邵 楠

（南京師大附中江寧分校,江蘇 南京 210000）

作為小學階段的重點科目，數(shù)學對發(fā)展學生直觀想象能力、邏輯分析能力等有重要意義，通過對幾何直觀視角下的數(shù)與代數(shù)教學進行研究，能極大豐富數(shù)學授課內容，優(yōu)化教學形式，對提升數(shù)與代數(shù)教學質量有重要意義。

一、概念

1.數(shù)與代數(shù)是小學階段數(shù)學課程的重點之一，能有力發(fā)展學生抽象思維、分析能力，為后續(xù)更深層次數(shù)學知識學習打下堅實基礎。

2.幾何直觀通常是指，將數(shù)學問題結合圖形進行分析、研究，是一種學生必須熟練掌握的技能，也是新課標下數(shù)學核心能力的主要部分。

二、幾何直觀在小學數(shù)與代數(shù)教學中的意義

通過對教學內容深入研究，樹立符合學生實情的教學目標，引導學生更自主、直觀地學習數(shù)學知識，能夠結合幾何直觀思想將數(shù)與代數(shù)問題實行合理轉化。

（一）培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維

教師通過“數(shù)與代數(shù)”的知識內容，幫助學生將數(shù)與形實行有效連接、整合，讓學生能結合數(shù)學概念計算幾何問題，更高效、直觀地理解所學知識。在教師引導之下，學生面對數(shù)學問題時要能從多層面實行分析，并利用幾何直觀思維處理問題，在觀察、分析的基礎上形成一定的幾何直觀能力，進而促使自身創(chuàng)造性思維進一步發(fā)展。

（二）幫學生正確理解數(shù)學概念、內容

幾何直觀思想涉及小學數(shù)學的很多層面，在數(shù)與代數(shù)的教學中，教師要結合幾何直觀思想幫助學生更好地理解數(shù)與形的關系，發(fā)展學生主動思考、主動理解的能力。數(shù)字與圖形在數(shù)學中有很深的關系，實行教學設計時，教師要將這兩個因素充分整合，利用圖形對數(shù)與代數(shù)的問題實行生動描述，幫助學生理清解題思路，提升學生對數(shù)學知識、數(shù)與代數(shù)概念的理解。在本課的教學設計中，教師要以“數(shù)與代數(shù)”為基石，著力發(fā)展學生空間思維能力，利用多彩的圖形幫助學生解決、思考數(shù)與代數(shù)問題，增強他們的動手解題能力，逐步掌握用幾何直觀能力解決、描述、分析問題，高效完成教學任務。

（三）助力學生科學思維發(fā)展

數(shù)學概念在發(fā)展時主要的形式可總結為“直觀—抽象—直觀”，從這里可以看出，幾何直觀能力在數(shù)學教學中意義重大，是學生必須要掌握的技能之一。在“數(shù)與代數(shù)”這部分內容中，學生要明確不同的數(shù)字類型，比如負數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等，并利用幾何直觀的方式分析數(shù)字問題，結合圖形理解教學內容，從而發(fā)展自身的科學思維。

三、結合案例，基于幾何直觀視角下的數(shù)與代數(shù)教學設計研究

（一）引入直觀情境，深化概念理解

【案例1】

在蘇教版五年級《倍數(shù)與因數(shù)》中，教材并沒有給出直接關于“倍”的定義，只是簡單描述了兩個物體間的關系，以此讓學生理解相應的倍數(shù)概念。在實際的授課中，如果教師沒有引入適合的教學形式，學生對這一課知識進行認知、學習時可能會出現(xiàn)思維混亂的情況。鑒于此，筆者開展了如下的教學設計：

教師：前天有個小猴子到菜市場買了好多香蕉回來，現(xiàn)在各位同學請你們幫助小猴子將這些香蕉分成幾堆，說一說大家是怎么分的呢？

生1：有青香蕉、黃香蕉，還有不能吃的黑香蕉。

教師：那么，這三種香蕉分別有多少呢？

生2：其中有青香蕉2 個，黃香蕉6 個，還有黑香蕉10 個。

教師：青香蕉的數(shù)量是2，黃香蕉的數(shù)量是6，那大家知道6 和2 之間的倍數(shù)是多少嗎？

生3：6 是2 的3 倍，倍數(shù)是3。

教師：從這里我們能夠明白，黃香蕉是青香蕉的3倍，大家能夠明白什么叫倍數(shù)了嗎？

生（眾）：知道了。

教師：那么我現(xiàn)在問大家一個問題，你們誰能告訴我，黑香蕉是青香蕉的多少倍呢？如果2 作為因數(shù)，那它和幾相乘能夠得到黑香蕉的數(shù)量呢？

生4：黑香蕉是青香蕉的5 倍。如果2 是因數(shù)，那么它和5 相乘便能得到黑香蕉的數(shù)量。

通過構建這樣的一個直觀情境，利用三種香蕉間的數(shù)量關系開展數(shù)與代數(shù)的教學，能讓學生在和教師的問答之間對倍數(shù)與因數(shù)的概念產(chǎn)生更深入理解。

（二）借助直觀圖形，理解概念本質

小學生記憶力較好，但理解能力不足。在這一特點下，很多學生常常是能在較短時間內記住概念，但在理解其本質方面存在一些困難。結合幾何直觀理念，教師可以利用直觀圖形對數(shù)與代數(shù)的概念進行分析，幫助學生認清不同概念間的區(qū)別，高效地抓住概念本質內涵。在實踐中，教師可以從教材入手，通過對數(shù)與代數(shù)知識進行巧妙整合，實現(xiàn)數(shù)與形的有機結合，提升學生對概念本質的理解水平。

【案例2】

在教授《分數(shù)的意義和性質》時，蘇教版的教材上對分數(shù)的定義給出了準確描述：通過平均分一個物體或者一個正方形、圓等，取其中的一份或幾份就是分數(shù)。在教學實踐中，教師要重視對幾何直觀思維引入，讓學生除了能夠利用圖形表示分數(shù)，還可以結合圖形對分數(shù)的概念進行闡述。通過這樣的訓練方式，促使學生的幾何直觀能力、對知識本質的理解水平得到進一步提升。在實踐方面，筆者的教學設計如下：

教師：如果把一個月餅平均切成4 份，將其中的三份送給別人，留下的這一份占整個月餅的多少？

生1：占整個月餅的1/4。

教師：相信大家對于分數(shù)的概念都有了一定了解，現(xiàn)在大家請看黑板上的圖形，你們能知道它們分別代表多少嗎？（教師在黑板上畫出三個圖形，并將其進行分割、涂色。）

生2：這些圖形分別代表1/4、2/5 和3/4。

教師：看來大家對于分數(shù)的意義、性質都有了初步了解，現(xiàn)在你們能嘗試畫出3/8 的圖形嗎？

生（眾）：能。

借助幾何直觀思想，學生能對本課涉及的概念產(chǎn)生更深入理解。學生除了能夠用不同的方式表達分數(shù)，還能逐漸明白整體與部分的關系。實際上，單位“1”表示的不僅僅是一個物體，還可以是一組物體。通過在實際教學中對學生進行引導，啟發(fā)他們將數(shù)與代數(shù)知識結合圖形思考，能大幅增強學生思維能力發(fā)展，使其更深入理解概念背后的深刻含義。

【案例3】

教授蘇教版五年級《負數(shù)的初步認識》時，教師可以結合生活中的“氣溫”和“存折”等概念開展授課，以此讓學生對兩個相反意義的量進行認識。比如，氣溫升高、存款增加可以用正數(shù)表示，氣溫下降、存款減少可以用負數(shù)表示。另外，在實際授課中，數(shù)學教師可以結合幾何直觀理念，幫助學生深入理解負數(shù)的概念，讓學生不再只是記憶有“-”號的就是負數(shù)，使其對負數(shù)的認識上升到一個更深的層次。

具體的教學設計如下：

教師：同學們，我們都知道帶有“-”號的數(shù)表示負數(shù)，那么氣溫計上顯示的-15℃、存折上標記的-200元，表示什么意思？

生1：氣溫計上的-15℃代表氣溫在零下15 攝氏度，存折上的-200 元，表示支出了200 元。

教師：請大家回想關于數(shù)軸的知識點，思考一下-5、0、5 分別在數(shù)軸的什么位置，不同數(shù)字表示怎樣的含義？

生2：5 和-5 在數(shù)軸上表示相反的意思。

教師：為什么-5 在0 的左邊呢？

生3：因為0 的右邊表示的數(shù)越來越大，在相反的方向，越往左邊數(shù)越小。

從這里可以看到，教師借助數(shù)軸能夠更直觀地將負數(shù)表示出來，幫助學生對負數(shù)產(chǎn)生更深入的認知。

通過對上述案例進行分析能夠明確得知，幾何直觀理念能幫助學生對數(shù)與代數(shù)的概念產(chǎn)生更深入理解。教師在開展教學時，要重視引導學生對數(shù)學概念本質的探究，并利用圖形輔助教學，讓講解變得更清晰、直觀，在無形中降低學生對數(shù)學知識的理解、認知難度。

（三）強化直觀操作，重視知識應用

在對數(shù)學中數(shù)與代數(shù)部分知識進行直觀講解后，學生能否會用便成了教學關鍵。小學生在理解數(shù)學知識的內涵后，如果不能正確應用，將極大影響學生對數(shù)學知識意義的理解。因此，在開展教學實踐時，教師要在其中加入動手操作的部分，在鍛煉學生思維的同時增強其對知識的應用水平。

例如，在學生理解《分數(shù)的意義和性質》后，教師可以安排一個“折一折”的課堂活動。學生可以將正方形紙片折成1/3、1/4、1/6 等。在這個過程中，學生可能會逐漸發(fā)現(xiàn)，不同的折法都能表示同樣的分數(shù)，這些都可以看作是對分數(shù)知識的再認識。

同理，教師還可以安排“畫一畫”活動，學生在活動中能對一個圓形紙片進行涂色，以此表現(xiàn)出1/4、3/4、5/4 等。在這個過程中，思維能力、空間能力得到有效培養(yǎng)，無形中讓學生對分數(shù)知識更深入認知。

本文通過引入二極管—電感并聯(lián)網(wǎng)絡[15-16],構建了一個新型的改進型文氏橋混沌振蕩器,簡化了電路的復雜度[12]。

再如，學習了“倍數(shù)與因數(shù)”的知識之后，教師可以安排“擺一擺”活動。學生結合教師的要求，將小木棍和圓片擺成兩堆，要求小木棍是圓片的5 倍或者圓片是小木棍的3 倍。通過“擺一擺”活動，學生對于倍數(shù)、因數(shù)的理解將更深入，在擺的過程中學生也會對結果進行思考。

通過此類活動，教師能將靜態(tài)的知識動態(tài)化，以此引發(fā)學生思維發(fā)展，促使其思維能力水平得到進一步提升。

（四）結合幾何信息，讀懂數(shù)量關系

理解數(shù)量關系是進行數(shù)與代數(shù)教學的第一步，學生在進行數(shù)與代數(shù)的計算時，首先要對數(shù)量關系建立清晰認知，明白數(shù)量關系表示的意思。只有在腦海中明確數(shù)量間的關系，學生才能更精準地實施計算。為此，教師可以在教學中引入幾何圖形，引導學生通過讀圖的方式讀懂數(shù)量關系，以此促使學生的幾何直觀意識得到進一步發(fā)展。

【案例4】

教授《分數(shù)加法和減法》時，教師可以畫一個圓形圖展示不同類型生活垃圾所占的份額，學生在計算前要理解不同類型垃圾占整體份額的多少，這樣方可實施準確計算。

具體的教學設計如下：

教師：從圖中你能算出廢紙和廢銅在生活垃圾中有多少占比嗎？（利用媒體設備，展示餅狀圖。）

生1：廢紙占所有垃圾的3/10，廢銅占所有垃圾的1/4。

教師：如果想知道這兩種垃圾在所有垃圾中的占比，可以直接將兩個數(shù)值相加嗎？如果可以，結果是多少？如果不可以，請說出原因。

生2：不能將兩個數(shù)值直接相加，因為這兩個分數(shù)的分母不一樣。

教師：如何才能將兩個數(shù)相加呢？

生3：可以將兩個分母都轉化成20，這樣便可相加了。3/10+1/4=6/20+5/20=11/20。

通過在教學中引入幾何圖形，能幫助學生對數(shù)量關系知識更深入理解，學生對知識的應用、遷移能力也會得到大幅提升。

四、基于幾何直觀對“數(shù)與代數(shù)”教學設計總結及反思

通過將幾何直觀思維引入到數(shù)與代數(shù)的教學中，教師能幫助學生更深入地理解相應的數(shù)學概念、明確數(shù)學計算原理，幫助他們在解決問題時找到更加可行的策略。當然，在利用幾何直觀思維教學時教師要把握好一個“度”，并不是所有問題都要強行利用幾何直觀思維解決。一般來說，在遇到復雜、難理解的問題時，可以通過幾何直觀教學幫助學生將問題簡單化、直觀化，提升教學效率。

通過本次教學活動，能幫助學生逐漸形成幾何直觀意識，從而在無形中促使學生的數(shù)學思維、數(shù)學技能、數(shù)學素養(yǎng)得到進一步發(fā)展。

在開始本研究前，筆者為了突出新穎性和前沿性，將研究內容鎖定在了《課程標準（2011 年版）》的核心概念“幾何直觀”方面，并嘗試運用理論構建幾何直觀的水平劃分，以實證作為支撐，遇到的困難是需要編制的幾何直觀水平測試題難度大，需要深入不同學校做大樣本測試，僅憑個人力量無力完成。然后，筆者轉向研究幾何直觀的認知，教師大都在用直觀圖形教學，從根底上剖析幾何直觀為什么會對學生數(shù)學學習產(chǎn)生正面效果，也就是學理分析。由于筆者研究水平有限，理論分析不深，研究得很膚淺，設計的案例難免有不合理的地方，選取的大量案例和例證難免帶有個人經(jīng)驗主義色彩，僅對幾何直觀教學設計的要求、方法和途徑、設計部分案例作了粗淺的研究，只能起到拋磚引玉的作用。