江 蘇 南 京 赫 賢 學(xué) 校（210000）

北京全景化教育科技發(fā)展中心（100000） 張宏偉（特級(jí)教師）

一、追根溯源

（一）對(duì)“抽象”中文概念的追溯

1.抽

（1）字源演變

（2）說(shuō)文解字

全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究中，“抽象”中的“抽”有從現(xiàn)象、對(duì)象、生活、素材中抽出、抽取之意。

2.象

（1）字源演變

（2）說(shuō)文解字

《說(shuō)文解字》中，“象”的本義是大象，一種哺乳動(dòng)物，后來(lái)引申義為形狀、樣子。

《韓非子·解老篇》：“人希見(jiàn)生象也，而得死象之骨，按其圖以想其生也，故諸人之所以意想者，皆謂之象也?！?/p>

《易·系辭》：“象也者，像此者也?！?/p>

《疏》：“言象此物之形狀也。”

綜上所述并對(duì)比之，全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“抽象”中的“象”應(yīng)指認(rèn)識(shí)對(duì)象的形狀、屬性、本質(zhì)、特征等，相當(dāng)于柏拉圖中的理想型。

（二）“抽象”在《漢語(yǔ)大辭典》和《辭?！分械慕忉?/h3>

1.在《漢語(yǔ)大辭典》中的解釋

（1）從許多事物中，舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的、質(zhì)的屬性，是形成概念的必要手段。

（2）不能具體經(jīng)驗(yàn)到的，籠統(tǒng)的，空洞的。

2.在《辭?！分械慕忉?/p>

（1）同“具體”相對(duì)，指事物某一方面的本質(zhì)規(guī)定在思維中的反應(yīng)。

（2）指思維活動(dòng)的一種特性，即在思想中抽取事物的本質(zhì)屬性，撇開(kāi)非本質(zhì)屬性。

（3）指形而上學(xué)的思維特點(diǎn)，亦稱(chēng)空洞的抽象。

（三）全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)的理解

結(jié)合對(duì)“抽象”中文概念的追溯，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)中的“抽象”是從具體的事物中去除外在的、個(gè)別的、非本質(zhì)的東西，提煉（即“抽”）出這類(lèi)事物共同的、本質(zhì)的屬性，如形狀、樣子、特征、規(guī)律、關(guān)系等，并上升為理性的、理想型的“像”的思維過(guò)程。同時(shí)，抽象出的結(jié)果是對(duì)客觀事物的模擬和再現(xiàn)，并要泛化、歸回、概括、審視到所有此類(lèi)的具體事物中，即“而得死象之骨，按其圖以想其生也”，我們把這個(gè)過(guò)程定義為“回象”。因此，全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)認(rèn)為“抽象”應(yīng)該是一個(gè)從具體到抽象再到具體的過(guò)程，而不僅僅是從具體到抽象的過(guò)程。

二、教育專(zhuān)家和一些經(jīng)典論著中的闡述

許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育研究者對(duì)“抽象”一詞有過(guò)相關(guān)的描述。如史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界……而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象……最初的抽象是基于直觀的。對(duì)于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學(xué)的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對(duì)象，還要抽象出這些研究對(duì)象之間的關(guān)系。與研究對(duì)象的存在性相比，研究對(duì)象之間的關(guān)系更為本質(zhì)?！蓖瑫r(shí)，史寧中教授還將抽象的深度大體分為三個(gè)層次：“一是簡(jiǎn)約階段，即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)；二是符號(hào)階段，即去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述，包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物；三是普適階段，即通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物。”王永春教授也指出：“數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過(guò)程?！?/p>

三、課程標(biāo)準(zhǔn)中的解釋和相關(guān)論述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在前言中指出：“數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，所以教師預(yù)設(shè)教學(xué)時(shí)要處理好直觀與抽象的關(guān)系，教學(xué)設(shè)計(jì)要在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。

在數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)中，知識(shí)與技能方面提出要經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過(guò)程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本學(xué)習(xí)技能；要經(jīng)歷圖形的抽象、分類(lèi)、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過(guò)程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本學(xué)習(xí)技能。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方面，則要求建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀能力和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。

在學(xué)段目標(biāo)中，每一學(xué)段都有不同層次的要求。在知識(shí)與技能方面，第一學(xué)段要經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過(guò)程，理解萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的意義，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)，同時(shí)經(jīng)歷從實(shí)際物體中抽象出簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形的過(guò)程，了解一些簡(jiǎn)單幾何體和常見(jiàn)的平面圖形；第二學(xué)段要體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)；第三學(xué)段要體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，理解有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)。數(shù)學(xué)思考方面，第一學(xué)段要從物體中抽象出幾何圖形，在想象圖形的運(yùn)動(dòng)和位置的過(guò)程中發(fā)展空間觀念。情感態(tài)度方面，第三學(xué)段要在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

另外，課程標(biāo)準(zhǔn)在課程資源開(kāi)發(fā)與利用的建議中，要求使用有效的數(shù)學(xué)軟件繪制圖形，呈現(xiàn)抽象對(duì)象的直觀背景，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

四、抽象的基本流程

那么，教師如何實(shí)施數(shù)學(xué)抽象教學(xué)呢？基于對(duì)“抽象”這個(gè)概念的分析和理解，我們認(rèn)為至少應(yīng)該經(jīng)歷以下四個(gè)步驟：第一步，選材，即從復(fù)雜的環(huán)境中排除非典型對(duì)象，抽取和確定典型的研究對(duì)象；第二步，生象，即集合所有的典型對(duì)象，通過(guò)對(duì)比、觀察、想象，抽取出共同的屬性、關(guān)系、形式或數(shù)量關(guān)系，也就是理想型；第三步，概念化，即利用概念、符號(hào)、圖形、關(guān)系式等構(gòu)建圖式、模型，形成概念；第四步，回象，指理解概念之后的綜合運(yùn)用、拓展延伸，即“而得死象之骨，按其圖以想其生也”。

五、教學(xué)案例

在此呈現(xiàn)我們?nèi)笆綌?shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)研究的一個(gè)教學(xué)案例——《認(rèn)識(shí)三角形》，供大家參考。

課前思考：

《認(rèn)識(shí)三角形》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容，在第一學(xué)段中，學(xué)生已經(jīng)直觀、初步認(rèn)識(shí)了三角形和其他一些簡(jiǎn)單的平面圖形，具備了直觀認(rèn)識(shí)三角形和從平面圖形中尋找三角形的能力。

三角形是學(xué)生在日常生活中見(jiàn)得最多的平面圖形，如何從常見(jiàn)的三角形物體中抽象出三角形，再把三角形知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，引導(dǎo)學(xué)生全面深入地研究三角形呢？基于全景式數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的“全景視野下的長(zhǎng)線浸潤(rùn)式教學(xué)”，把本節(jié)課分為前期整體浪漫浸潤(rùn)和課中專(zhuān)項(xiàng)研究?jī)蓚€(gè)階段，這樣不僅能拓展學(xué)生的知識(shí)視野，而且可以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)單一、刻板的印象。

教學(xué)目標(biāo)：

1.利用生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，認(rèn)識(shí)三角形和三角形的特征，知道三角形高和底的含義，會(huì)在三角形內(nèi)畫(huà)高。

2.在認(rèn)識(shí)三角形特征的活動(dòng)中，學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)多邊形特征的基本方法，培養(yǎng)觀察、比較、抽象、概括等能力。

3.體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，并在活動(dòng)中進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：

認(rèn)識(shí)三角形，掌握三角形的基本特征。教學(xué)難點(diǎn)：

三角形的高及畫(huà)法。

教學(xué)過(guò)程：

（一）前期開(kāi)啟整體浪漫浸潤(rùn)

為了豐富學(xué)生關(guān)于三角形的積累，教學(xué)初就啟動(dòng)前期整體浪漫浸潤(rùn)階段，即讓學(xué)生有意識(shí)、有目的地搜集生活中的三角形，使學(xué)生從整體上感知和了解三角形，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。然后將搜集到的三角形物體擺放在教室里，將無(wú)法搬移的實(shí)物拍成照片，打印出來(lái)貼在教室的墻壁上，讓學(xué)生思考它們?cè)谏钪械淖饔貌⒂涗浵聛?lái)。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的三角形，使學(xué)生從整體上感知和了解三角形，為學(xué)生全面認(rèn)識(shí)三角形、初步感受三角形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，以及進(jìn)一步深入研究三角形的特征奠定基礎(chǔ)?！?/p>

（二）課中專(zhuān)項(xiàng)研究

1.回顧選材

把學(xué)生搜集到的三角形實(shí)物擺放在教室里，并將學(xué)生搜集到的有關(guān)三角形的資料制作成短片在課前播放，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生研究三角形的興趣。

2.生象

師：同學(xué)們?cè)谥暗淖灾鲗W(xué)習(xí)中，尋找到許多三角形的實(shí)物，現(xiàn)在請(qǐng)閉上眼睛想一想，三角形是什么樣子的？同時(shí)把它畫(huà)下來(lái)。（展示學(xué)生畫(huà)的三角形）你們是怎么畫(huà)的？

生1：房子的屋頂呈三角形，我把它的輪廓畫(huà)出來(lái)了。

師：也就是說(shuō)，在畫(huà)三角形的時(shí)候，不考慮物體的顏色、花紋、材質(zhì)，只畫(huà)出物體的輪廓。

【設(shè)計(jì)意圖：重視學(xué)生的想象和已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的三角形實(shí)物中逐步抽象出三角形的過(guò)程?！?/p>

3.概念化

活動(dòng)A：抽取特征。

師：同學(xué)們畫(huà)的三角形都不一樣，那它們有什么共同的特征？

生2：都有三個(gè)角，三條邊。

生3：還有三個(gè)頂點(diǎn)。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們找一找自己畫(huà)的三角形的邊、角、頂點(diǎn)，并試著標(biāo)注出它們。（學(xué)生操作略）

師：同學(xué)們，通過(guò)畫(huà)三角形以及探究三角形的特征，你們覺(jué)得什么樣的圖形是三角形？

生4：有三個(gè)角、三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)的圖形是三角形。

活動(dòng)B：用反例辯證。

師：大家同意嗎？

生5：我覺(jué)得不一定。你們看我畫(huà)的圖（如右圖），雖然也有三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)，但是有一條邊是彎曲的，它就不是三角形。

師：那三角形的三條邊必須符合什么條件？

生6：應(yīng)該都是直的。

生7：應(yīng)該是三條線段。

師：那由三條線段組成的圖形一定是三角形嗎？（出示右圖）請(qǐng)同學(xué)們看看這兩個(gè)圖形。

生8：它們都不是三角形。第一個(gè)圖形雖有三條邊、三個(gè)角，但這三條邊沒(méi)有連接起來(lái)；第二個(gè)圖形雖然有三條邊，但有缺口，沒(méi)有封閉。

師：你能用自己的話概括三角形的定義嗎？

生9：由三條線段組成的封閉圖形是三角形。

生10：由三條線段圍成的圖形叫作三角形。

師：你能結(jié)合剛才畫(huà)的圖形解釋一下什么是“圍成”嗎？

生10：三角形有三條線段，每?jī)蓷l線段的端點(diǎn)連接在一起，這就是“圍成”，“圍成”一個(gè)封閉的圖形。

活動(dòng)C：形成規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)的概念。

師：由三條線段圍成（每?jī)蓷l線段的端點(diǎn)相連）的圖形叫做三角形。

【設(shè)計(jì)意圖：三角形的定義較難用學(xué)生易理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，通過(guò)對(duì)三角形特征的辨析，引發(fā)學(xué)生對(duì)三角形定義判斷依據(jù)的反思?！?/p>

活動(dòng)D：用字母表示三角形。

師：為了方便，我們還可以用字母來(lái)表示三角形。（在三角形的頂點(diǎn)分別標(biāo)上A、B、C，讀作三角形ABC，記作△ABC）

4.回象

師：我們認(rèn)識(shí)了三角形的特征，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們觀察這些實(shí)物和圖片，從中找出三角形并說(shuō)出判斷的理由和依據(jù)。（學(xué)生尋找三角形并進(jìn)行判斷說(shuō)明）

【設(shè)計(jì)意圖：再一次引導(dǎo)學(xué)生回歸到具體實(shí)物中，完整地經(jīng)歷概念抽象的過(guò)程——從具體到抽象再到具體，即回象?！?/p>

5.認(rèn)識(shí)三角形的高

（1）選材與生象

師：同學(xué)們，我們前面學(xué)過(guò)的平行四邊形有底和高，那么今天學(xué)習(xí)的三角形有底和高嗎？

生：有。

師：什么是三角形的高？什么是三角形的底？請(qǐng)同學(xué)們帶著問(wèn)題自學(xué)課本第61頁(yè)的內(nèi)容，小組內(nèi)交流討論。（學(xué)生匯報(bào)自學(xué)情況）

（2）概念化

師：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段是三角形的高，這條對(duì)邊是三角形的底。

師：同學(xué)們知道了什么是高，那怎樣畫(huà)三角形的高呢？請(qǐng)?jiān)囍?huà)一畫(huà)，并和同桌交流自己的畫(huà)法。（學(xué)生反饋，交流畫(huà)法）

生11：我用三角尺的直角來(lái)畫(huà)的。

生12：我將三角尺的一條直角邊和三角形的底邊重合，然后沿著底邊移動(dòng)，當(dāng)另一直角邊過(guò)三角形的頂點(diǎn)時(shí)，從頂點(diǎn)出發(fā)向底邊畫(huà)一條垂線，這條垂線就是三角形的高。

師：我們認(rèn)識(shí)了三角形的高，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)銳角三角形可以畫(huà)幾條高？

生：三條。

師：請(qǐng)把銳角三角形的另外兩條高也畫(huà)出來(lái)。（學(xué)生操作后展示作品，交流反饋）

師：銳角三角形能畫(huà)出三條高，那有一個(gè)角是直角的三角形和有一個(gè)角是鈍角的三角形是不是也能畫(huà)出三條高呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上試一試，并在小組內(nèi)交流。

生13：我們選擇有一個(gè)角是直角的三角形，發(fā)現(xiàn)只需要畫(huà)一條高，另外兩條高不用畫(huà)，因?yàn)檫@兩條高是三角形的兩條直角邊。

師：他說(shuō)得對(duì)嗎？你能在黑板上用直角三角尺指一指這個(gè)直角三角形的高和底嗎？（學(xué)生邊解釋?zhuān)呏赋鲋苯侨切蔚牧硗鈨蓷l高）

生14：（出示右圖）我們小組研究了有一個(gè)角是鈍角的三角形，只能畫(huà)出一條高。

師：他們研究的這個(gè)三角形有點(diǎn)特殊，其中有一個(gè)角是鈍角，于是他們從鈍角的頂點(diǎn)C向?qū)匒B作了一條垂線，找到了一條高。但是，這個(gè)三角形只能畫(huà)一條高嗎？

生15：可以把另外兩條邊延長(zhǎng)，就可以畫(huà)出另外兩條高了，且這兩條高都在三角形的外面。

（教師組織學(xué)生交流討論把鈍角三角形中兩個(gè)銳角作為頂點(diǎn)作高的過(guò)程，并比較這個(gè)高與前面的高的不同，完善學(xué)生對(duì)高的理解和認(rèn)識(shí)，這個(gè)過(guò)程即為“全象”）

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在嘗試畫(huà)高的過(guò)程中認(rèn)識(shí)三角形的底和高，學(xué)會(huì)畫(huà)三角形的高，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和動(dòng)手操作能力。】

（3）回象

教師呈現(xiàn)生活中各種有高或者類(lèi)似高的三角形物體，讓學(xué)生根據(jù)高的概念判斷說(shuō)明哪些是高或者接近高，哪些不是高。

6.拓展延伸

師：今天我們學(xué)習(xí)的三角形都是平面三角形，生活中也有不少球面三角形（多媒體呈現(xiàn)下圖），即球面上由三條弧線圍成的三角形就是球面三角形。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)球面三角形在生活中的應(yīng)用，拓展和豐富學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)?！?/p>

……

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有許多核心概念，如概括、模型、遷移、推理等，教師對(duì)這些概念本身的內(nèi)涵理解得越深入、越全面，也就越能有效地利用它們指導(dǎo)自己的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施，從而取得好的教學(xué)效果。全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)篩選出20個(gè)這樣的核心概念進(jìn)行全面、深入、立體的解讀，并針對(duì)每個(gè)核心概念提供了相應(yīng)的教學(xué)流程和典型案例（詳見(jiàn)《小學(xué)數(shù)學(xué)20個(gè)核心概念的全景解讀》一書(shū)，即將出版），希望能給小學(xué)數(shù)學(xué)教師帶來(lái)一些可行的借鑒。