張?jiān)祈?，趙香帥，王萬(wàn)樹(shù)

(1. 江蘇大學(xué) 汽車(chē)工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2. 筑波大學(xué) 系統(tǒng)信息工程學(xué)院，日本 筑波 3058573)

0 引言

隨著微電子處理技術(shù)的發(fā)展，無(wú)線傳感器已廣泛應(yīng)用于各種設(shè)備中，但如何為無(wú)線微傳感器提供永久電源是目前面臨的主要問(wèn)題[1]。近年來(lái)，壓電式振動(dòng)能量采集器大多采用懸臂梁結(jié)構(gòu)，其理論分析模式是基于線性結(jié)構(gòu)存在頻率響應(yīng)單一性問(wèn)題。Leadenham等[2]利用非線性系統(tǒng)將激勵(lì)與諧振子間的耦合擴(kuò)展到寬頻帶區(qū)域，以拓寬振動(dòng)能量采集器的有效頻率范圍，但在低頻區(qū)域提高采集器性能較難。

隨機(jī)共振是指在弱周期信號(hào)中加入噪聲，在一定概率內(nèi)顯著放大輸出響應(yīng)的現(xiàn)象。這一現(xiàn)象已被用于信號(hào)檢測(cè)和故障診斷[3-4]、圖像處理[5]和生物神經(jīng)分析[6]等。已有研究成果表明，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中隨機(jī)共振現(xiàn)象可提高能量采集器回收的電能[7-9]。冷永剛等[10]建立了Duffing振子隨機(jī)共振的判別函數(shù)，闡述了Duffing振子在不同噪聲強(qiáng)度及信號(hào)頻率輸入條件下的廣義調(diào)參隨機(jī)共振規(guī)律。Zhang等[11]利用路面環(huán)境振動(dòng)產(chǎn)生的噪聲激勵(lì)，成功地提高了懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)。Kim等[12]證明了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中隨機(jī)共振頻率的可調(diào)節(jié)特性。然而，上述基于隨機(jī)共振的振動(dòng)能量俘獲研究，只討論了在某一確定頻率下的隨機(jī)共振現(xiàn)象，盡管研究了可調(diào)節(jié)的隨機(jī)共振，但并未對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的參數(shù)優(yōu)化。

本文提出了一種基于自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振的壓電式振動(dòng)能量采集器模型(簡(jiǎn)稱(chēng)壓電懸臂梁)離心距優(yōu)化方法。通過(guò)構(gòu)建壓電懸臂梁動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振優(yōu)化離心距，與不可調(diào)節(jié)隨機(jī)共振和不同離心距下的壓電懸臂梁響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明基于自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振優(yōu)化后的離心距能更好地拓寬能量采集頻帶，提高能量俘獲性能，驗(yàn)證了本文提出的離心距優(yōu)化方法。

1 隨機(jī)共振的基本原理

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[13]為

(1)

在無(wú)周期激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)在x=±(a/b)1/2處有2個(gè)對(duì)稱(chēng)的最小值，勢(shì)阱高度ΔU=a2/(4)。在有周期激勵(lì)下，雙勢(shì)阱呈不對(duì)稱(chēng)的上下傾斜，如圖1所示。

圖1 勢(shì)阱圖

標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)能方程為

(2)

式(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

當(dāng)周期激勵(lì)太弱不能使振子從某一勢(shì)阱躍遷至另一勢(shì)阱時(shí)，振子在某一勢(shì)阱內(nèi)振蕩，而加入噪聲激勵(lì)后，振子獲得足夠的能量產(chǎn)生跳變，振子可在勢(shì)阱間振蕩。當(dāng)振子阱間躍遷的平均等待時(shí)間Tw為周期激勵(lì)周期Ts的1/2時(shí)，振子躍遷與勢(shì)阱傾斜發(fā)生同步，即隨機(jī)共振的發(fā)生條件為

Ts=2Tw

(4)

用Kramers逃逸速率γk定義Tw=1/γk，其中γk[14]為

(5)

因此，由式(4)可知隨機(jī)共振頻率γ為

(6)

2 壓電懸臂梁的理論模型

本文將壓電懸臂梁安裝在輪胎上，噪聲激勵(lì)來(lái)自于不可預(yù)知的路面粗糙度，加上車(chē)輪引起的周期性旋轉(zhuǎn)力和磁體間的磁力，共同為隨機(jī)共振的發(fā)生提供了必要條件。

圖2為壓電懸臂梁模型示意圖。懸臂梁沿輪胎徑向安裝，包含2個(gè)磁鐵，一個(gè)位于懸臂梁的自由端，另一個(gè)固定安裝，其質(zhì)量為m。壓電懸臂梁繞y軸旋轉(zhuǎn)，如果磁鐵間距d調(diào)至合適值，在磁鐵間的磁力FM的切向分量FH和懸臂梁恢復(fù)力kxT的共同作用下，懸臂梁末端磁鐵會(huì)在兩勢(shì)阱間來(lái)回振蕩，表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特征。

圖2 壓電懸臂梁模型示意圖

磁鐵間磁力切向分量FH可基于磁偶極子間的力學(xué)模型[15]：

FH=FMsinθ

(7)

式(7)在xT=0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并簡(jiǎn)化為

(8)

式中:Mf=(Mfx,Mfy),Mc=(Mcx,Mcy)分別為懸臂梁末端磁鐵和固定端磁鐵磁化強(qiáng)度的水平分量和垂直分量；v為磁鐵體積；μ為真空中的磁導(dǎo)率；xT為末端磁鐵切向的位移。

由磁力產(chǎn)生的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)系數(shù)分別為

(9)

(10)

磁力切向分量FH可進(jìn)一步表示為

(11)

當(dāng)壓電懸臂梁以ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，懸臂梁末端磁鐵離心力Fc(t)為

Fc(t)=mω2l′(t)

(12)

離心力切向分量為

Ft(t)=mω2l′(t)sinα(t)≈mω2l′(t)α(t)

(13)

式中：l′為末端磁鐵重心到旋轉(zhuǎn)中心的距離;α(t)為離心力Fc(t)與向心力Tc之間的夾角。

l′可表示為

(14)

式中：L為懸臂梁長(zhǎng)度;r為懸臂梁根部到旋轉(zhuǎn)中心的距離。

懸臂梁的靜態(tài)偏轉(zhuǎn)為

(15)

式中：E為楊氏模量;I為慣性矩;xp為懸臂梁尖端位置到載荷力P′的距離。

懸臂梁尖端的偏轉(zhuǎn)角α(t)為

(16)

將式(14)、(16)代入式(13)可得離心力切向分量為

(17)

考慮離心力后的壓電懸臂梁的機(jī)械方程為

θpV+[G+N(t)]sinωt

(18)

式中：H=L+r為末端磁鐵的離心距(簡(jiǎn)稱(chēng)離心距)；k為懸臂梁剛度系數(shù)；V為負(fù)載端電壓；θp為機(jī)電耦合系數(shù)；Cp為壓電片的等效電容。

根據(jù)基爾霍夫定律，可得壓電懸臂梁的電學(xué)方程為

(19)

式中RL為負(fù)載阻抗。式(18)、(19)描述了壓電懸臂梁的振動(dòng)能量俘獲機(jī)理。因此，壓電懸臂梁的等效剛度系數(shù)為

(20)

離心距H=0，即懸臂梁末端磁鐵位于輪胎旋轉(zhuǎn)中心時(shí)，磁鐵不受離心力作用，等效剛度為常數(shù)。當(dāng)H≠0時(shí)，等效剛度隨旋轉(zhuǎn)頻率增加而增加，且不同離心距呈現(xiàn)不同的變化率，如圖3所示。

圖3 等效剛度系數(shù)

3 壓電懸臂梁在自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振下的離心距優(yōu)化

隨機(jī)共振的產(chǎn)生條件通常由Kramers逃逸速率定義。根據(jù)第2節(jié)的理論分析可知，伴隨旋轉(zhuǎn)頻率的變動(dòng)，系統(tǒng)的線性項(xiàng)系數(shù)呈現(xiàn)可調(diào)節(jié)性變化趨勢(shì)。因此，隨機(jī)共振頻率同樣呈現(xiàn)可調(diào)節(jié)性變化趨勢(shì)即自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振。旋轉(zhuǎn)環(huán)境下隨機(jī)共振頻率γ′可被進(jìn)一步表示為

(21)

式中：a0=a′-k；c為阻尼系數(shù)。

為研究低頻區(qū)域的自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振，通過(guò)分析式(21)可知存在最優(yōu)離心距，在此離心距下，γ′(ω)與旋轉(zhuǎn)頻率能滿(mǎn)足較高的匹配。當(dāng)滿(mǎn)足旋轉(zhuǎn)頻率等于γ′(ω)且與γ′(ω)相切時(shí)有

(22)

由式(22)可求出壓電懸臂梁最優(yōu)離心距。根據(jù)γ′(ω)進(jìn)一步可將式(22)表示為

(23)

令λ=ω2H，聯(lián)立式(22)中兩個(gè)條件式，可得關(guān)于λ的方程：

bD)λ-2a0bLD=0

(24)

由式(24)可得：

(25)

其中：

(26)

(27)

壓電懸臂梁的最優(yōu)離心距與其對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)為

(28)

(29)

運(yùn)用上述提出的壓電懸臂梁最優(yōu)離心距優(yōu)化方法，計(jì)算可得最優(yōu)離心距。

選取雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)a0=75 N/m，b= 5.2×106N/m3，c= 0.25 N/(m·s-1)，D= 1.22×10-4N，不同離心距下隨機(jī)共振頻率曲線與旋轉(zhuǎn)頻率曲線的匹配結(jié)果，如圖4所示，當(dāng)離心距為最優(yōu)解 8ψL/(6a0-mψ)2/c2exp[-(6a0-mψ)2/(72bD)]時(shí)，求得離心距為6.45 cm，隨機(jī)共振頻率曲線與旋轉(zhuǎn)頻率曲線在30～60 rad/s內(nèi)相切,且重合良好。

圖4 隨機(jī)共振頻率與旋轉(zhuǎn)頻率匹配圖

4 自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振對(duì)壓電懸臂梁動(dòng)態(tài)特性的影響

4.1 自調(diào)節(jié)與不可自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振頻率的懸臂梁響應(yīng)比較

本文在輪胎旋轉(zhuǎn)處于低頻區(qū)域(0～50 rad/s)環(huán)境下進(jìn)行研究，當(dāng)懸臂梁末端磁鐵重心位于旋轉(zhuǎn)中心即H=0時(shí)，磁鐵不受離心力作用，隨機(jī)共振頻率不可調(diào)節(jié)。H≠0時(shí)，末端磁鐵受離心力作用，懸臂梁等效剛度發(fā)生變化，隨機(jī)共振頻率可調(diào)節(jié)。壓電懸臂梁的速度和位移相軌跡如圖5所示。在低頻區(qū)域，不可自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振的懸臂梁響應(yīng)較差,如圖5(a)所示。自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振的懸臂梁響應(yīng)顯著提高，如圖5(b)所示。

圖5 壓電懸臂梁的速度和位移相軌跡圖

4.2 離心距對(duì)壓電懸臂梁動(dòng)態(tài)特性的影響

4.2.1 速度位移響應(yīng)

本文所有數(shù)值模擬均在Matlab軟件中采用龍格-庫(kù)塔算法進(jìn)行。壓電懸臂梁參數(shù)如表1所示。

表1 壓電懸臂梁參數(shù)

考慮到離心距對(duì)壓電懸臂梁性能的影響，首先根據(jù)第3節(jié)的離心距優(yōu)化法求出最優(yōu)離心距H=6.45 cm，因此,離心距分別取0、4 cm、6.45 cm、7 cm、8 cm，分析壓電懸臂梁在低頻區(qū)域內(nèi)的位移、分岔響應(yīng)(圖中，灰色線為位移響應(yīng)，黑色點(diǎn)劃線為分岔響應(yīng))和速度響應(yīng)，如圖6、7所示。

圖6 不同離心距下的位移和分岔響應(yīng)

圖7 不同離心距下的速度響應(yīng)

在0～50 rad/s，當(dāng)H=0時(shí)，懸臂梁末端磁鐵在0～45 rad/s無(wú)足夠的動(dòng)能躍過(guò)勢(shì)壘，做小幅低速運(yùn)動(dòng)，只在45～50 rad/s內(nèi)偶爾跳出勢(shì)阱做大幅高速運(yùn)動(dòng)，隨機(jī)共振的影響較弱，整體動(dòng)態(tài)響應(yīng)較差。隨著離心距逐漸增大，當(dāng)H=6.45 cm時(shí)，在自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振的影響下，末端磁鐵在30～50 rad/s內(nèi)有足夠的動(dòng)能越過(guò)勢(shì)壘，做大幅高速運(yùn)動(dòng)且可保持相對(duì)持續(xù)穩(wěn)定，整體動(dòng)態(tài)響應(yīng)提高。當(dāng)H>6.45 cm時(shí)，末端磁鐵在30～40 rad/s 間盡管有自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振的影響，但不能保持大幅高速運(yùn)動(dòng)。仿真結(jié)果表明，壓電懸臂梁在最優(yōu)離心距條件下更易誘發(fā)并穩(wěn)定隨機(jī)共振，擴(kuò)展隨機(jī)共振的發(fā)生頻帶。

4.2.2 電壓響應(yīng)

為了仿真不同離心距對(duì)壓電懸臂梁能量俘獲的影響，本文選取RL=33.4 kΩ，根據(jù)式(19)，仿真計(jì)算電阻兩端的電壓，計(jì)算結(jié)果如下：

1)H=6.45 cm為最優(yōu)離心距時(shí)，此時(shí)壓電懸臂梁的瞬時(shí)電壓如圖8所示。

圖8 最優(yōu)離心距時(shí)不同旋轉(zhuǎn)頻率的瞬時(shí)輸出電壓

2) 取H分別為0，4 cm，6.45 cm，7 cm，8 cm，此時(shí)壓電懸臂梁的電壓均方根值如圖9所示。

圖9 不同離心距下輸出電壓均方根值

圖9中每個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為經(jīng)過(guò)平均模擬時(shí)間100 s，固定旋轉(zhuǎn)頻率，每個(gè)離心距模擬40次后，計(jì)算出平均輸出電壓均方根值。設(shè)有效電壓為0.9 V，隨著離心距增加，電壓均方根值同時(shí)增加。當(dāng)H=6.45 cm時(shí)，壓電懸臂梁的電壓均方根值在30～50 rad/s內(nèi)達(dá)到最大值。隨著離心距繼續(xù)增大，電壓均方根值開(kāi)始降低。由圖8可看出，在30～50 rad/s內(nèi)電壓幅值顯著提高。上述分析結(jié)果與位移和速度響應(yīng)分析結(jié)果相同。在30～50 rad/s，最優(yōu)離心距(H=6.45 cm)下自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振頻率使壓電懸臂梁的輸出電壓顯著提高，拓寬頻帶比約為40%，同時(shí)其輸出電壓高于其他離心距下的輸出電壓。

5 結(jié)論

本文建立了旋轉(zhuǎn)能量采集器的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)Kramers逃逸速率與旋轉(zhuǎn)頻率的非線性匹配關(guān)系，從理論上得到了最優(yōu)離心距。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性仿真研究，得到不同離心距情況下采集器的響應(yīng)情況，為壓電懸臂梁在低頻下的模型優(yōu)化提供了一定的理論依據(jù)。研究表明：

1) 壓電懸臂梁安裝在輪胎上并處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)是關(guān)于旋轉(zhuǎn)頻率的函數(shù)，且系統(tǒng)的隨機(jī)共振頻率呈現(xiàn)可調(diào)特性。

2) 建立旋轉(zhuǎn)頻率與Kramers逃逸速率的優(yōu)化匹配機(jī)制，可獲得最優(yōu)離心距及其頻率匹配點(diǎn)理論模型。

3) 低頻區(qū)域自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振在最優(yōu)離心距條件下，更易誘發(fā)并穩(wěn)定隨機(jī)共振，擴(kuò)展隨機(jī)共振的發(fā)生頻帶，有效提高系統(tǒng)輸出響應(yīng)，從而提升能量俘獲綜合性能，為自調(diào)節(jié)隨機(jī)共振在旋轉(zhuǎn)振動(dòng)場(chǎng)景中的進(jìn)一步廣泛應(yīng)用提供了通用理論技術(shù)支撐。