句口訣：“行標(biāo)準(zhǔn)列排列，逆序數(shù)定正負(fù)?！奔词紫?，行腳標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)次序;其次，列腳標(biāo)p1p2…pn遍歷1～n的所有全排列;最后，計(jì)算列腳標(biāo)的逆序數(shù)t（p1p2…pn）確定正負(fù)號(hào)。這樣既可以幫助學(xué)生理解和計(jì)算相關(guān)習(xí)題，也有利于學(xué)生進(jìn)一步理解和記憶對(duì)角和三角行列式的計(jì)算公式。

例2：矩陣乘法。

矩陣乘法是矩陣運(yùn)算中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也區(qū)別于高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)和積分，是代表“線性代數(shù)”特色的一個(gè)計(jì)算法則。其定義看似眼花繚亂的腳標(biāo)，在掌握了計(jì)算規(guī)則后則會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“原來(lái)如此”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。為了幫助學(xué)生更好地掌握矩陣乘法，我們總結(jié)了一句簡(jiǎn)單的口訣：“前列=后行，前行×后列?！鼻罢弑硎玖司仃嚦朔軌蜻M(jìn)行的前提條件為前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)，后者則表示矩陣乘法的計(jì)算方法為前一個(gè)矩陣的行與后一個(gè)矩陣的列的對(duì)應(yīng)元素相乘再求和。同時(shí)，通過板書卡通笑臉圖像和一個(gè)趣味小故事活躍課堂氣氛：

上式中的n就好似一個(gè)媒婆，把一對(duì)適婚男女（矩陣）A、B介紹到了一起，一旦瞅?qū)ρ郏ㄇ傲?后行），媒婆就功成身退了。

例3：方陣的特征值和特征向量。

在講解特征值λ及其特征向量x的定義時(shí)，圍繞等式Ax=λx的特征，教師可以戲說一個(gè)小故事：發(fā)明特征值和特征向量的這位數(shù)學(xué)家其本意可能是想“偷懶”，他覺得直接計(jì)算矩陣乘法Ax太麻煩，如果能找到某些特殊的向量x使得Ax等于λx，則可以只計(jì)算向量的數(shù)乘從而簡(jiǎn)化計(jì)算。在利用演繹手法講解使得該知識(shí)點(diǎn)接地氣的同時(shí)，教師又指明尋找特征向量并非為了“偷懶”，而是為了找出特殊的向量x，滿足Ax與x平行，進(jìn)一步升華該定義的幾何意義。通過前后具有戲劇性的沖突對(duì)比，既活躍了課堂氣氛，又加深了學(xué)生對(duì)該定義的印象。

3.利用多種手段進(jìn)行學(xué)習(xí)痕跡管理。為督促學(xué)生積極參與日常教學(xué)，我們采用多種網(wǎng)絡(luò)教學(xué)手段進(jìn)行平時(shí)學(xué)習(xí)痕跡的管理。例如，由于教學(xué)班選課人數(shù)多，教師教學(xué)任務(wù)重，無(wú)法保證每次作業(yè)都全部批改，因此由學(xué)生自行提交QQ群作業(yè)，并以學(xué)號(hào)末位數(shù)1～9隨機(jī)輪流批閱作業(yè)。這樣既有了平時(shí)記錄，又便于教師及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。在第二輪以章節(jié)或?qū)ｎ}開展的教學(xué)中，則通過線上直播和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)答題等教學(xué)手段，在調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)積極性的同時(shí)，生成的回放視頻也可供需要的學(xué)生多次觀看強(qiáng)化復(fù)習(xí)，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)則十分便于對(duì)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行基本評(píng)判。

4.成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)。由于數(shù)學(xué)類課程的特殊性，期末考試仍然是目前能夠較全面地反映學(xué)生對(duì)線性代數(shù)這門課程掌握程度的考核方式，但也要充分肯定學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中的積極參與和付出。因此，我們通過多種網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)，盡量全面地記錄學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)痕跡，將過程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)相結(jié)合，以期末筆試（60%）、單元測(cè)試（30%）、平時(shí)成績(jī)和課外學(xué)時(shí)參與情況（10%）對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合評(píng)判。

三、改革成效

通過對(duì)筆者授課班級(jí)學(xué)生的總評(píng)成績(jī)統(tǒng)計(jì)可以看出，自2019學(xué)年開始引入并完善慕課預(yù)習(xí)、趣味教學(xué)等教學(xué)手段后，掛科率從2018學(xué)年的18.4%降至5.5%（圖1）。從2020學(xué)年第一屆學(xué)分制改革后學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來(lái)看，雖然掛科率有小幅提升（8.8%），但整體情況仍優(yōu)于2018學(xué)年。這表明在2019學(xué)年對(duì)教學(xué)方法改進(jìn)的基礎(chǔ)上，通過在課堂和課外學(xué)時(shí)中分別完成兩輪學(xué)習(xí)的模式，雖然總學(xué)時(shí)減少三分之一，教學(xué)要求不縮水，但學(xué)生的考試成績(jī)沒有出現(xiàn)大幅度的下滑，其分布規(guī)律更加符合正態(tài)分布規(guī)律。

四、結(jié)論

以云南農(nóng)業(yè)大學(xué)為例，本文分析了線性代數(shù)教學(xué)過程中存在的問題和面臨的新挑戰(zhàn)。在學(xué)分制改革縮減課時(shí)的情況下，通過主動(dòng)調(diào)整和改進(jìn)線性代數(shù)課程教學(xué)模式和方法，保證了該門公共課的教學(xué)活動(dòng)能夠按照教學(xué)大綱的要求順利開展，并在教學(xué)過程中總結(jié)了一些有益的經(jīng)驗(yàn)和方法。在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)該課程的反饋普遍是概念定理抽象難懂，課程難度較大。通過穿插運(yùn)用自學(xué)—輔導(dǎo)、探索—發(fā)現(xiàn)教學(xué)模式，在解決教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，還培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力;趣味教學(xué)法的使用，增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，盡量保持學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的黏性;一學(xué)期內(nèi)完成兩輪學(xué)習(xí)，則讓學(xué)生能夠在一個(gè)學(xué)期內(nèi)循環(huán)式地加深對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)和解題技巧的理解、掌握。這一系列的方法和嘗試，可以通過成立課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)，針對(duì)學(xué)生特點(diǎn)開展集體備課，在形成一套完整教學(xué)體系的同時(shí)，發(fā)揮不同教師的特色和優(yōu)勢(shì)，以求能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升線性代數(shù)的整體教學(xué)效果，從而獲得更廣大學(xué)生的認(rèn)可，并更好地服務(wù)于學(xué)校的教育教學(xué)改革。

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Exploration on the Teaching Reform of Linear Algebra under the Reform of Credit System

WU Qi， XIA Zi-xiang， YANG Ru-yan

（College of Science， Yunnan Agricultural University， Kunming， Yunnan 650201， China）

Abstract： Linear Algebra has always been difficult in the teaching of undergraduate public courses because of its abstract knowledge. With the advancement of credit system reform， different colleges and universities have compressed the total class hours of this course to varying degrees. Under the new situation， in the combination and application of a series of teaching modes and methods， such as two rounds of progressive teaching in a semester， setting questions to guide students to learn by themselves， reasonably inserting interesting teaching methods in the classroom， strengthening the management of learning traces by using the online teaching platform， and assessing students learning in many aspects. The methods can ensure the teaching contents under the condition of reducing the total class hours and improve the teaching effect.

Key words： Linear Algebra; credit system; two-round progressive teaching; interesting teaching