李 澤，王勛寶，劉 釗，倪 明，付寶偉

(上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展和武器系統(tǒng)復(fù)雜度的不斷增加[1]，如何有效地解決工程領(lǐng)域中出現(xiàn)的振動(dòng)問題已受到了廣泛的重視。聲學(xué)超材料[2]憑借其獨(dú)特的帶隙特性為振動(dòng)/噪聲控制貢獻(xiàn)了新的思路，在低頻隔聲或減振[3-4]和聲學(xué)隱身[5-8]等領(lǐng)域有著極大的應(yīng)用前景。

本文研究了壓電超材料分流電路數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)方法，通過分析分流電路作用下壓電片等效彈性模量的零極點(diǎn)特征，提出了一種適用于超材料傳遞函數(shù)零極點(diǎn)配置的方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)超材料帶隙的靈活控制。所提出的零極點(diǎn)配置法無需進(jìn)行復(fù)雜的模擬和數(shù)字阻抗分析，可以直接根據(jù)共振頻率選擇合適的零極點(diǎn)進(jìn)行傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)，進(jìn)而通過微控制器靈活地控制帶隙，這一優(yōu)勢(shì)有助于智能超材料的研制。

1 聲學(xué)超材料周期梁結(jié)構(gòu)模型分析

將接有分流電路的壓電片周期性地粘貼于均質(zhì)梁上，在材料和結(jié)構(gòu)周期共同作用下，結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)帶隙，壓電超材料結(jié)構(gòu)梁如圖1所示。

圖1 壓電超材料結(jié)構(gòu)示意圖

圖1中的壓電超材料結(jié)構(gòu)元胞主要由以下3部分組成：

1) 粘貼有壓電片的基體梁結(jié)構(gòu)(見圖1中A)，長度為lA。

2) 未貼壓電片的基體梁結(jié)構(gòu)(見圖1中B)，長度為lB。

3) 圖1中的分流電路，電路阻抗用Z表示。

若將壓電片和梁段結(jié)構(gòu)貼合緊密，則壓電片對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響可忽略。下面針對(duì)該結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)帶隙特性進(jìn)行分析。

壓電片a和b的壓電方程分別為

(1)

(2)

(3)

Ep為壓電片的等效彈性模量，則壓電片a的等效彈性模量為

(4)

對(duì)于壓電片b，由式(2)可得：

(5)

(6)

根據(jù)電學(xué)相關(guān)知識(shí)，分流電路中電流為

(7)

式中：s為Laplace算子；Q為電荷量；V為壓電片電極上的電勢(shì)差。

壓電片電極上的電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為

(8)

式中hp為壓電片的厚度。

將式(8)代入式(7)可得:

(9)

假設(shè)壓電片內(nèi)應(yīng)變和電極上電位移近似相等，則電極上的Q可表示為

(10)

式中Ap為壓電片的橫截面積。

聯(lián)立式(5)、(9)和(10)可得壓電片b內(nèi)電場(chǎng)與應(yīng)變的關(guān)系為

(11)

(12)

將式(11)代入式(2)可得壓電片b應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系為

(13)

因此，在長波假設(shè)法下，外部分流電路的影響可等效為結(jié)構(gòu)彈性模量發(fā)生了變化，電路作用后壓電片b的等效彈性模量為

(14)

2 基于零極點(diǎn)配置的主動(dòng)控制分流電路

基于零極點(diǎn)配置的主動(dòng)控制分流電路結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，該電路主要由電荷放大器、模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)、微控制器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)和比例放大器組成。圖中,C1為電荷放大器的電容，RA、RB為同向比例放大器的兩個(gè)電阻。

圖2 主動(dòng)控制分流電路結(jié)構(gòu)示意圖

圖2中，壓電片a為傳感器，可以將結(jié)構(gòu)應(yīng)變轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，作為分流電路的輸入信號(hào)，輸入信號(hào)通過電荷放大器轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)V1，再由ADC進(jìn)行數(shù)字化處理，然后通過微控制器輸出控制信號(hào)，再經(jīng)由DAC轉(zhuǎn)換成模擬電壓信號(hào)V2，最后將經(jīng)過比例放大器放大后的電壓信號(hào)施加給作動(dòng)壓電片b。

(15)

施加在作動(dòng)壓電片b上的電壓為

Vout=βV2

(16)

式中β=(RB+RA)/RA為同向比例放大器的放大倍數(shù)。

假設(shè)嵌入微控制器的傳遞函數(shù)H(s)=V2/V1,則每個(gè)元胞的輸入、輸出之間的傳遞關(guān)系為

(17)

其中：

(18)

(19)

參考復(fù)合梁的形變特性，上下對(duì)稱粘貼的壓電片所產(chǎn)生的應(yīng)變符合大小相等、方向相反的規(guī)律，因此：

(20)

結(jié)合式(20)可得壓電片b的等效彈性模量為

(21)

(22)

式中：z1,z2為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；p1,p2為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；k為增益。

η=real(z1,2)=real(p1,2)

(23)

已知每對(duì)共軛極點(diǎn)代表一個(gè)共振模態(tài)，因此極點(diǎn)的虛部imag對(duì)應(yīng)輸出響應(yīng)的共振角頻率，即:

imag(p1,2)=2πfosc

(24)

由式(22)可知零點(diǎn)的實(shí)部已確定，已知傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不影響自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，但是會(huì)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重。因此，通過調(diào)節(jié)虛部可確定零點(diǎn)的位置。

imag(z1,2)=±λimag(p1,2)

(25)

式中λ為電路設(shè)置的一個(gè)參數(shù)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示，其中壓電超材料結(jié)構(gòu)主體部分由基體梁和粘貼在基體梁上的6個(gè)壓電共振單元組成，每一個(gè)壓電共振單元都是由相同的壓電片和分流電路組合而成，以保證壓電超材料的周期性。

其中梁結(jié)構(gòu)采用鋁合金材質(zhì)。將整個(gè)超材料結(jié)構(gòu)梁用繩子懸掛起來以創(chuàng)造自由邊界的條件。激振信號(hào)由函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生，然后經(jīng)由功率放大器放大，最后施加在激振器上，激振器在試樣的左端進(jìn)行激勵(lì)。梁結(jié)構(gòu)兩端的振動(dòng)加速度由兩個(gè)加速度計(jì)進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)過電荷放大器將信號(hào)轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)并進(jìn)行放大，電壓信號(hào)與加速度成正比。得到的試樣兩端振動(dòng)加速度值通過數(shù)采卡送至控制器用以信號(hào)采集。最后通過計(jì)算機(jī)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的所有振幅和相位數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得到測(cè)試試樣從左到右的振動(dòng)傳輸特性曲線。分流電路中的運(yùn)放采用直流電源進(jìn)行供電。

對(duì)主動(dòng)控制分流電路按照表1進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，圖4為主動(dòng)控制分流電路作用下壓電超材料的傳輸特性仿真曲線和實(shí)驗(yàn)曲線。圖中黑色實(shí)線表示所有元胞壓電片在短路時(shí)聲學(xué)超材料的振動(dòng)傳輸特性曲線，可以作為參照曲線。

表1 電路參數(shù)

圖4 分流電路作用下壓電超材料的傳輸特性曲線

由圖4(a)可知，按照表1進(jìn)行參數(shù)設(shè)置可以在第二、三、四階低頻模態(tài)處產(chǎn)生明顯的振動(dòng)衰減效果。在圖4(b)中，結(jié)構(gòu)在210 Hz、430 Hz和720 Hz模態(tài)處的振動(dòng)衰減幅度分別為14 dB、15 dB和20 dB，由此說明主動(dòng)控制分流電路作用下的壓電超材料可以產(chǎn)生有效抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制帶隙。

4 結(jié)束語

本文通過壓電超材料的結(jié)構(gòu)模型分析，提出了一種可以直接通過調(diào)節(jié)極點(diǎn)和零點(diǎn)設(shè)計(jì)彈性模量傳遞函數(shù)的方法，并通過仿真與實(shí)驗(yàn)闡述了零極點(diǎn)位置對(duì)超材料帶隙的影響。所提出的主動(dòng)控制分流電路可以通過計(jì)算機(jī)調(diào)控相關(guān)參數(shù)，無需手動(dòng)調(diào)整電感，控制過程更簡單靈活。這一優(yōu)勢(shì)有助于智能超材料的設(shè)計(jì)。