■福建省福清市南宵初級中學 何道泉

數學變式訓練主要是指適當地對數學概念或數學問題認識教學進行變更或轉變，以便于凸顯數學概念或數學問題中所隱藏的本質特征，以此引導學生在變式中發(fā)展自身創(chuàng)新思維，并且能在解題時實現知識點的靈活運用與融會貫通。在數學教學工作中，開展變式訓練的根本目的在于引導學生通過不同的數學習題訓練掌握題目的本質特征，從整體上總結歸納數學知識規(guī)律，達到“以不變應萬變”，最終促使學生自身數學解題能力提升。特別是在當前新課程標準持續(xù)改革推進的新形勢背景下，數學教師必須積極地轉變自身傳統教學觀念，秉承以生為本的教學理念開展變式教學，并借助該教學模式強化學生數學學習質量，培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)與綜合素質。

一、設計變式環(huán)節(jié)

變式教學可貫穿于學生的整體數學學習過程，結合具體的課程內容，科學設計變式教學環(huán)節(jié)，幫助學生提升其數學學習效率與質量。首先，在數學概念教學中，教師可以從不同角度、多個層次指導學生理解分析數學概。一方面使學生對數學概念進行更為深刻的理解與掌握，幫助學生充分理解數學概念內容；另一方面還有助于提升學生的認知能力、應變能力以及知識概括能力，增強其發(fā)散式數學思維。

例如，教師在教授“一次函數”相關概念時，可以將教材中的函數解析式“y=kx+b（k≠0，且k、b 是常數）”轉化成k=0 的式子，通過反向引導幫助學生明確為什么系數k 不能等于0，通過這樣的變式教學，學生會對一次函數的概念及其解析式形成更加深刻的印象，也有助于為其后續(xù)的一次函數應用奠定良好的數學基礎。除了課堂教學之外，在課后習題的設計上教師同樣可以運用變式教學，將習題進行多層次變式設計，有效激發(fā)學生的探究欲望，調動學生參與習題練習的積極性，進而提高學生數學知識運用能力。具體而言，在對課后習題進行多層次變式設計時，主要是通過變化原題中的已知條件與結論上。為了增加學生數學解題過程中的趣味性，拓寬其數學解題思考范圍，教師在開展習題變式教學時可以設計一些出人意料的變式題，如“原題：班級中一共30 人，若每兩人握手一次，班級中30 人一共握手多少次？”變式一：班級中一共有n人，每兩人握手一次，班級中n人一共握手多少次，這一次變式還是基于原來的題目基礎，考查學生的解題思維與總結概括能力；變式二：如果將班級中的30 個人抽象為平面上不重合的點，每兩點之間連一條線段，一共可以連接成多少線段？若換成n 個點，可以連接多少線段？從題目本質上看，變式一與變式二考查的是相同的數學內容，但題目形式的變化會給學生帶來耳目一新之感，即使是在重復解題，學生也能做到樂在其中，不僅進一步舒緩了學生的學習壓力，還有助于提升其數學學習效率。

二、改變僵化思維

在傳統的初中數學課堂上，教師通常采用“定義與概念講解—例題講解—習題訓練”這一相對固定的教學步驟與順序。但基于這種固定模板的教學方式，學生很有可能出現“教師一講就會、習題一做就廢”的現象。究其原因，學生在具體的學習過程中對數學知識點的理解僅局限于定義與例題，其數學思維僵化，故而難以靈活地應用所掌握的數學內容。而實施變式教學則能直接打破學生的數學學習思維定式，改變其僵化的數學思維，并且在理解數學知識時學生也可以以更加立體化、直觀化的方式掌握數學本質。為了實現這一點，教師在具體教學過程中可以適當地對數學例題中的已知條件或結論加以變換，幫助學生從不同的角度、不同層次全面地接受相關數學知識點。

例如，在為學生講解“完全平方公式”的相關知識點時，教材中所給出的完全平方公式為“（a+b）2=a2+2ab+b2”，當習題中給出了完全平方公式的左邊部分要求學生計算出等式右邊時，大部分學生往往也能根據公式快速地得出答案，但若轉換題目形式，如（）2=4-12x+9x2中要求學生求解括號部分時，學生則可能需要更多的時間。此時，教師在開展數學練習教學時，則可以多運用變示教學，打破學生從等式左邊計算至等式右邊的僵化思維，更多關注完全平方公式中的特征。此外，當學生對教材中的完全平方公式能靈活應用后，教師還可以對這部分內容加以拓展延伸，如對完全平方公式加以拓展：①（a+b）2-（a-b）2=4ab；（a+b）2+（a-b）2=a2+b2；②a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2bc-2ac；③楊輝三角形：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；④立方與立方差：a3+b3=……綜上，充分地通過變式教學鍛煉學生的思考能力，可有效強化學生在數學學習與解題過程中的思維能動性，有利于幫助學生發(fā)散自身數學思維，掌握更多數學變式方法與技巧。

三、把握變式時機

在初中數學教學過程中，不少知識點、數學概念等都可以通過變式教學為學生進行數學知識講解，那么在具體的教學課堂上，教師可以結合學生的表情、解題完成情況以及課堂討論的熱烈氛圍等科學地把握好開展變式教學的時機，實現變式教學“1+1＞2”的教學效果。在變式時，可以通過概念變式、條件變式、問題變式以及結論變式等不同變式教學技巧來保留原題中的本質因素，從不同的練習角度促使學生掌握數學知識的基本內在屬性。

例如，教師在為學生講解“多邊形的內角和”基本數學知識時，很多學生對直接將“四邊形的內角和為360°”這一定理進行直接記憶，但是很多學生對“為什么四邊形內角和為360°”卻不甚理解，針對這一教學問題，教師可以在黑板上畫出任意的一個四邊形，并將四邊形對角以一條直線連接起來，此時四邊形就變成了兩個三角形，四邊形的內角和即為兩個三角形內角和之和，即180°+180°。當學生流露出恍然大悟的表情時，教師在原來的四邊形中將另外一條對角線加上，此時四邊形中則形成了四個三角形，不等教師提出疑問，學生在直觀的四個三角形圖形中也不禁開始思考，為什么現在不能運用三角形內角和進行四邊形內角和推導了呢？接著，教師可以在課堂上為學生預留出充足的思考與討論時間，再對多邊形的內角和推導方法進行統一的講解。與常規(guī)的公式記憶方法相比，教師變式教學讓學生對這部分的知識點形成更加深刻的印象。而除了課堂上學生的表現之外，在開展變式教學時教師也可以將教材中的知識與生活實際結合起來，通過生活中的數學現象開展變式教學。例如，在為學生教學“拋物線”的相關知識時，教師可以引導學生思考，用同樣大的力氣，如何扔鉛球才能扔得更遠？同一個人，站在地上扔鉛球和站在椅子上扔鉛球，距離會是一樣的嗎？會出現什么樣的變化？為什么會出現這樣的變化？在教師的問題變式下，學生對拋物線的認識會有更加具體的途徑，并且以生活中的扔鉛球活動作為類比，也能適當地降低數學知識點的理解難度。

四、引導多向變通

在變式教學中教師要善于引導學生根據數學概念、數學定理以及相關的數學公式推理推算同一數學問題中的多種解題思路，促使學生關注數學知識點的內在聯系，引導其多向變通，最終牢牢鞏固所學知識，加強學生創(chuàng)新數學思維能力的總體提升。例如，教師在為學生講解完“一元二次方程應用”的相關知識點后，在具體的習題訓練中則可以下意識地鼓勵學生尋找到同一數學問題的不同解題思路。如題：兩個連續(xù)奇數相乘的乘積為323，分別求解出這兩個奇數。在這一習題中，教師則可以引導學生從不同的方面思考如何設置未知數x。方法一：可以設置較小的奇數為x，那么另一個奇數就是x+2，得出方程：x（x+2）；方法二：可以設置較大的奇數為x，根據等量關系，另一個奇數可以寫作323/x，得出方程x-323/x=2；方法三：設x 為任意整數，那么這兩個連續(xù)奇數分別為2x-1與2x+1，列出方程為（2x-1）（2x+1）=323；方法四：設兩個聯系的奇數分別為x-1 與x+1，此時x2-1=323……或在三元一次方程組應用題解題中，“買13 個雞蛋、五個鴨蛋、9 個鵝蛋，總共花費9.25元，若買 2 個雞蛋，4 個鴨蛋，3 個鵝蛋，總共花費為3.20 元，求解每種蛋各買一個所需要花費的總價”，教師可以鼓勵學生通過不同的求解方式計算未知數的具體值。根據題意，可以得到如下方程組：①13x+5y+9z=9.25；②2x+4y+3z=3.20；而本題中主要求解的是x+y+z的值。問題拋出后，教師可以指導學生進行自主思考，并將自己所能想到的解題方法都在草稿紙上羅列出來，包括湊整法（將原方程組湊成A(x+y+z）=B 的形式）、主元法（如以x、y 為主元，z 視為一個常數）、消元法（如設x=0，使原方程轉化為二元一次方程組，依次求出3 個未知數的值）；參數法以及待定系數法……此后，為了推進課堂進度，教師也可要求學生通過小組合作的方式與其他同學一起分享自己的解法，交流互動期間，也可以實現取長補短、互幫互助、協同發(fā)展的數學教學目的。對同一數學問題嘗試運用多種方法進行解答，學生會更加真切地感受到數學知識應用的奧妙所在，并且在不同的解題方法中學生數學思維被很好地打開，有效地推動了學生綜合學科素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展。

五、增強聯想探索

在初中數學教材中存在著大量的習題，盡管不同的習題中所給出的已知條件有所不同，但是在解題方法上往往蘊涵著相同的數學思想。因此，在變式教學中，教師可以針對具體數學解題思路或解題規(guī)律加以變式，增強學生的聯想與探索能力，由淺入深地引導，幫助學生逐步形成求同存異的數學分析能力。具體來說，教師在解題教學中可以將同一類型的題目歸納起來，并引導學生做題時嘗試采用通用的解法，加深學生對數學解題方法與規(guī)律的掌握程度，最終養(yǎng)成成熟的解題思維。

例如，在“全等三角形判定”習題中，為了強化學生對全等三角形判定定理的綜合理解與應用，教師可以先只給出一個已知條件，如“一組對應邊相等”或“一組對應角相等”的條件引導學生判斷，在這一個已知條件下所畫出的兩個三角形是否是全等三角形？在學生思考過程中，教師則可以接著給出學生兩個條件，鼓勵其分析在不同的條件下能出現幾種可能的情況，并且在不同的情況下所得到的兩個三角形又是否是全等三角形，如“三角形的兩個內角分別為 30°和 50°”“三角形一個內角為 30°，一條邊為3cm”“三角形的兩條邊分別為4cm和6cm”……對同一類型的習題開展變式教學，學生在解題的過程中則能始終保持著知識遷移訓練，在不同形式的習題下會更加清晰地發(fā)現數學知識本質所在，從另一角度上看，學生思維定式被打破后也會將變式訓練中所掌握的數學規(guī)律與解題思想運用到后續(xù)的知識學習中，也進一步地降低了學生在學習幾何知識的畏難心理，增強了學習自信。

六、強化知識辨析

為了幫助學生搭建完整的數學知識框架，在后續(xù)的數學解題中能正確地判斷不同題目中所考查的數學知識點，教師在設計數學變式教學時要立足于數學知識本質，根據實際教學目標設定變式訓練題目之間的關聯性，強化知識辨析，進而提升學生在變式教學模式中的學習效率與質量。

以“一元一次不等式”變式教學為例，在課堂上，教師可以先在黑板上為學生展示出四個簡單的不等式，啟發(fā)學生通過觀察探索觀察一元一次不等式與之前所學習過的一元一次方程之間的相同點與不同點，進而促使學生能運用自己的理解概括一元一次不等式的基本概念，強化學生對不等式相關數學特征的理解與記憶。當學生掌握不等式計算技巧后，教師可繼續(xù)為學生出示幾道較為簡單的計算題，以此考查學生對一元一次不等式概念的掌握情況。當學生完成習題后，為了加深學生對不等式知識的辨析能力，進而引出不等式的解集概念，教師也可以將具體的不等式內容進行變式，如在不等式：3x＜18中，將x=5帶入其中，不等式是否成立？帶入x=6、x=7時會出現什么情況？為了確保不等式成立，未知數x應該滿足哪些條件？通過這樣的數學變式訓練，學生能自然而然地發(fā)現使不等式成立的值有很多，只需要在滿足未知數x條件以內，不等式都是成立的。從這一教學過程也可以看出，教師利用變式訓練可以幫助學生很好地區(qū)分數學中較為相近的數學內容與知識點，并且在變式教學過程中學生更容易理解數學知識的本質所在，由此提高了學生做題的正確率。

七、結語

在初中數學教學工作中教師應積極轉變自身教學思路，應用變式教學幫助學生打破固有思維定式，降低數學知識的學習與理解難度，促使學生靈活地改變僵化思維，引導學生實現數學知識的多向變通，使學生能全面地掌握數學內容，發(fā)展數學解題思維的靈活性與創(chuàng)新性，由此提升分析問題和解決問題的綜合能力。